text: 7 for the AC DWI at low µ in Fig. 5 and for the ZZ DWII beyond VHS in Fig. 6. In the vicinity of the VHS the spectrum and (a) D E E D (b) FIG. 5. (Color online.) Spectrum (a) and spatial proﬁle of the imaginary (dashed) and real (solid) parts of the ∆-character (b) for the AC DWI; the most stable domain wall at low doping levels. Low energy states within the gap in (a) are for self-consistent (black) and sharp domain walls (red), while the dashed horizontal line indicates the Fermi level. E and D denote edge and domain wall states, respectively, which are both doubly degenerate. Vertical line shows the k-point for which Fig. 7 is obtained. Here α = 0, µ = 0.7, J = 1.0. ∆-characters for both directions are qualitatively the same as the ﬁgures reported here, and thus these two situations cover all different behaviors. Moreover, we ﬁnd that the overall form of the ∆-character is only affected by α and does not depend on other parameters or the domain wall direction. ± The non-trivial topology with C = 2 in the bulk of a chiral d-wave superconductor always gives rise to two protected and chiral, or co-propagating, edge states at any outer boundary of the superconductor. These states are marked with E in the spectrum plots, Figs. 5(a),6(a). Both domains in our setup have edge states with positive dispersion. This is because in the left domain the chirality gives clockwise rotating edge states, while in the right domain the edge states rotates counter-clockwise. Since the outer edges are very well separated spatially and their termination is symmetric, these states appear as perfectly doubly degenerate in the spectrum. At each outer edge we also see how the character of the order parameter becomes purely d − - x2 y2 wave for both the AC and ZZ domain walls, see Figs. 5(b),6(b). This is fully consistent with earlier results studying outer edges,42 as well as crystallographic rearrangements causing effective edge physics.48 The remaining subgap states are associated with the domain wall and marked with a D, as also conﬁrmed in Fig. 7. At the domain wall the winding number changes by 4 which, according to the bulk-edge correspondence,3,4,8,43 gives rise to a total of four localized domain wall states. Fully consistent with how the edge states rotate in each domain. These domain wall states all have a negative dispersion, as seen in Figs. 5(a),6(a). Since all four domain wall states overlap in real space, they can easily avoid energy degeneracies. This is clearly the case for the ZZ domain wall, where there are four well separated D states. However, for the AC domain wall there is still an energy degeneracy between the D states. This degeneracy can be understood by noting that the order parameter at the edge and at the domain wall is virtually identical for the AC DWI domain wall: both show an almost pure d − symmetry, with the d -wave being extinguished due to the pair breaking of any honeycomb edge.42 Thus the D x2 y2 xy and E states for the AC domain wall system should be very similar (but with opposite dispersion), as we also ﬁnd in Fig. 5(a). This is in sharp contrast to the situation at ﬁnite α, as is always the case for ZZ domain walls. Here the domain wall has an order parameter with an unavoidable mixture of the d − and d symmetries. Thus the D states should behave differently x2 y2 xy ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

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text: 9 (a) (b) (c) (d) FIG. 7. (Color online.) Probability density of the four states closest to zero energy as a function of distance from the domain wall with E edge states (a,b) and D domain wall states (c,d) for the AC DWI at the k value indicated by a vertical line in Fig. 5(a). x FIG. 8. (Color online.) Half width at half maximum (HWHM) of domain wall at αmin for ZZ (dotted) and AC (solid) domain walls as a function of ∆ for several values of J. Inset shows the relationship of ∆ with µ. b b used to extract HWHM are negligible and ignored in the plot. We ﬁnd that superconductivity recovers rather quickly away from the domain wall. This short recovery, or healing, length signiﬁes that chiral d-wave state is very robust and the result is in agreement with earlier results from defects45 and edges42 in heavily doped superconducting graphene. Surprisingly, the behavior of the domain wall width as a function of the strength of the bulk superconducting state, ∆ , is universal, irrespective of system b parameters or even domain wall direction. The small discrepancy at very weak ∆ are diminished by increasing the system size b to accommodate the longer superconducting coherence length. The small increase in HWHM at high µ is due to the increased competition from the sext-wave state. Thus knowing the strength of the order parameter in the bulk is enough to determine the width of the domain wall in a chiral d-wave superconductor, independent on domain wall direction in the lattice. The behavior of HWHM with the bulk strength of superconductivity is an important result in that it recovers the generic relationship between ∼ − the recovery length and order parameter, ξ ∆ 1, that is obtained from phenomenological theory. III. CONCLUDING DISCUSSION In this work we have performed a self-consistent study of domain walls in the chiral d-wave superconducting state on the honeycomb lattice, studying general domain wall directions as well as global phase shifts across the domain wall. At doping levels up to the VHS, AC domain walls with a global zero phase are energetically most favorable, while at doping levels beyond ∼ the VHS, ZZ domain walls are most stable and then with an additional global phase of α 2π/3. The most stable domain wall conﬁgurations are generally the solutions with the narrowest suppression of the order parameter, i.e. smallest domain wall width, although exceptionally deep and narrow domain wall proﬁles have notably higher energy. In fact, sharp domain wall order parameter proﬁles used in non-self-consistent calculation almost always predicts the wrong lowest energy domain wall ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: 10 conﬁguration. The non-universality of α that we ﬁnd has also been found in chiral p-wave superconductors.47 Accompa- min nying the domain wall formation are four domain wall states, satisfying the bulk-boundary correspondence principle3,4,8,43 and propagating in opposite direction to the system edge states. The domain wall state spectrum are notably different from the edge state spectrum for α non-zero. This is due to the mixing of the d-wave characters at the domain wall, which does not occur at any of the outer edges, and also helps stabilize domain walls for α not at a high symmetry value. Moreover, we have established that, regardless of the preferred domain wall direction, the recovery of bulk superconductivity from the domain wall is fast and universal. The recovery length which is only depending on the strength of the bulk superconductivity following an inverse relationship. Our results can be experimentally veriﬁed in tunneling experiments. The domain wall states result in non-vanishing local DOS, or differential conductance, in the bulk at zero energy in chiral d-wave superconductors. However, subgap states due to potential defects and even vacancies in a chiral d-wave superconductor have been shown to never reach zero energy.45 This implies that zero energy states away from sample edges directly indicate the presence of domain wall states and thus a scanning probe can be used to track the domain wall structure. We do not expect disorder to strongly affect these results. Even moderately high (Anderson) disorder has been shown to not signiﬁcantly inﬂuence the chiral d-wave edge states.42 Since the domain wall states and edge states emerge from the same topological phenomenon, we do not anticipate disorder to notably inﬂuence the domain wall states. ACKNOWLEDGMENTS We are grateful to J. Cayao, D. Kuzmanovski, T. Lo¨thman, and M. Sigrist for discussions and thank the Swedish research council (VR), the Swedish Foundation for Strategic Research (SSF), the Go¨ran Gustafsson Foundation, and the Knut and Alice Wallenberg Foundation through the Wallenberg Academy Fellows program for ﬁnancial support. 1 G. E. Volovik and L. P. Gor’kov, Sov. Phys. JETP 61, 843 (1985). 2 A. P. Mackenzie and Y. Maeno, Rev. Mod. Phys. 75, 657 (2003). 3 M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010). 4 X.-L. Qi and S.-C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011). 5 C. Kallin, Rep. Prog. Phys. 75, 042501 (2012). 6 A. M. Black-Schaffer and C. Honerkamp, J. Phys. Condens. Matter 26, 423201 (2014). 7 C. Kallin and J. Berlinsky, Rep. Prog. Phys. 79, 054502 (2016). 8 G. E. Volovik, JETP Lett. 66, 522 (1997). 9 M. Fogelstro¨m, D. Rainer, and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett. 79, 281 (1997). 10 M. Covington, M. Aprili, E. Paraoanu, L. H. Greene, F. Xu, J. Zhu, and C. A. Mirkin, Phys. Rev. Lett. 79, 277 (1997). 11 K. Krishana, N. P. Ong, Q. Li, D. Gu, and N. Koshizuka, Science 277, 83 (1997). 12 R. B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 80, 5188 (1998). 13 A. V. Balatsky, Phys. Rev. Lett. 80, 1972 (1998). 14 A. M. Black-Schaffer and S. Doniach, Phys. Rev. B 75, 134512 (2007). 15 R. Nandkishore, L. Levitov, and A. V. Chubukov, Nat. Phys. 8, 158 (2012). 16 W.-S. Wang, Y.-Y. Xiang, Q.-H. Wang, F. Wang, F. Yang, and D.-H. Lee, Phys. Rev. B 85, 035414 (2012). 17 M. L. Kiesel, C. Platt, W. Hanke, D. A. Abanin, and R. Thomale, Phys. Rev. B 86, 020507 (2012). 18 R. Joynt and L. Taillefer, Rev. Mod. Phys. 74, 235 (2002). 19 J. D. Strand, D. J. Van Harlingen, J. B. Kycia, and W. P. Halperin, Phys. Rev. Lett. 103, 197002 (2009). 20 J. D. Strand, D. J. Bahr, D. J. Van Harlingen, J. P. Davis, W. J. Gannon, and W. P. Halperin, Science 328, 1368 (2010). 21 E. R. Schemm, W. J. Gannon, C. M. Wishne, W. P. Halperin, and A. Kapitulnik, Science 345, 190 (2014). 22 M. Matsumoto and M. Sigrist, J. Phys. Soc. Jpn. 68, 994 (1999). 23 F. Kidwingira, J. Strand, D. Van Harlingen, and Y. Maeno, Science 314, 1267 (2006). 24 A. Bouhon and M. Sigrist, New J. Phys. 12, 043031 (2010). 25 J. R. Kirtley, C. Kallin, C. W. Hicks, E.-A. Kim, Y. Liu, K. A. Moler, Y. Maeno, and K. D. Nelson, Phys. Rev. B 76, 014526 (2007). 26 C. W. Hicks, J. R. Kirtley, T. M. Lippman, N. C. Koshnick, M. E. Huber, Y. Maeno, W. M. Yuhasz, M. B. Maple, and K. A. Moler, Phys. Rev. B 81, 214501 (2010). 27 P. J. Curran, S. J. Bending, W. M. Desoky, A. S. Gibbs, S. L. Lee, and A. P. Mackenzie, Phys. Rev. B 89, 144504 (2014). 28 C. C. Tsuei and J. R. Kirtley, Rev. Mod. Phys. 72, 969 (2000). 29 D. Gustafsson, D. Golubev, M. Fogelstro¨m, T. Claeson, S. Kubatkin, T. Bauch, and F. Lombardi, Nat. Nanotechnol. 8, 25 (2013). 30 A. M. Black-Schaffer, D. S. Golubev, T. Bauch, F. Lombardi, and M. Fogelstro¨m, Phys. Rev. Lett. 110, 197001 (2013). 31 Y. Nishikubo, K. Kudo, and M. Nohara, J. Phys. Soc. Jpn. 80, 055002 (2011). 32 P. K. Biswas, H. Luetkens, T. Neupert, T. Stu¨rzer, C. Baines, G. Pascua, A. P. Schnyder, M. H. Fischer, J. Goryo, M. R. Lees, H. Maeter, F. Bru¨ckner, H.-H. Klauss, M. Nicklas, P. J. Baker, A. D. Hillier, M. Sigrist, A. Amato, and D. Johrendt, Phys. Rev. B 87, 180503(R) (2013). 33 M. H. Fischer, T. Neupert, C. Platt, A. P. Schnyder, W. Hanke, J. Goryo, R. Thomale, and M. Sigrist, Phys. Rev. B 89, 020509 (2014). ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: conﬁguration.

text: The

text: non-universality

text: of

text: α

text: that

text: we

text: ﬁnd

text: has

text: also

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text: found

text: in

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text: min

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text: the

text: domain

text: wall

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text: domain

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text: satisfying

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text: correspondence

text: and

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text: in

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text: to

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text: system

text: edge

text: states.

text: The

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text: state

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text: are

text: notably

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text: from

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text: state

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text: for

text: α

text: non-zero.

text: This

text: is

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text: to

text: the

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text: of

text: the

text: d-wave

text: characters

text: at

text: the

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text: wall,

text: which

text: does

text: not

text: occur

text: at

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text: of

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text: and

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text: helps

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text: for

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text: not

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text: high

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text: value.

text: Moreover,

text: we

text: have

text: established

text: that,

text: regardless

text: of

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text: domain

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text: the

text: recovery

text: of

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text: from

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text: domain

text: wall

text: is

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text: and

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text: The

text: recovery

text: length

text: which

text: is

text: only

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text: on

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text: strength

text: of

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text: superconductivity

text: following

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text: relationship.

text: Our

text: results

text: can

text: be

text: experimentally

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text: in

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text: experiments.

text: The

text: domain

text: wall

text: states

text: result

text: in

text: non-vanishing

text: local

text: DOS,

text: or

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text: conductance,

text: in

text: the

text: bulk

text: at

text: zero

text: energy

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text: d-wave

text: superconductors.

text: However,

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text: states

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text: to

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text: and

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text: in

text: a

text: chiral

text: d-wave

text: superconductor

text: have

text: been

text: shown

text: to

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text: reach

text: zero

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text: implies

text: that

text: zero

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text: states

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text: from

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text: edges

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text: indicate

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text: of

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text: a

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text: can

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text: used

text: to

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text: do

text: not

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text: to

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text: results.

text: Even

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text: (Anderson)

text: disorder

text: has

text: been

text: shown

text: to

text: not

text: signiﬁcantly

text: inﬂuence

text: the

text: chiral

text: d-wave

text: edge

text: Since

text: the

text: domain

text: wall

text: states

text: and

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text: states

text: emerge

text: from

text: the

text: same

text: topological

text: phenomenon,

text: we

text: do

text: not

text: anticipate

text: disorder

text: to

text: notably

text: inﬂuence

text: the

text: domain

text: wall

text: states.

text: ACKNOWLEDGMENTS

text: We

text: are

text: grateful

text: to

text: J.

text: Cayao,

text: D.

text: Kuzmanovski,

text: T.

text: Lo¨thman,

text: and

text: M.

text: Sigrist

text: for

text: discussions

text: and

text: thank

text: the

text: Swedish

text: research

text: council

text: (VR),

text: the

text: Swedish

text: Foundation

text: for

text: Strategic

text: Research

text: (SSF),

text: the

text: Go¨ran

text: Gustafsson

text: Foundation,

text: and

text: the

text: Knut

text: and

text: Alice

text: Wallenberg

text: Foundation

text: through

text: the

text: Wallenberg

text: Academy

text: Fellows

text: program

text: for

text: ﬁnancial

text: support.

text: G.

text: E.

text: Volovik

text: and

text: L.

text: P.

text: Gor’kov,

text: Sov.

text: Phys.

text: JETP

text: A.

text: P.

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text: and

text: Y.

text: Maeno,

text: Rev.

text: Mod.

text: Phys.

text: M.

text: Z.

text: Hasan

text: and

text: C.

text: L.

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text: Rev.

text: Mod.

text: Phys.

text: X.-L.

text: Qi

text: and

text: S.-C.

text: Zhang,

text: Rev.

text: Mod.

text: Phys.

text: C.

text: Kallin,

text: Rep.

text: Prog.

text: Phys.

text: A.

text: M.

text: Black-Schaffer

text: and

text: C.

text: Honerkamp,

text: J.

text: Phys.

text: Condens.

text: Matter

text: C.

text: Kallin

text: and

text: J.

text: Berlinsky,

text: Rep.

text: Prog.

text: Phys.

text: G.

text: E.

text: Volovik,

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text: Lett.

text: M.

text: Fogelstro¨m,

text: D.

text: Rainer,

text: and

text: J.

text: A.

text: Sauls,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: M.

text: Covington,

text: M.

text: Aprili,

text: E.

text: Paraoanu,

text: L.

text: H.

text: Greene,

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text: J.

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text: and

text: C.

text: A.

text: Mirkin,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: K.

text: Krishana,

text: N.

text: P.

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text: and

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text: Science

text: R.

text: B.

text: Laughlin,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: A.

text: V.

text: Balatsky,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: A.

text: M.

text: Black-Schaffer

text: and

text: S.

text: Doniach,

text: Phys.

text: Rev.

text: B

text: R.

text: Nandkishore,

text: L.

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text: and

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text: Chubukov,

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text: Phys.

text: W.-S.

text: Wang,

text: Y.-Y.

text: Xiang,

text: Q.-H.

text: Wang,

text: F.

text: Wang,

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text: and

text: D.-H.

text: Lee,

text: Phys.

text: Rev.

text: B

text: M.

text: L.

text: Kiesel,

text: C.

text: Platt,

text: W.

text: Hanke,

text: D.

text: A.

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text: and

text: R.

text: Thomale,

text: Phys.

text: Rev.

text: B

text: R.

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text: and

text: L.

text: Taillefer,

text: Rev.

text: Mod.

text: Phys.

text: J.

text: D.

text: Strand,

text: D.

text: J.

text: Van

text: Harlingen,

text: J.

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text: and

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text: Halperin,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: J.

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text: Bahr,

text: D.

text: J.

text: Van

text: Harlingen,

text: J.

text: P.

text: Davis,

text: W.

text: J.

text: Gannon,

text: and

text: W.

text: P.

text: Halperin,

text: Science

text: E.

text: R.

text: Schemm,

text: W.

text: J.

text: Gannon,

text: C.

text: M.

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text: W.

text: P.

text: Halperin,

text: and

text: A.

text: Kapitulnik,

text: Science

text: M.

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text: and

text: M.

text: Sigrist,

text: J.

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text: Soc.

text: Jpn.

text: F.

text: Kidwingira,

text: J.

text: Strand,

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text: Van

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text: and

text: Y.

text: Maeno,

text: Science

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text: and

text: M.

text: Sigrist,

text: New

text: J.

text: Phys.

text: J.

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text: Kirtley,

text: C.

text: Kallin,

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text: W.

text: Hicks,

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text: A.

text: Moler,

text: Y.

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text: and

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text: D.

text: Nelson,

text: Phys.

text: Rev.

text: B

text: C.

text: W.

text: Hicks,

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text: Kirtley,

text: T.

text: M.

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text: M.

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text: Y.

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text: W.

text: M.

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text: M.

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text: Maple,

text: and

text: K.

text: A.

text: Moler,

text: Phys.

text: Rev.

text: B

text: P.

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text: W.

text: M.

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text: S.

text: Gibbs,

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text: Lee,

text: and

text: A.

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text: Phys.

text: Rev.

text: B

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text: C.

text: Tsuei

text: and

text: J.

text: R.

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text: Mod.

text: Phys.

text: D.

text: Gustafsson,

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text: Golubev,

text: M.

text: Fogelstro¨m,

text: T.

text: Claeson,

text: S.

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text: and

text: F.

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text: A.

text: M.

text: Black-Schaffer,

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text: S.

text: Golubev,

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text: Bauch,

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text: Lombardi,

text: and

text: M.

text: Fogelstro¨m,

text: Phys.

text: Rev.

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text: Y.

text: Nishikubo,

text: K.

text: Kudo,

text: and

text: M.

text: Nohara,

text: J.

text: Phys.

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text: Biswas,

text: H.

text: Luetkens,

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text: Neupert,

text: T.

text: Stu¨rzer,

text: C.

text: Baines,

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text: Pascua,

text: A.

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text: H.

text: Fischer,

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text: Goryo,

text: M.

text: R.

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text: Bru¨ckner,

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text: M.

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text: A.

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text: Sigrist,

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text: Amato,

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text: Johrendt,

text: Phys.

text: Rev.

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text: Fischer,

text: T.

text: Neupert,

text: C.

text: Platt,

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text: W.

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text: J.

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text: Thomale,

text: and

text: M.

text: Sigrist,

text: Phys.

text: Rev.

text: B

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