text: 9 1 TABLE II ± PERFORMANCE METRICS (MEAN (%) STANDARD DEVIATION) OF TEN 0.5 CROSDS-RVIAVLEIRDSAUTISOINNGRTEHSUELGTMS RME-GHAMRDMINMGEηTaHccO,DηsWenITAHNBDrηcsp=e 0F.O9R ALL 0 Driver η±acc η±sen η±spe Inferred 1 95.90 ± 0.0125 86.48 ± 0.0515 97.31 ± 0.0078 Real 2 90.61 ± 0.0192 87.90 ± 0.0445 97.23 ± 0.0059 -0.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 93.62 ± 0.0172 93.99 ± 0.0617 98.12 ± 0.0162 Time [s] #104 45 9914..4792 ±± 00..00119017 8891..3002 ±± 00..00472344 9978..2886 ±± 00..00006587 (a) 6 93.80 ± 0.0232 88.88 ± 0.0633 98.14 ± 0.0054 7 86.56 0.1031 84.85 0.0807 97.12 0.0077 ± ± ± 1 8 89.62 0.0214 78.41 0.0206 99.54 0.0021 1 ± ± ± 9 91.94 0.0216 95.41 0.0341 96.53 0.0095 ± ± ± 0.5 0.5 10 93.61 ± 0.0124 90.08 ± 0.0736 98.52 ± 0.0054 0 70024 7025 7026 7027 111123 898919...756459 ±±± 000...000222068110 987188...912596 ±±± 000...000474699135 999688...938816 ±±± 000...000000783208 -0.75010 7015 In7f0er2r0ed 7025 Real7030 7035 7040 7045 7050 111456 999543...459676 ±±± 000...000110749694 897443...747240 ±±± 000...000745340348 999847...946003 ±±± 000...000010435987 Time [s] 17 93.78 ± 0.0505 89.82 ± 0.0234 97.89 ± 0.0042 18 93.27 ± 0.0553 89.38 ± 0.0984 99.22 ± 0.0038 (b) 19 93.31 ± 0.0134 85.93 ± 0.1259 96.48 ± 0.0121 20 73.10 ± 0.0383 75.68 ± 0.0585 94.83 ± 0.0245 Inferred Real 21 94.62 ± 0.0085 88.94 ± 0.0496 96.69 ± 0.0041 1 22 94.50 ± 0.0336 91.29 ± 0.0594 99.06 ± 0.0077 1 23 82.50 ± 0.0393 81.92 ± 0.0297 97.89 ± 0.0066 0.5 0.5 2245 7866..9886 ± 00..00339380 8873..9910 ± 00..00252196 9968..4018 ± 00..00009116 ± ± ± 0 26 80.97 0.0549 64.20 0.0280 97.83 0.0073 ± ± ± 1.5097 1.5097 1.5097 1.5098 1.5098 27 87.70 ± 0.0293 83.63 ± 0.0528 95.09 ± 0.0101 0 #104 28 86.65 ± 0.0293 74.59 ± 0.0522 98.27 ± 0.0072 1.502 1.503 1.504 1.505 1.506 1.507 1.508 1.509 1.51 29 78.24 ± 0.0217 77.06 ± 0.0418 96.02 ± 0.0096 Time [s] #104 3301 8951..4314 ±± 00..00424172 8745..6023 ±± 00..00470425 9986..1152 ±± 00..00018625 (c) 32 91.09 ± 0.0222 89.85 ± 0.0778 96.72 ± 0.0088 33 92.29 ± 0.0237 80.02 ± 0.0630 96.13 ± 0.0112 Fig. 8. Example o×f the inferred results using the GMM-HMM method for 34 89.66 ± 0.0414 77.84 ± 0.0780 98.30 ± 0.0104 driver #4 during 2 104 seconds, including about 233 events, with Brc = 35 92.34 ± 0.0545 78.19 ± 0.0566 98.07 ± 0.0070 0.9, ηacc = 93.87%, ηsen = 83.76%, and ηspe = 98.27%. (a) One of 36 86.41 ± 0.0395 81.87 ± 0.0191 97.74 ± 0.0064 the test results for driver #4; (b) an unreliable inferred result; and (c) a good 37 93.08 ± 0.0162 85.93 ± 0.0366 98.03 ± 0.0031 inferred result with local data. 38 81.88 ± 0.0343 84.56 ± 0.0368 98.66 ± 0.0035 39 91.86 ± 0.0208 83.74 ± 0.0596 97.29 ± 0.0048 40 91.33 ± 0.0212 91.30 ± 0.0236 98.82 ± 0.0040 occurring in all of the test datasets. Fig. 8 shows an example 41 83.05 0.0694 79.63 0.0569 97.25 0.0090 ± ± ± of the inferred results of one fold test data from driver #4 42 70.94 0.0668 73.62 0.0285 92.51 0.0152 ± ± ± using the GMM-HMM method. We can see that, for driver 43 96.42 0.0093 85.22 0.0759 98.54 0.0046 ± ± ± #4, the GMM-HMM can infer the braking actions with a 44 92.08 ± 0.0264 87.49 ± 0.0612 98.88 ± 0.0043 high level of performance, speciﬁcally with an accuracy of 4456 8889..8465 ±± 00..00210740 7791..5560 ±± 00..00440957 9957..9420 ±± 00..00101713 93.87%, sensitivity of 83.76%, and speciﬁcity of 98.27%. In 47 87.81 ± 0.0238 77.32 ± 0.0494 96.81 ± 0.0063 addition, Table II shows the means and standard deviations 48 96.36 ± 0.0118 88.44 ± 0.0683 97.96 ± 0.0072 49 90.26 0.0490 79.96 0.0581 96.06 0.0248 of ten cross-validation results regarding the three evaluation ± ± ± Ave. 89.41 0.0584 83.42 0.0677 97.41 0.0132 metrics for each driver participant. We know that the GMM- HMM method can achieve a remarkable performance, with accuracy of 96.42% (driver #43), sensitivity of 95.41% (driver Table II shows the statistical performance metrics for each #9), and speciﬁcity of 99.54% (driver #8), as highlighted in driver using the GMM-HMM. In order to show the beneﬁts red in Table II. Note that, for all driver participants, the GMM- of GMM-HMM, we compare it with SVM and SVM-BF. HMM method is able to infer their braking actions, with an Fig. 9 shows the distributions of the mean values regarding accuracy of 89.41%, a sensitivity of 83.42%, and a speciﬁcity the three performance metrics of all driver participants with of 97.41% on average. However in some special cases, the different methods. In order to make comparison ﬂexible, performance is slightly lower than the average performance, each performance metric (i.e., η , η , and η ) is further as highlighted in green in Table II. acc sen spe divided into four intervals for each method. The percentage of performance values in each interval is then computed as the ratio between the number of performance values located C. Results Analysis in this interval and the total number of driver participants. In each sub-ﬁgure of Fig. 9, the horizontal axis is the interval of noitca ekarB noitca ekarB noitca ekarB ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: TABLE

text: II

text: PERFORMANCE

text: METRICS

text: (MEAN

text: STANDARD

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text: OF

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text: ALL

text: Driver

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text: Inferred

text: Real

text: Time

text: [s]

text: (a)

text: Time

text: [s]

text: (b)

text: Inferred

text: Real

text: Time

text: [s]

text: (c)

text: Fig.

text: Example

text: o×f

text: the

text: inferred

text: results

text: using

text: the

text: GMM-HMM

text: method

text: for

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text: including

text: about

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text: with

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text: ηsen

text: and

text: ηspe

text: (a)

text: One

text: of

text: the

text: test

text: results

text: for

text: driver

text: (b)

text: an

text: unreliable

text: inferred

text: result;

text: and

text: (c)

text: a

text: good

text: inferred

text: result

text: with

text: local

text: data.

text: occurring

text: in

text: all

text: of

text: the

text: test

text: datasets.

text: Fig.

text: shows

text: an

text: example

text: of

text: the

text: inferred

text: results

text: of

text: one

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text: test

text: data

text: from

text: driver

text: using

text: the

text: GMM-HMM

text: method.

text: We

text: can

text: see

text: that,

text: for

text: driver

text: the

text: GMM-HMM

text: can

text: infer

text: the

text: braking

text: actions

text: with

text: a

text: high

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text: of

text: performance,

text: speciﬁcally

text: with

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text: accuracy

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text: of

text: and

text: speciﬁcity

text: of

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text: addition,

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text: II

text: shows

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text: means

text: and

text: standard

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text: of

text: ten

text: cross-validation

text: results

text: regarding

text: the

text: three

text: evaluation

text: Ave.

text: metrics

text: for

text: each

text: driver

text: participant.

text: We

text: know

text: that

text: the

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text: HMM

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text: a

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text: performance,

text: with

text: accuracy

text: of

text: (driver

text: sensitivity

text: of

text: (driver

text: Table

text: II

text: shows

text: the

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text: performance

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text: for

text: each

text: and

text: speciﬁcity

text: of

text: (driver

text: as

text: highlighted

text: in

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text: the

text: GMM-HMM.

text: In

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text: the

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text: II.

text: Note

text: that,

text: for

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text: driver

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text: the

text: GMM-

text: of

text: GMM-HMM,

text: we

text: compare

text: it

text: with

text: SVM

text: and

text: SVM-BF.

text: HMM

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text: to

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text: braking

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text: with

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text: shows

text: the

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text: of

text: the

text: mean

text: values

text: regarding

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text: of

text: a

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text: and

text: a

text: speciﬁcity

text: the

text: three

text: performance

text: metrics

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text: of

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text: the

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text: In

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text: the

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text: each

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text: η

text: η

text: and

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text: is

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text: as

text: highlighted

text: in

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text: II.

text: acc

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text: divided

text: into

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text: for

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text: The

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text: of

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text: interval

text: is

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text: computed

text: as

text: the

text: ratio

text: between

text: the

text: number

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text: Results

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text: and

text: the

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text: driver

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text: In

text: each

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text: Fig.

text: the

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text: the

text: interval

text: of

text: noitca

text: ekarB

text: noitca

text: ekarB

text: noitca

text: ekarB

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text: 108 Mean |v | (km/s) 0 107 495 838 106 1145 1441 105 1749 2085 104 2475 2965 103 3680 5773 102 101 100 6 4 2 0 2 4 6 (v−v )·v /|v |2 0 0 0 Figure 11. The distribution of changes in velocity for each neutrino shell. Note that the low-velocity shells are much more susceptible to broadening of the VDF due to interactions with massive galaxy clusters. CDF, by sheet 3 10−1 10−2 10−3 2 4.2 3.6 1 3.0 2.4 0 1.8 1.2 1 0.6 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 |v| (km/s) 0.0 Figure 12. The mass-weighted distribution of neutrinos in the space of neutrino velocities and CDM density at z = 0. Contours are drawn for the total mass fraction in each sheet outside of each contour. The grayscale image is logarithmic in the PDF, and is meant to guide the eye through the tails of the total distribution. Note that the low-velocity shells tend to spread towards regions with higher CDM density. where the CDM density, and therefore the potential, is much larger than the background – 20 – FDP dethgiew-ssaM ) δ+1( gol MDC 01 )FDP dethgiew-ssam latot(01gol ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

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label: reference

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text: F.

text: Villaescusa-Navarro

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text: M.

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text: The

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text: a

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text: of

text: Cosmology

text: and

text: Astroparticle

text: Physics

text: (Dec.,

text: C.-T.

text: Chiang,

text: W.

text: Hu,

text: Y.

text: Li

text: and

text: M.

text: LoVerde,

text: Scale-dependent

text: bias

text: and

text: bispectrum

text: in

text: neutrino

text: separate

text: universe

text: simulations,

text: ArXiv

text: e-prints

text: (Oct.,

text: VIRGO

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text: collaboration,

text: R.

text: E.

text: Smith,

text: J.

text: A.

text: Peacock,

text: A.

text: Jenkins,

text: S.

text: D.

text: M.

text: White,

text: C.

text: S.

text: Frenk,

text: F.

text: R.

text: Pearce

text: et

text: al.,

text: Stable

text: clustering,

text: the

text: halo

text: model

text: and

text: nonlinear

text: cosmological

text: power

text: spectra,

text: Mon.

text: Not.

text: Roy.

text: Astron.

text: Soc.

text: R.

text: Takahashi,

text: M.

text: Sato,

text: T.

text: Nishimichi,

text: A.

text: Taruya

text: and

text: M.

text: Oguri,

text: Revising

text: the

text: Haloﬁt

text: Model

text: for

text: the

text: Nonlinear

text: Matter

text: Power

text: Spectrum,

text: Astrophys.

text: J.

text: E.

text: Lawrence,

text: K.

text: Heitmann,

text: J.

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text: A.

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text: S.

text: Habib

text: et

text: al.,

text: The

text: Mira-Titan

text: Universe

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text: Matter

text: Power

text: Spectrum

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text: Astrophys.

text: J.

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text: Bernardis,

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text: D.

text: Kitching,

text: A.

text: Heavens

text: and

text: A.

text: Melchiorri,

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text: with

text: Cosmology,

text: Phys.

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text: the

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text: T.

text: Abel,

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text: Hahn

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text: the

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text: in

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text: Space,

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text: Astron.

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text: D.

text: Powell

text: and

text: T.

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text: exact

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text: in

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text: the

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text: the

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text: Mississippi

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text: MN,

text: USA,

text: July


text: Nonlinear water waves in shallow water in the presence of constant vorticity: A Whitham approach Christian Kharif and Malek Abid Aix Marseille Universit´e, CNRS, Centrale Marseille IRPHE UMR 7342 F-13384, Marseille, France Abstract Two-dimensional nonlinear gravity waves travelling in shallow water on a vertically sheared current of constant vorticity are considered. Using Euler equations, in the shallow water approximation, hyperbolic equations for the surface elevation and the horizontal velocity are derived. Using Riemann invariants of these equations, that are obtained analytically, a closed-form nonlinear evolution equation for the surface elevation is derived. A dispersive term is added to this equation using the exact linear dispersion relation. With this new single ﬁrst-order partial diﬀerential equation, vorticity eﬀects on undular bores are studied. Within the framework of weakly nonlinear waves, a KdV-type equation and a Whitham equation with constant vorticity are derived from this new model and the eﬀect of vorticity on solitary waves and periodic waves is considered. Futhermore, within the framework of the new model and the Whitham equation a study of the eﬀect of vorticity on the breaking time of dispersive waves and hyperbolic waves as well is carried out. Keywords: Surface gravity waves; Shallow water; Vertically sheared currents; solitary and periodic waves; Undular bores; Breaking time 1. Introduction Generally, in coastal and ocean waters, current velocity proﬁles are estab- lished by bottom friction and wind stress at the sea surface, and consequently are vertically varying. Ebb and ﬂood currents due to the tide may have an important eﬀect on water wave properties. In any region where the wind Preprint submitted to European Journal of Mechancis. B/Fluids May 30, 2020 ##LTLine## ##LTLine##

text: Nonlinear

label: title

text: water

text: waves

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text: shallow

text: water

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text: A

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label: author

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text: CNRS,

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text: France

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text: Two-dimensional

label: abstract

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text: in

text: shallow

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text: on

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text: vertically

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text: Using

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text: in

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text: for

text: the

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text: and

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text: are

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text: Using

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text: of

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text: that

text: are

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text: a

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text: for

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text: A

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text: term

text: is

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text: to

text: this

text: equation

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text: relation.

text: With

text: this

text: new

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text: ﬁrst-order

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text: diﬀerential

text: equation,

text: vorticity

text: eﬀects

text: on

text: undular

text: bores

text: are

text: studied.

text: Within

text: the

text: framework

text: of

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text: a

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text: and

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text: with

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text: are

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text: this

text: new

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text: and

text: the

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text: of

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text: on

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text: Futhermore,

text: within

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text: of

text: the

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text: equation

text: a

text: study

text: of

text: the

text: eﬀect

text: of

text: vorticity

text: on

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text: and

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text: is

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text: Keywords:

text: Surface

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text: time

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text: are

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text: at

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text: and

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text: are

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text: Ebb

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text: due

text: to

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text: on

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text: In

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text: submitted

text: to

text: European

text: Journal

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text: Mechancis.

text: B/Fluids

text: May

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: bores in a facility 73.58 m long, 0.42 m wide and 0.40 m high. He carried out a series of experiments on non breaking and breaking undular bores. Non ◦ breaking undular bores correspond to his experiments N 2, 4, 6, 8, 10, 12 for a water depth h = 0.205 m and 21, 22, 23 for a water depth h = 0.1075 m. The height of the leading wave, h , which corresponds to a maximum max waveheight was recorded at the end of the tank, after travelling on distances close to 300 and 600 depths. During these distances of propagation we can not ignore the shear stress acting at the bottom. Following ? ] and ? ] we introduce the following approximate dimensionless damping term based on the drag law for modelling the stress at the bottom | | D(η) = kη η (29) ∼ − where k 0.001 0.0026 is an empirical dimensionless coeﬃcient describ- ing frictional eﬀects at the bottom. The time of diﬀusion, t , of negative vorticity generated at the bottom is O d (h2/ν) where ν is the kinematic √viscosity of water whereas the time of O propagation, t , of the bore is (L/ gh) where L is the length of the tank. (cid:28)p For water, t t so that the vorticity due to molecular viscosity is assumed p d to have a negligible eﬀect on the waves during their propagation. − Let ζ(x, t) = η(x, t) η (x) where η (x) = η(x, 0) is the initial condition. 0 0 We substitute η = ζ + η , h = 1, g = 1 and U = 0 into equations 0 0 (20) and (22), so these equations are dimensionless. The initial condition − → ±∞ is η (x) = ∆(1 tanh(αx))/2 with α = 1.25, so that lim ζ = 0, x . 0 To compare our numerical results with those experimental of ? ] we intro- duce in equations (20) and (22) in dimensionless form the damping term given by equation (29) and set U = 0 and Ω = 0. We have neglected 0 vortical eﬀects due to an underlying current because experimental bores con- sidered herein were generated in water at rest. Experimental and numerical results are shown in ﬁgure ??. The dashed line corresponds to the experi- mental ﬁt obtained by Favre in his ﬁgure 49. For strongly nonlinear waves (cid:46) (cid:46) (0.30 h 0.60) results given by equation (20) are close to those of max experiments whereas KdV’s results are in quite good agreement with exper- (cid:46) iments for weakly nonlinear waves (h 0.20). Beyond h = 0.20, the max max Boussinesq regime is no longer valid because the Ursell number becomes large and equation (20) with its full nonlinearity is more appropriate. Within the framework of the KdV equation, we found that the proﬁles of the leading 15 ##LTLine##

text: bores

text: in

text: a

text: facility

text: m

text: long,

text: m

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text: and

text: m

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text: of

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text: on

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text: and

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text: Non

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text: to

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text: for

text: a

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text: depth

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text: and

text: for

text: a

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text: depth

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text: The

text: height

text: of

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text: h

text: which

text: corresponds

text: to

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text: was

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text: at

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text: of

text: the

text: tank,

text: after

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text: on

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text: to

text: and

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text: During

text: these

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text: of

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text: we

text: can

text: not

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text: the

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text: at

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text: bottom.

text: Following

text: and

text: we

text: introduce

text: the

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text: on

text: the

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text: for

text: modelling

text: the

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text: at

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text: bottom

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text: where

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text: is

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text: at

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text: bottom.

text: The

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text: of

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text: t

text: of

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text: at

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text: is

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text: is

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text: of

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text: is

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text: gh)

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text: For

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text: t

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text: to

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text: on

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text: Let

text: ζ(x,

text: t)

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text: t)

text: η

text: (x)

text: where

text: η

text: (x)

text: η(x,

text: is

text: the

text: initial

text: condition.

text: We

text: substitute

text: η

text: ζ

text: η

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text: and

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text: into

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text: and

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text: these

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text: The

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text: (x)

text: with

text: α

text: so

text: that

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text: ζ

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text: To

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text: numerical

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text: of

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text: intro-

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text: and

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text: the

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text: given

text: by

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text: and

text: set

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text: and

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text: We

text: have

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text: due

text: to

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text: sidered

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text: were

text: generated

text: in

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text: at

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text: Experimental

text: and

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text: The

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text: line

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text: to

text: the

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text: mental

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text: obtained

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text: in

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text: For

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text: are

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text: to

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text: of

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text: with

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text: iments

text: for

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text: Beyond

text: h

text: the

text: max

text: max

text: Boussinesq

text: regime

text: is

text: no

text: longer

text: valid

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text: the

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text: number

text: becomes

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text: and

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text: with

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text: is

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text: appropriate.

text: Within

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text: of

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text: we

text: found

text: that

text: the

text: proﬁles

text: of

text: the

text: leading

text: ##LTLine##


text: 160 140 120 100 80 60 40 20 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 ∆ Figure 10: Dimensionless wavelength of the following waves as a function of the initial (cid:3) relative diﬀerence in water level for several values of the vorticity. Ω = 0.20 ( ), Ω = 0 ◦ − ∗ ( ) and Ω = 0.20 ( ). 6. Breaking time for hyperbolic waves and dispersive waves in the presence of vorticity 6.1. Within the framework of the hyperbolic equation (19) Herein, we consider equation (19) in its dimensionless form by setting g = 1 and h = 1. Let us assume that U = 0. 0 It is well known that nonlinear water waves in shallow water may evolve to breaking. The problem of breaking waves within the framework of nonlinear hyperbolic system has been tackled by many authors. The corresponding theory for the computation of the breaking time can be found in the book of ? ]. For most water wave models in shallow water, wave breaking corresponds to the occurrence of an inﬁnite slope of the wave proﬁle. The dimensionless form of equation (19) can be rewritten as follows C η + (η)η = 0 (30) t x 18 ∆/λ ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: Figure

text: Dimensionless

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text: of

text: the

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text: diﬀerence

text: in

text: water

text: level

text: for

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text: values

text: of

text: the

text: vorticity.

text: Ω

text: Ω

text: and

text: Ω

label: section

text: Breaking

text: time

text: for

text: hyperbolic

text: waves

text: and

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text: in

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text: we

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text: by

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text: and

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text: is

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text: to

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text: of

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text: for

text: the

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text: of

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text: water

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text: corresponds

text: to

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text: of

text: an

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text: of

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text: The

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text: can

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text: rewritten

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text: follows

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text: η

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text: ##LTFigure##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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