text: possibilities of an analytical treatment are limited here, we present a numerical investigation of the ﬁnal value of the momentum as a function of the entry phase. In the following we consider values of R ranging from 0.9 to 20, and we solve the relativistic equation of motion L of electrons entering in the oscillatory evanescent ﬁeld of the SPW, as deﬁned in section III. First of all, the assumption made that in this relativistic regime the details of the initial distribution function of the electrons do not aﬀect the ﬁnal range of momentum acquired by the electrons leaving the ﬁeld, has been checked. This assumption is already well veriﬁed − for a = 2.72 and T = 100eV 1keV . Consequently, an uncertainty about the initial sw e temperature of the electrons at the plasma surface will not signiﬁcantly aﬀect their ﬁnal energy. In the following we take thus a constant value of v corresponding to 100eV . 0 In this section we have taken electrons entering the ﬁeld during one period only, at the moment that the time envelope of the surface wave is at its peak (t=0). Under this hypothesis the only eﬀect of the surface plasma wave lifetime is reducing the amplitude of the ﬁeld seen by the electrons during their motion towards the vacuum region, as was already observed in the non-relativistic case. As v is now close to the velocity of light, we have osc (cid:28) in most cases L /v τ 1, such that we can neglect the eﬀect of the ﬁnite lifetime of E,v osc sw the surface plasma wave in the discussion. In all the simulations reproduced here its value is taken equal to τ = 30τ . sw 0 We consider hereafter ﬁrst the strong surface wave ﬁeld limit with a = 8.6 and values sw of R ranging from 0.9 to 4.3 (ﬁg.5). In a second stage we consider values from 4.3 to L 20 (ﬁg.6) in order to fully explore the relativistic electromagnetic regime. Notice that in the relativistic limit the(cid:113)quantity R = L ω/v , depends only on the ratio ω/ω . In L E,v osc pe → fact, since vosc c, we have, using the sur√face plasma wave dispersion relation, eq. (3) ∼ − ∼ R L ω/c = ω /ω 1 2ω2/ω2 = γ / K γ . L E,v pe pe φ φ As it can be seen from ﬁg.5, the maximum value of the momentum p , that can be f acquired by an electron, increases steadily with R . The maximum value is obtained for L (cid:46) ∼ (cid:38) R = 4.3, for which we have L Λ c/ω, and p p . It can also be seen that an L E,v fmax osc electron with an entry phase close to or larger than 3π/2 will acquire a larger momentum than those with neighboring values for the phase, resulting in a minimum, and then a local maximum. This can be related to the fact that such electrons make a turn after traveling in the ﬁeld gradient, such that instead of being pushed back into the plasma they start moving away towards the-low ﬁeld region. When R is close to one, this acts like a sort of resetting L 15 ##LTLine## ##LTLine##

text: possibilities

text: of

text: an

text: analytical

text: treatment

text: are

text: limited

text: here,

text: we

text: present

text: a

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text: of

text: the

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text: value

text: of

text: the

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text: as

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text: of

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text: In

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text: we

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text: of

text: R

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text: from

text: to

text: and

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text: solve

text: the

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text: of

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text: L

text: of

text: electrons

text: entering

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text: ﬁeld

text: of

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text: as

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text: in

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text: First

text: of

text: all,

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text: that

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text: this

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text: the

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text: of

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text: of

text: the

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text: not

text: aﬀect

text: the

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text: of

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text: acquired

text: by

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text: has

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text: This

text: assumption

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text: for

text: a

text: and

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text: an

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text: about

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text: temperature

text: of

text: the

text: electrons

text: at

text: the

text: plasma

text: surface

text: will

text: not

text: signiﬁcantly

text: aﬀect

text: their

text: ﬁnal

text: energy.

text: In

text: the

text: following

text: we

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text: thus

text: a

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text: value

text: of

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text: to

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text: this

text: section

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text: have

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text: during

text: one

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text: only,

text: at

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text: that

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text: of

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text: is

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text: this

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text: the

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text: of

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text: the

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text: of

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text: seen

text: by

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text: motion

text: towards

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text: as

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text: in

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text: non-relativistic

text: case.

text: As

text: v

text: is

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text: close

text: to

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text: of

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text: we

text: have

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text: /v

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text: that

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text: can

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text: of

text: the

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text: of

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text: osc

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text: the

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text: in

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text: In

text: all

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text: reproduced

text: here

text: its

text: value

text: is

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text: to

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text: consider

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text: the

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text: with

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text: and

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text: of

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text: from

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text: in

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text: the

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text: that

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text: R

text: L

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text: In

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text: we

text: have,

text: using

text: the

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text: R

text: L

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text: ω

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text: pe

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text: φ

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text: it

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text: from

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text: of

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text: p

text: that

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text: by

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text: with

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text: for

text: L

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text: for

text: which

text: we

text: have

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text: and

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text: p

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text: that

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text: with

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text: close

text: to

text: or

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text: than

text: will

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text: a

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text: than

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text: with

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text: for

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text: resulting

text: in

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text: and

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text: This

text: can

text: be

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text: to

text: the

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text: that

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text: electrons

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text: after

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text: in

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text: gradient,

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text: instead

text: of

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text: they

text: start

text: moving

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text: ﬁeld

text: region.

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text: is

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text: to

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text: this

text: acts

text: like

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text: of

text: resetting

text: L

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: Other important eﬀects that are missing in this simple model, but have been observed - e.g. in PIC simulations [30] - are the presence of a charge space ﬁeld at the plasma surface left by the electrons ejected from the surface, or the presence of a quasi-static magnetic ﬁeld [18, 31]. Considering these eﬀects is beyond the scope of this paper and will be the subject of further studies. One of us (C.R.) would like to acknowledge fruitful discussions with F. Amiranoﬀ, A. Macchi, P. Mora and D. Pesme. [1] S. Corde, K. Ta Phuoc, G. Lambert, R. Fitour, V. Malka, A. Rousse, A. Beck and E. Lefebvre, Rev. Modern Phys. 85, 1 (2013). [2] T. Tajima, J. M. Dawson, Phys. Rev. Lett. 43, 267 (1979). [3] E. Esarey, P. Sprangle, J. Krall, and A. Ting, IEEE Trans. on Plasma Sci. 24, 252 (1996). [4] N. Naseri, D. Pesme and W. Rozmus, and K. Popov, Phys. Rev. Lett. 108, 105001 (2012). [5] W. P. Leemans, A.J. Gonsalves, H.-S. Mao, K. Nakamura, C. Benedetti, C.B. Schroeder, Cs. T´oth, J. Daniels, D.E. Mittelberger, S.S. Bulanov, J.-L. Vay, C.G.R. Geddes, and E. Esarey, Phys. Rev. Lett. 113, 245002 (2014). [6] D. E. Baldwin and D. W. Ignat, Phys. Fluids, 12, 697 (1969). [7] F. Brunel, Phys. Rev. Lett. 59, 52 (1987); F. Brunel, Phys. Fluids 31 2714 (1988). [8] W. L. Kruer, K. Estabrook, Phys. Fluids 28, 430 (1985). [9] P. J. Catto and R. M. More Phys. Fluids 20, 704 (1977); T.-Y. Brian Yang, W. L. Kruer, R. M. More, and A. B. Langdon, Phys. Plasmas, 2, 3146 (1995). [10] E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevskii, Physical Kinetics (Pergamon, Oxford, 1981), p. 368; W. Rozmus and V. T. Tikhonchuck, Phys. Rev. A 42, 7401 (1990); J. P. Matte and K. Aguenaou, ibid. 45, 2558 (1992). [11] Z. Jin, Z.L. Chen, H.B. Zhou, A. Kon, M. Nakatsutsumi, H.B. Wang, B.H. Zhang, Y.Q. Gu, Y.C. Wu, B. Zhu, L. Wang, M.Y. Yu, Z. M. Sheng, and R. Kodama, Phys. Rev. Lett. 107, 265003 (2011). [12] P. Gibbon, A. R. Bell, Phys. Rev. Lett. 68, 1535 (1992). [13] T. Kluge, S.A. Gaillard, K.A. Flippo, T. Burris-Mog, W. Enghardt, B. Gall, M. Geissel, A. 27 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: Other

label: paragraph

text: important

text: eﬀects

text: that

text: are

text: missing

text: in

text: this

text: simple

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text: but

text: have

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text: in

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text: are

text: the

text: presence

text: of

text: a

text: charge

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text: at

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text: by

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text: from

text: the

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text: or

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text: presence

text: of

text: a

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text: Considering

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text: is

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text: of

text: this

text: paper

text: and

text: will

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text: of

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text: One

text: of

text: us

text: (C.R.)

text: would

text: like

text: to

text: acknowledge

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text: with

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text: Amiranoﬀ,

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text: and

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label: reference

text: S.

text: Corde,

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text: V.

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text: Rousse,

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text: and

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text: Lefebvre,

text: Rev.

text: Modern

text: Phys.

text: T.

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text: J.

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text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: E.

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text: and

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text: on

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text: and

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text: and

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text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: W.

text: P.

text: Leemans,

text: A.J.

text: Gonsalves,

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text: Mao,

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text: C.

text: Benedetti,

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text: T´oth,

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text: Daniels,

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text: and

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text: Esarey,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: D.

text: E.

text: Baldwin

text: and

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text: W.

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text: Phys.

text: Fluids,

text: F.

text: Brunel,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: F.

text: Brunel,

text: Phys.

text: Fluids

text: W.

text: L.

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text: Estabrook,

text: Phys.

text: Fluids

text: P.

text: J.

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text: and

text: R.

text: M.

text: More

text: Phys.

text: Fluids

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text: W.

text: L.

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text: M.

text: More,

text: and

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text: Plasmas,

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text: M.

text: Lifshitz

text: and

text: L.

text: P.

text: Pitaevskii,

text: Physical

text: Kinetics

text: (Pergamon,

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text: p.

text: W.

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text: and

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text: Phys.

text: Rev.

text: A

text: J.

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text: and

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text: Z.

text: Jin,

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text: Zhou,

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text: Kon,

text: M.

text: Nakatsutsumi,

text: H.B.

text: Wang,

text: B.H.

text: Zhang,

text: Y.Q.

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text: Y.C.

text: Wu,

text: B.

text: Zhu,

text: L.

text: Wang,

text: M.Y.

text: Yu,

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text: M.

text: Sheng,

text: and

text: R.

text: Kodama,

text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

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text: Phys.

text: Rev.

text: Lett.

text: T.

text: Kluge,

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text: Gaillard,

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text: Flippo,

text: T.

text: Burris-Mog,

text: W.

text: Enghardt,

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text: Gall,

text: M.

text: Geissel,

text: A.

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: [30] A. Bigongiari, Ph. D Thesis, Ecole Polytechnique 2012, https://hal.archives- ouvertes.fr/pastel-00758355. [31] A. Bigongiari, M. Raynaud, C. Riconda, Phys. Rev. E 84, 015402(R) (2011). 29

text: A.

text: Bigongiari,

text: Ph.

text: D

text: Thesis,

text: Ecole

text: Polytechnique

text: A.

text: Bigongiari,

text: M.

text: Raynaud,

text: C.

text: Riconda,

text: Phys.

text: Rev.

text: E


text: (cid:18) (cid:19) − v 2 0 W = U + 2U + cos φ . (5) K,f osc osc v osc It is convenient to express Eq. (5) in terms of the ﬁnal value v of the velocity acquired f by the electrons: (cid:32) (cid:18) (cid:19) (cid:33) 1/2 v − v 2 f 0 = 0.5 + + cos φ . (6) v v osc osc This equation shows that the phase for which the electron obtains the maximum energy (best phase), is given by φ = π. For this phase, the electron leaves the su√rface plasma wave ﬁeld with a maximum kinetic energy such that v is greater than v / 2. Hence, due to f osc this phase dependence, there will exist electrons which are accelerated to energies higher than the ponderomotive potential energy. Even if the contribution to the electron energy in this case is not uniquely of ponderomotive origin as explained above, we call this the ponderomotive regime. In the following, we have numerically solved the 1D equation of motion: →− →− →− →− d p − v ∧ = e(E + B ) (7) dt c →− →− →− with p = γm v for an electron subjected to an external ﬁeld E , representing the ﬁeld of a surface plasma wave, as deﬁned in section I. The initial conditions are such that at t = 0, − x = 0, v = v , for v corresponding to 100eV , that corresponds to v /v = 0.16. The 0 0 0 osc surface plasma wave lifetime is taken as 30τ where τ = 2π/ω. The electron motion is solved 0 0 × ∼ by using the Vay pusher [26]. We have adopted a value E = 2.76 109V/cm (a 0.086), sw sw ∼ for which γ 1. The numerical results are reported in ﬁg.1 for ω/ω = 0.22. For this osc pe ∼ case we have R 50 and L = 0.7µm. For comparison, the analytical curve obtained L E,v from Eq. (6) is also reproduced in the ﬁgure. ∼ For the phase φ π, the numerical and theoretical results are in very good agreement. They correspond to electrons that have acquired the possibility to fully explore the ﬁeld gra- dient during their motion, after having been accelerated to their maximum energy. When 9 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

label: equation

text: v

text: W

text: U

text: cos

text: φ

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text: is

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text: to

text: express

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text: in

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text: of

text: the

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text: value

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text: of

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text: by

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text: v

text: v

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text: cos

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text: equation

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text: that

text: the

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text: for

text: which

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text: is

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text: For

text: this

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text: the

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text: plasma

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text: with

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text: that

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text: to

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text: this

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text: there

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text: which

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text: Even

text: if

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text: to

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text: in

text: this

text: case

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text: of

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text: above,

text: we

text: call

text: this

text: the

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text: In

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text: following,

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text: have

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text: of

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text: d

text: p

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text: B

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text: with

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text: v

text: for

text: an

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text: representing

text: the

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text: of

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text: as

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text: in

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text: I.

text: The

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text: that

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text: for

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text: to

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text: by

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text: have

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text: for

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text: are

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text: For

text: this

text: osc

text: pe

text: case

text: we

text: have

text: R

text: and

text: L

text: For

text: comparison,

text: the

text: analytical

text: curve

text: obtained

text: L

text: E,v

text: from

text: Eq.

text: is

text: also

text: reproduced

text: in

text: the

text: ﬁgure.

text: For

text: the

text: phase

text: φ

text: π,

text: the

text: numerical

text: and

text: theoretical

text: results

text: are

text: in

text: very

text: good

text: agreement.

text: They

text: correspond

text: to

text: electrons

text: that

text: have

text: acquired

text: the

text: possibility

text: to

text: fully

text: explore

text: the

text: ﬁeld

text: gra-

text: dient

text: during

text: their

text: motion,

text: after

text: having

text: been

text: accelerated

text: to

text: their

text: maximum

text: energy.

text: When

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: Binary full adder, made of fusion gates, in sub-excitable Belousov-Zhabotinsky ∗ system † Andrew Adamatzky ‡ § (Dated: May 27, 2020) In an excitable thin-layer Belousov-Zhabotinsky (BZ) medium a localised perturbation leads to for- mation of omnidirectional target or spiral waves of excitation. A sub-excitable BZ medium responds to asymmetric local perturbation by producing travelling localised excitation wave-fragments, dis- tant relatives of dissipative solitons. The size and life span of an excitation wave-fragment depend on the illumination level of the medium. Under the right conditions the wave-fragments conserve their shape and velocity vectors for extended time periods. We interpret the wave-fragments as values of Boolean variables. When two or more wave-fragments collide they annihilate or merge into a new wave-fragment. States of the logic variables, represented by the wave-fragments, are changed in the result of the collision between the wave-fragments. Thus, a logical gate is implemented. Several theoretical designs and experimental laboratory implementations of Boolean logic gates have been proposed in the past but little has been done cascading the gates into binary arithmetical circuits. We propose a unique design of a binary one-bit full adder based on a fusion gate. A fusion gate is a two-input three-output logical device which calculates conjunction of the input variables and conjunction of one input variable with negation of another input variable. The gate is made of three channels: two channels cross each other at an angle, third channel starts at the junction. The chan- nels contain BZ medium. When two excitation wave-fragments, travelling towards each other along input channels, collide at the junction they merge into a single wave-front travelling along the third channel. If there is just one wave-front in the input channel, the front continues its propagation undisturbed. We make a one-bit full adder by cascading two fusion gates. We show how to cascade the adder blocks into a many-bit full adder. We evaluate feasibility of our designs by simulating evolution of excitation in the gates and adders using numerical integration of Oregonator equations. I. INTRODUCTION preparatory steps have been done. They include simu- lation and experimental laboratory realisation of basic logical gates [26–29] and generators of mobile localiza- Information processing potential of a spatially ex- tions (they can play a role of constant True) in light- tended, thin layer, Belousov-Zhabotinsky (BZ) medium [1, sensitive BZ medium [30] and adaptive design of simple 2] was ﬁrstly demonstrated in late 1980s in pioneer works logical gates using machine learning techniques [31]. The by Kuhnert, Agladze and Krinsky on experimental lab- main reason for such slow experimental progress is insta- oratory implementation of spatial memory devices and bility of localised excitation wave-fragments: the waves image processing prototypes in the excitable chemical are either collapse or expand unless some external peri- medium [3, 4]. Their ﬁndings, albeit with a ten years odical stimulation is applied. First one-bit half-adder in delay, ignited a series of well founded theoretical and geometrically-constrained light-sensitive BZ medium is experimental works on realisation of computing devices proposed in [32], however the implementation required in BZ medium. These include logical gates implemented dynamical update of the illumination level to prevent in geometrically constrained BZ medium [5, 6], approxi- excitation wave-fragments from collapsing or expanding. mation of shortest path by excitation waves [7–9], mem- Models of multi-bit binary adder, decoder and compara- ory in BZ micro-emulsion [10], information coding with tor in BZ are proposed in [33–36]. These architectures frequency of oscillations [11], onboard controllers for employ such crossover structures as T-shaped coincidence robots [12–14], chemical diodes [15], BZ neuromorphic detectors [37] and chemical diodes [15] that heavily rely architectures [16–19], wave-based counters [20], and other on heterogeneity of geometrically constrained space. aspects of information processing in excitable chemical systems [21–24]. Indeed by controlling excitability [38] in diﬀerent loci So far no complete arithmetical circuit has ever been of the medium we can achieve impressive results, as it implemented in BZ in experimental conditions. Some is demonstrated in works related to polymorphic logical gates [39], analogs of dendritic trees [19] and, particu- larly, implementation of four-bit input, two-bit output ∗ integer square root circuits based on alternating ‘con- † ductivity’ of junctions between channels [40], however andrew.adamatzky@uwe.ac.uk ‡ experimental prototypes show a high degree of instability § and sensitivity to environmental conditions. In present ##LTLine##

text: Binary

label: title

text: full

text: adder,

text: made

text: of

text: fusion

text: gates,

text: in

text: sub-excitable

text: Belousov-Zhabotinsky

text: system

text: Andrew

label: author

text: Adamatzky

text: (Dated:

text: May

label: date

text: In

label: abstract

text: an

text: excitable

text: thin-layer

text: Belousov-Zhabotinsky

text: (BZ)

text: medium

text: a

text: localised

text: perturbation

text: leads

text: to

text: for-

text: mation

text: of

text: omnidirectional

text: target

text: or

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text: waves

text: of

text: excitation.

text: A

text: sub-excitable

text: BZ

text: medium

text: responds

text: to

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text: by

text: producing

text: travelling

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text: wave-fragments,

text: dis-

text: tant

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text: of

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text: The

text: size

text: and

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text: of

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text: excitation

text: wave-fragment

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text: on

text: the

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text: level

text: of

text: the

text: medium.

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text: the

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text: wave-fragments

text: conserve

text: their

text: shape

text: and

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text: for

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text: We

text: interpret

text: the

text: wave-fragments

text: as

text: values

text: of

text: Boolean

text: variables.

text: When

text: two

text: or

text: more

text: wave-fragments

text: collide

text: they

text: annihilate

text: or

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text: into

text: a

text: new

text: wave-fragment.

text: States

text: of

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text: represented

text: by

text: the

text: wave-fragments,

text: are

text: changed

text: in

text: the

text: result

text: of

text: the

text: collision

text: between

text: the

text: wave-fragments.

text: Thus,

text: a

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text: gate

text: is

text: implemented.

text: Several

text: theoretical

text: designs

text: and

text: experimental

text: laboratory

text: implementations

text: of

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text: have

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text: in

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text: but

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text: has

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text: the

text: gates

text: into

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text: circuits.

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text: propose

text: a

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text: design

text: of

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text: one-bit

text: full

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text: based

text: on

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text: fusion

text: gate.

text: A

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text: is

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text: which

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text: of

text: the

text: input

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text: and

text: conjunction

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text: one

text: input

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text: with

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text: input

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text: The

text: gate

text: is

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text: two

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text: each

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text: at

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text: The

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text: contain

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text: When

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text: collide

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text: wave-front

text: in

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text: propagation

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text: We

text: make

text: a

text: one-bit

text: full

text: adder

text: by

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text: gates.

text: We

text: show

text: how

text: to

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text: blocks

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text: many-bit

text: full

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text: We

text: evaluate

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text: of

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text: designs

text: by

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text: of

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text: in

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text: and

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text: using

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text: of

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text: equations.

text: I.

text: INTRODUCTION

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text: have

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text: done.

text: They

text: include

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text: lation

text: and

text: experimental

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text: and

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text: of

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text: processing

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text: can

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text: a

text: role

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text: True)

text: in

text: light-

text: tended,

text: thin

text: layer,

text: Belousov-Zhabotinsky

text: (BZ)

text: medium

text: sensitive

text: BZ

text: medium

text: and

text: adaptive

text: design

text: of

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text: was

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text: demonstrated

text: in

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text: works

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text: using

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text: The

text: by

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text: and

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text: on

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text: main

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text: for

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text: is

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text: implementation

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text: devices

text: and

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text: of

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text: the

text: waves

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text: processing

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text: in

text: the

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text: are

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text: external

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text: medium

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text: ﬁndings,

text: albeit

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text: a

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text: is

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text: First

text: one-bit

text: half-adder

text: in

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text: ignited

text: a

text: series

text: of

text: well

text: founded

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text: and

text: geometrically-constrained

text: light-sensitive

text: BZ

text: medium

text: is

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text: on

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text: of

text: computing

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text: proposed

text: in

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text: medium.

text: These

text: include

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text: implemented

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text: of

text: the

text: illumination

text: level

text: to

text: prevent

text: in

text: geometrically

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text: BZ

text: medium

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text: excitation

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text: from

text: collapsing

text: or

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text: mation

text: of

text: shortest

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text: by

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text: Models

text: of

text: multi-bit

text: binary

text: adder,

text: decoder

text: and

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text: ory

text: in

text: BZ

text: micro-emulsion

text: information

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text: with

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text: in

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text: are

text: proposed

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text: architectures

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text: of

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text: for

text: employ

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text: structures

text: as

text: T-shaped

text: coincidence

text: robots

text: chemical

text: diodes

text: BZ

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text: and

text: chemical

text: diodes

text: that

text: heavily

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text: and

text: other

text: on

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text: of

text: geometrically

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text: aspects

text: of

text: information

text: processing

text: in

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text: by

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text: in

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text: loci

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text: far

text: no

text: complete

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text: circuit

text: has

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text: of

text: the

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text: we

text: can

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text: as

text: it

text: implemented

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text: conditions.

text: Some

text: is

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text: to

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text: of

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text: and,

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text: larly,

text: implementation

text: of

text: four-bit

text: input,

text: two-bit

text: output

text: integer

text: square

text: root

text: circuits

text: based

text: on

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text: ‘con-

text: ductivity’

text: of

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text: between

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text: however

text: andrew.adamatzky@uwe.ac.uk

text: experimental

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text: show

text: a

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text: of

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text: and

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text: to

text: environmental

text: conditions.

text: In

text: present

text: ##LTLine##


text: VARIE´TE´S DE KISIN STRATIFIE´ES 17 insistons en particulier sur le fait qu’en aucun cas, un lien ne peut relier deux colonnes de couleurs diﬀ´erentes. Nous ´enonc¸ons les r´esultats de d´etermination de la vari´et´e de Kisin GRψ(v, t, ρ) en § termes du g`ene d´ecor´e X. Les preuves font l’objet de la partie suivante ( ). (cid:81) Th´eor`eme 2.2.1. — La vari´et´e de Kisin GRψ(v, t, ρ) est isomorphe `a une sous- vari´et´e ferm´ee K(t, ρ) de f−1 P1 . i=0 kE Soit X un g`ene associ´e au couple (ρ, t). En notant [x : x ] les coordonn´ees ho- (cid:54) i i+f mog`enes sur le i-i`eme facteur (0 i < f) et en convenant que x = x pour i K i i mod 2f entier, la vari´et´e (t, ρ) est d´eﬁnie par les ´equations suivantes : (cid:74) (cid:75) ∈ − (A) xi = 0 pour tout i 0, 2f 1 tel que Xi = O (B1) x x = x x (i.e. [x : x ] = [x : x ]) chaque fois que nous i i+f+1 i+1 i+f i i+f i+1 i+f+1 observons, dans X, le motif X X i i+1 X X i+f i+f+1 (B2) x x = 0 chaque fois que nous observons, dans X, le motif i i+f+1 X X i i+1 X X i+f i+f+1 (B3) x x = 0 chaque fois que nous observons, dans X, le motif i+1 i+f X X i i+1 X X i+f i+f+1 Remarque 2.2.2. — L’´ecriture dans le jeu d’´equations (B2) (resp. le jeu d’´equations (B3)) sous-entend qu’il n’y a pas de lien entre X et X (resp. entre X et X ). i+1 i+f i i+f+1 Ainsi, pour un i donn´e, les cas (B1), (B2) et (B3) s’excluent mutuellement. Nous re- marquons de plus que les jeux d’´equations (B2) et (B3) sont ´equivalents et se d´eduisent (cid:55)→ l’un de l’autre par la transformation i i+f. Nous avons toutefois pr´ef´er´e mentionner explicitement cette r´ep´etition pour plus de clart´e. ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: VARIE´TE´S

text: DE

text: KISIN

text: STRATIFIE´ES

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text: en

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text: un

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text: peut

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text: deux

text: colonnes

text: de

text: couleurs

text: diﬀ´erentes.

text: Nous

text: ´enonc¸ons

text: les

text: r´esultats

text: de

text: d´etermination

text: de

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text: vari´et´e

text: de

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text: ρ)

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text: X.

text: Les

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text: l’objet

text: de

text: la

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text: La

text: vari´et´e

text: de

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text: t,

text: ρ)

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text: une

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text: vari´et´e

text: ferm´ee

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text: ρ)

text: de

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text: Soit

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text: un

text: g`ene

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text: couple

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text: t).

text: En

text: notant

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text: x

text: les

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text: i

text: i+f

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text: sur

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text: i-i`eme

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text: que

text: x

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text: pour

text: i

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text: i

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text: entier,

text: la

text: vari´et´e

text: (t,

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text: est

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text: par

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text: suivantes

text: (A)

text: xi

text: pour

text: tout

text: i

text: tel

text: que

text: Xi

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text: x

text: x

text: x

text: x

text: (i.e.

text: [x

text: x

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text: chaque

text: fois

text: que

text: nous

text: i

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text: i

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text: dans

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text: X

text: X

text: i

text: X

text: X

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text: x

text: x

text: chaque

text: fois

text: que

text: nous

text: observons,

text: dans

text: X,

text: le

text: motif

text: i

text: X

text: X

text: i

text: X

text: X

text: i+f

text: x

text: x

text: chaque

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text: que

text: nous

text: observons,

text: dans

text: X,

text: le

text: motif

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text: X

text: X

text: i

text: X

text: X

text: i+f

text: Remarque

text: L’´ecriture

text: dans

text: le

text: jeu

text: d’´equations

text: (resp.

text: le

text: jeu

text: d’´equations

text: sous-entend

text: qu’il

text: n’y

text: a

text: pas

text: de

text: lien

text: entre

text: X

text: et

text: X

text: (resp.

text: entre

text: X

text: et

text: X

text: i+f

text: i

text: Ainsi,

text: pour

text: un

text: i

text: donn´e,

text: les

text: cas

text: et

text: s’excluent

text: mutuellement.

text: Nous

text: re-

text: marquons

text: de

text: plus

text: que

text: les

text: jeux

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text: et

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text: ´equivalents

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text: se

text: d´eduisent

text: l’un

text: de

text: l’autre

text: par

text: la

text: transformation

text: i

text: i+f.

text: Nous

text: avons

text: toutefois

text: pr´ef´er´e

text: mentionner

text: explicitement

text: cette

text: r´ep´etition

text: pour

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text: de

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text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: VARIE´TE´S DE KISIN STRATIFIE´ES 19 (cid:48) ⊕ (cid:48) ρ = IndGF (ω1+r0nr (θ)) Type t = η η G`ene Vari´et´e de Kisin G (cid:48) 4 F ⊕ − B A × r = 0 ωr0 ω p [1 : 0] [1 : 0] 0 2 2 B B (cid:54) (cid:54) − ⊕ − B AB × 1 r p 2 ωr0 ω p [1 : 0] [1 : 0] 0 2 2 O O (cid:54) (cid:54) − − ⊕ A A × 1 r p 2 ωr0 p 1 [0 : 1] [1 : 0] 0 4 AB O 0 (cid:54) r (cid:54) p − 3 ω1+r0−p ⊕ ω−1 A B P1 × [1 : 0] 0 2 2 AB O kE · (cid:48) Figure 3. Vari´et´e de Kisin de la repr´esentation ρ = IndGF (ω1+r0 nr (θ)). G (cid:48) 4 F (cid:74) (cid:75) ∈ (10) x x = 0 pour j 0, (cid:96) i+j+1 i+j+f Ainsi si, pour un certain j , la coordonn´ee x ne s’annule pas, nous d´eduisons 0 i+j0 que x − = 0 et par suite que le point projectif [x − : x − ] est ´egal `a (cid:74) i+f+j0 (cid:75)1 i+j0 1 i+f+j0 1 [1 : 0]. De proche en proche, nous obtenons alors [x : x ] = [1 : 0] pour tout ∈ − (cid:74) (cid:75) i+j i+j+f j 0, j 1 . De mani`ere similaire, si la coordonn´ee x est non nulle, alors nous 0 ∈ i+j0+f avons [x : x ] = [0 : 1] pour tout j j +1, (cid:96) . Il r´esulte de ceci que les solutions i+j i+j+f 0 du syst`eme (10) sont les (cid:96)-uplets ([x : x ]) (cid:54) (cid:54) de points projectifs de la forme : i+j i+j+f 1 j (cid:96) [1 : 0], . . . , [1 : 0], [x : x ], [0 : 1], . . . , [0 : 1]. i+j0 i+j0+f P G´eom´etriquement cela correspond `a une chaˆıne de 1 de longueur (cid:96) + 1. kE L’exemple pr´ec´edent montre que les vari´et´es de Kisin ne sont pas irr´eductibles en g´en´eral. Elles peuvent mˆeme ne pas ˆetre ´equidimensionnelles. L’exemple le plus simple de ce ph´enom`ene est donn´e par le diagramme suivant (f = 4) : x x x x 0 1 2 3 x x x 0 4 5 7 { } × P × { } × { } La vari´et´e de Kisin correspondante est l’union de [0 : 1] 1 [0 : 1] [1 : 0] P × { } × P × { } kEP et 1 [1 : 0] 1 [1 : 0] , c’est-`a-dire d’une copie de 1 et d’une copie de P k×EP kE kE 1 1 s’intersectant transversalement en un point. kE kE ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: VARIE´TE´S

text: DE

text: KISIN

text: STRATIFIE´ES

text: ρ

text: IndGF

text: (θ))

text: Type

text: t

text: η

text: η

text: G`ene

text: Vari´et´e

text: de

text: Kisin

text: G

text: F

text: B

text: A

text: r

text: ω

text: p

text: B

text: B

text: B

text: AB

text: r

text: p

text: ω

text: p

text: O

text: O

text: A

text: A

text: r

text: p

text: p

text: AB

text: O

text: r

text: p

text: ω−1

text: A

text: B

text: AB

text: O

text: kE

text: Figure

text: Vari´et´e

text: de

text: Kisin

text: de

text: la

text: repr´esentation

text: ρ

text: IndGF

text: nr

text: (θ)).

text: G

text: F

text: x

text: x

text: pour

text: j

text: i+j+f

text: Ainsi

text: si,

text: pour

text: un

text: certain

text: j

text: la

text: coordonn´ee

text: x

text: ne

text: s’annule

text: pas,

text: nous

text: d´eduisons

text: que

text: x

text: et

text: par

text: suite

text: que

text: le

text: point

text: projectif

text: [x

text: x

text: est

text: ´egal

text: `a

text: De

text: proche

text: en

text: proche,

text: nous

text: obtenons

text: alors

text: [x

text: x

text: pour

text: tout

text: i+j

text: i+j+f

text: j

text: j

text: De

text: mani`ere

text: similaire,

text: si

text: la

text: coordonn´ee

text: x

text: est

text: non

text: nulle,

text: alors

text: nous

text: avons

text: [x

text: x

text: pour

text: tout

text: j

text: j

text: Il

text: r´esulte

text: de

text: ceci

text: que

text: les

text: solutions

text: i+j

text: i+j+f

text: du

text: syst`eme

text: sont

text: les

text: ([x

text: x

text: de

text: points

text: projectifs

text: de

text: la

text: forme

text: i+j

text: i+j+f

text: j

text: [x

text: x

text: P

text: G´eom´etriquement

text: cela

text: correspond

text: `a

text: une

text: chaˆıne

text: de

text: de

text: longueur

text: kE

text: L’exemple

text: pr´ec´edent

text: montre

text: que

text: les

text: vari´et´es

text: de

text: Kisin

text: ne

text: sont

text: pas

text: irr´eductibles

text: en

text: g´en´eral.

text: Elles

text: peuvent

text: mˆeme

text: ne

text: pas

text: ˆetre

text: ´equidimensionnelles.

text: L’exemple

text: le

text: plus

text: simple

text: de

text: ce

text: ph´enom`ene

text: est

text: donn´e

text: par

text: le

text: diagramme

text: suivant

text: (f

text: x

text: x

text: x

text: x

text: x

text: x

text: x

text: P

text: La

text: vari´et´e

text: de

text: Kisin

text: correspondante

text: est

text: l’union

text: de

text: P

text: P

text: kEP

text: et

text: c’est-`a-dire

text: d’une

text: copie

text: de

text: et

text: d’une

text: copie

text: de

text: P

text: k×EP

text: kE

text: kE

text: s’intersectant

text: transversalement

text: en

text: un

text: point.

text: kE

text: kE

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: VARIE´TE´S DE KISIN STRATIFIE´ES 23 (cid:32) (cid:33) Lemme 3.2.1. — La matrice P (i) est de la forme : (cid:48) (cid:48) P (i) = uαiai u(cid:48)αibi (cid:48) , uαi+f bi uαi+f ai (cid:74) (cid:75) (cid:48) (cid:48) ⊗ (cid:48) − avec a , a , b et b dans S k [[ue]] et (α ) (cid:62) la suite d’´el´ements de 0, e 1 d´eﬁnis i i i i kE E i i 0 par les congruences (cid:48) ≡ (14) α + α ν (mod e). i i+f ∈ D´emonstration. — Les ´equations (12) et (13) assurent que g Gal(L/K) agit sur ∈ uαie(0i) et sur uαi+f e(1i) par multiplication par η¯(g). Ainsi, ´etant donn´es s0, s1 S(Si), le (i) (i) groupe de Galois Gal(L/K) agit sur s e +s e via le caract`ere η¯ si, et seulement s’il 0 0 1 1 ﬁx⊗e uαis0 et uαi+f s1, c’est-`a-dire si, et seulement si ces deux ´el´ements appartiennent `a S k [[ue]]. Nous en d´eduisons la forme annonc´ee pour la premi`ere colonne de kE E la matrice P (i). Pour la deuxi`em(cid:22)e colo(cid:23)nne, il suﬃt de remarquer que la condition (cid:48) det ρ| = ωh = (η¯η¯ ω)| implique : IF f IF (cid:48) ≡ pih − α piγ (mod e) i q + 1 (cid:48) c’est-`a-dire que α est construit de la mˆeme mani`ere que α apr`es avoir ´echang´e les (cid:48) i i roles de η et η . (cid:48) Remarque 3.2.2. — D’apr`es la d´emonstration ci-dessus, les entiers α sont ´egaux aux (cid:48) i α (h, γ , γ) (voir lemme 2.1.7). Ceci justiﬁe la notation que nous avons utilis´ee et ´eclaire i (cid:48) (cid:48) sur la compl´ementarit´e des rˆoles jou´es par α (associ´e `a η ) et α (associ´e `a η). i i Z Z → Pour tout i dans /f , la matrice de l’application ϕ : M(i) M(i+1) dans les bases (i) (i) (i+1) (i+1) respectives (eη , eη(cid:48) ) et (eη , eη(cid:48) ) s’´ecrit : − (15) H(i) = (P (i+1)) 1G(i)ϕ(P (i)) ou` G(i) est la matrice donn´ee par la formule (11). (cid:74) (cid:75) − Lemme 3.2.3. — Pour tout i dans 0, f 1 , nous avons ≡ det P (i) a uν (mod uν+1S ) i S − − ou` a est un ´el´ement inversible de S et ou` nous rappelons que ν = pf− 1 1. i p 1 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: VARIE´TE´S

text: DE

text: KISIN

text: STRATIFIE´ES

text: Lemme

text: La

text: matrice

text: P

text: (i)

text: est

text: de

text: la

text: forme

text: P

text: (i)

text: uαiai

text: uαi+f

text: bi

text: uαi+f

text: ai

text: avec

text: a

text: a

text: b

text: et

text: b

text: dans

text: S

text: k

text: [[ue]]

text: et

text: (α

text: la

text: suite

text: d’´el´ements

text: de

text: e

text: d´eﬁnis

text: i

text: i

text: i

text: i

text: kE

text: E

text: i

text: i

text: par

text: les

text: congruences

text: α

text: α

text: ν

text: (mod

text: e).

text: i

text: i+f

text: D´emonstration.

text: Les

text: ´equations

text: et

text: assurent

text: que

text: g

text: Gal(L/K)

text: agit

text: sur

text: et

text: sur

text: uαi+f

text: par

text: multiplication

text: par

text: η¯(g).

text: Ainsi,

text: ´etant

text: donn´es

text: S(Si),

text: le

text: (i)

text: (i)

text: groupe

text: de

text: Galois

text: Gal(L/K)

text: agit

text: sur

text: s

text: e

text: +s

text: e

text: via

text: le

text: caract`ere

text: η¯

text: si,

text: et

text: seulement

text: s’il

text: ﬁx⊗e

text: et

text: uαi+f

text: c’est-`a-dire

text: si,

text: et

text: seulement

text: si

text: ces

text: deux

text: ´el´ements

text: appartiennent

text: `a

text: S

text: k

text: [[ue]].

text: Nous

text: en

text: d´eduisons

text: la

text: forme

text: annonc´ee

text: pour

text: la

text: premi`ere

text: colonne

text: de

text: kE

text: E

text: la

text: matrice

text: P

text: (i).

text: Pour

text: la

text: il

text: suﬃt

text: de

text: remarquer

text: que

text: la

text: condition

text: det

text: ρ|

text: ωh

text: (η¯η¯

text: ω)|

text: implique

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text: f

text: IF

text: pih

text: α

text: piγ

text: (mod

text: e)

text: i

text: q

text: c’est-`a-dire

text: que

text: α

text: est

text: construit

text: de

text: la

text: mˆeme

text: mani`ere

text: que

text: α

text: apr`es

text: avoir

text: ´echang´e

text: les

text: i

text: i

text: roles

text: de

text: η

text: et

text: η

text: Remarque

text: D’apr`es

text: la

text: d´emonstration

text: ci-dessus,

text: les

text: entiers

text: α

text: sont

text: ´egaux

text: aux

text: i

text: α

text: (h,

text: γ

text: γ)

text: (voir

text: lemme

text: Ceci

text: justiﬁe

text: la

text: notation

text: que

text: nous

text: avons

text: utilis´ee

text: et

text: ´eclaire

text: i

text: sur

text: la

text: compl´ementarit´e

text: des

text: rˆoles

text: jou´es

text: par

text: α

text: (associ´e

text: `a

text: η

text: et

text: α

text: (associ´e

text: `a

text: η).

text: i

text: i

text: Z

text: Z

text: Pour

text: tout

text: i

text: dans

text: /f

text: la

text: matrice

text: de

text: l’application

text: ϕ

text: M(i)

text: dans

text: les

text: bases

text: (i)

text: (i)

text: respectives

text: (eη

text: et

text: (eη

text: s’´ecrit

text: H(i)

text: (P

text: (i))

text: ou`

text: G(i)

text: est

text: la

text: matrice

text: donn´ee

text: par

text: la

text: formule

text: Lemme

text: Pour

text: tout

text: i

text: dans

text: f

text: nous

text: avons

text: det

text: P

text: (i)

text: a

text: uν

text: (mod

text: i

text: S

text: ou`

text: a

text: est

text: un

text: ´el´ement

text: inversible

text: de

text: S

text: et

text: ou`

text: nous

text: rappelons

text: que

text: ν

text: pf−

text: i

text: p

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: 28 X. CARUSO, A. DAVID & A. ME´ZARD • (cid:48) − (cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48) Ai = bibi+1uαi+1+f+pαi+hi + aiai+1uαi+1+pαi+f+hi+f . Nous remarquons que toutes les puissances de u qui apparaissent dans les coeﬃcients (cid:48) diagonaux A et A sont (positives et) congrues `a ν modulo e. Ces puissances sont donc i i (cid:48) sup´erieures ou ´egales `a ν et les coeﬃcients A et A n’apportent donc aucune contrainte. (cid:48) i i Pour B et B , nous aurons besoin du lemme suivant. i i (cid:74) (cid:75) ∈ − Lemme 3.3.3. — Pour i 0, f 1 , nous avons : • ∈ { } αi+1+f + pαi + hi < ν ssi A est dominant en (i + 1) et Xi A, AB . Lorsque c’est le cas, X = O ou A est dominant en i. i+f • ∈ { } αi+1 + pαi+f + hi+f < ν ssi A est dominant en (i + 1) et Xi+f A, AB . Lorsque c’est le cas, Xi = O ou A est dominant en i. • (cid:48) (cid:48) ∈ { } αi+1+f + pαi + hi < ν ssi B est dominant en (i + 1) et Xi+f B, O . Lorsque c’est le cas, Xi = O ou B est dominant en i. • (cid:48) (cid:48) ∈ { } αi+1 + pαi+f + hi+f < ν ssi B est dominant en (i + 1) et Xi B, O . Lorsque c’est le cas, X = O ou B est dominant en i. i+f (cid:54) (cid:54) De plus, dans chacun des quatre cas pr´ec´edents, nous avons Xi+1 = O et Xi+1+f = O. D´emonstration. — Supposons α + pα + h < ν. Alors pα + h < ν et, par suite, ∈ { i+}1+f i i ≡ i i αi < ν/p < νρ,i. Ainsi Xi A, AB . De plus αi+1 pαi(cid:48) + hi (mod(cid:48) e) et, donc, d’apr`es le lemme 2.1.3, α = pα + h < ν. Ainsi α + α = α + α = ν et (cid:48) − −i+1 −i i i+1 i+1+f i+1 i+1+f αi+1 αi+1 = ν αi+1+f αi+1 > 0. Donc A est dominant en (i + 1) d’apr`es le lemme 3.3.2. Les autres r´esultats sont analogues, en constatant qu’un calcul similaire `a celui du (cid:48) lemme 2.1.3 montre que les coeﬃcients (α ) (cid:62) , d´eﬁnis par la congruence (14) satisfont (cid:48) (cid:48) i i ∈0 { } pαi+f + hi = αi+1+f si et seulement si Xi+f O, B . Supposons `a pr´esent qu’il apparaisse dans B un coeﬃcient de degr´e strictement i inf´erieur `a ν. Alors, α +pα +h < ν ou α +pα +h < ν et, par suite, d’apr`es i+1+f i i i+1 i+f i+f les deux premi`eres assertions du lemme 3.3.3, A est dominant en (i + 1). Nous remar- quons, de plus, que le coeﬃcient devant uαi+1+f+pαi+hi (resp. devant uαi+1+pαi+f+hi+f ) (cid:0) (cid:1) s(cid:0)’annu(cid:1)le si Xi+f = O (resp. Xi = O). En utilisant `a nouveau le lemme 3.3.3, nous d´eduisons que A est aussi dominant en i. Ces conclusions, combin´ees au lemme 2.1.4 et au fait que le couple d’all`eles O ne peut apparaˆıtre, restreignent les possibilit´es pour (cid:18) (cid:19) (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:27) O Xi de la mani`ere suivante : X i+f Xi ∈ A A B O A (cid:0) (cid:1) , , , , . X A B A A O i+f Le tableau ci-dessous pr´esente, pour chacune des valeurs possibles de Xi , l’´equation X i+f donn´ee par B ainsi que la d´ecoration entre les positions i et i + 1. (Remarquons que, i si les deux puissances de u qui apparaissent dans B sont strictement inf´erieures `a ν, i alors elles sont n´ecessairement ´egales car congrues modulo e.) ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: X.

text: CARUSO,

text: A.

text: DAVID

text: A.

text: ME´ZARD

label: list

text: Ai

text: Nous

text: remarquons

text: que

text: toutes

text: les

text: puissances

text: de

text: u

text: qui

text: apparaissent

text: dans

text: les

text: coeﬃcients

text: diagonaux

text: A

text: et

text: A

text: sont

text: (positives

text: et)

text: congrues

text: `a

text: ν

text: modulo

text: e.

text: Ces

text: puissances

text: sont

text: donc

text: i

text: i

text: sup´erieures

text: ou

text: ´egales

text: `a

text: ν

text: et

text: les

text: coeﬃcients

text: A

text: et

text: A

text: n’apportent

text: donc

text: aucune

text: contrainte.

text: i

text: i

text: Pour

text: B

text: et

text: B

text: nous

text: aurons

text: besoin

text: du

text: lemme

text: suivant.

text: i

text: i

text: Lemme

text: Pour

text: i

text: f

text: nous

text: avons

text: pαi

text: hi

text: ν

text: ssi

text: A

text: est

text: dominant

text: en

text: (i

text: et

text: Xi

text: A,

text: AB

text: Lorsque

text: c’est

text: le

text: cas,

text: X

text: O

text: ou

text: A

text: est

text: dominant

text: en

text: i.

text: i+f

text: pαi+f

text: hi+f

text: ν

text: ssi

text: A

text: est

text: dominant

text: en

text: (i

text: et

text: Xi+f

text: A,

text: AB

text: Lorsque

text: c’est

text: le

text: cas,

text: Xi

text: O

text: ou

text: A

text: est

text: dominant

text: en

text: i.

text: pαi

text: hi

text: ν

text: ssi

text: B

text: est

text: dominant

text: en

text: (i

text: et

text: Xi+f

text: B,

text: O

text: Lorsque

text: c’est

text: le

text: cas,

text: Xi

text: O

text: ou

text: B

text: est

text: dominant

text: en

text: i.

text: pαi+f

text: hi+f

text: ν

text: ssi

text: B

text: est

text: dominant

text: en

text: (i

text: et

text: Xi

text: B,

text: O

text: Lorsque

text: c’est

text: le

text: cas,

text: X

text: O

text: ou

text: B

text: est

text: dominant

text: en

text: i.

text: i+f

text: De

text: plus,

text: dans

text: chacun

text: des

text: quatre

text: cas

text: pr´ec´edents,

text: nous

text: avons

text: O

text: et

text: O.

text: D´emonstration.

text: Supposons

text: α

text: pα

text: h

text: ν.

text: Alors

text: pα

text: h

text: ν

text: et,

text: par

text: suite,

text: i

text: i

text: i

text: i

text: αi

text: ν/p

text: νρ,i.

text: Ainsi

text: Xi

text: A,

text: AB

text: De

text: plus

text: hi

text: e)

text: et,

text: donc,

text: d’apr`es

text: le

text: lemme

text: α

text: pα

text: h

text: ν.

text: Ainsi

text: α

text: α

text: α

text: α

text: ν

text: et

text: −i

text: i

text: ν

text: Donc

text: A

text: est

text: dominant

text: en

text: (i

text: d’apr`es

text: le

text: lemme

text: Les

text: autres

text: r´esultats

text: sont

text: analogues,

text: en

text: constatant

text: qu’un

text: calcul

text: similaire

text: `a

text: celui

text: du

text: lemme

text: montre

text: que

text: les

text: coeﬃcients

text: (α

text: d´eﬁnis

text: par

text: la

text: congruence

text: satisfont

text: i

text: i

text: ∈0

text: pαi+f

text: hi

text: si

text: et

text: seulement

text: si

text: Xi+f

text: O,

text: B

text: Supposons

text: `a

text: pr´esent

text: qu’il

text: apparaisse

text: dans

text: B

text: un

text: coeﬃcient

text: de

text: degr´e

text: strictement

text: i

text: inf´erieur

text: `a

text: ν.

text: Alors,

text: α

text: +pα

text: +h

text: ν

text: ou

text: α

text: +pα

text: +h

text: ν

text: et,

text: par

text: suite,

text: d’apr`es

text: i

text: i

text: i+f

text: i+f

text: les

text: deux

text: premi`eres

text: assertions

text: du

text: lemme

text: A

text: est

text: dominant

text: en

text: (i

text: Nous

text: remar-

text: quons,

text: de

text: plus,

text: que

text: le

text: coeﬃcient

text: devant

text: (resp.

text: devant

text: si

text: Xi+f

text: O

text: (resp.

text: Xi

text: O).

text: En

text: utilisant

text: `a

text: nouveau

text: le

text: lemme

text: nous

text: d´eduisons

text: que

text: A

text: est

text: aussi

text: dominant

text: en

text: i.

text: Ces

text: conclusions,

text: combin´ees

text: au

text: lemme

text: et

text: au

text: fait

text: que

text: le

text: couple

text: d’all`eles

text: O

text: ne

text: peut

text: apparaˆıtre,

text: restreignent

text: les

text: possibilit´es

text: pour

text: O

text: Xi

text: de

text: la

text: mani`ere

text: suivante

text: X

text: i+f

text: Xi

text: A

text: A

text: B

text: O

text: A

text: X

text: A

text: B

text: A

text: A

text: O

text: i+f

text: Le

text: tableau

text: ci-dessous

text: pr´esente,

text: pour

text: chacune

text: des

text: valeurs

text: possibles

text: de

text: Xi

text: l’´equation

text: X

text: i+f

text: donn´ee

text: par

text: B

text: ainsi

text: que

text: la

text: d´ecoration

text: entre

text: les

text: positions

text: i

text: et

text: i

text: (Remarquons

text: que,

text: i

text: si

text: les

text: deux

text: puissances

text: de

text: u

text: qui

text: apparaissent

text: dans

text: B

text: sont

text: strictement

text: inf´erieures

text: `a

text: ν,

text: i

text: alors

text: elles

text: sont

text: n´ecessairement

text: ´egales

text: car

text: congrues

text: modulo

text: e.)

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: VARIE´TE´S DE KISIN STRATIFIE´ES 33 (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) ⊂ ∈ D´eﬁnition 4.2.1. — Une partie S 1, (cid:96) est dite exprimable si pour tout m ∩ 0, n + 1 , l’intersection S I est de cardinal au plus 1. m (cid:74) (cid:75) { } ⊂ V Une partie exprimable S = r , . . . , r 1, (cid:96) d´eﬁnit une sous-vari´et´e de la V P 1 s S vari´et´e facteur isomorphe `a ( 1 )s de la fa¸con suivante. Supposons que y et z sont kE V 1 2 li´es. Alors, en convenant que [y : z ] = [0 : 1], la sous-vari´et´e est l’ensemble des 0 0 S ([y : z ]) (cid:54) (cid:54) avec, tout d’abord : i • i 1 i (cid:96)∈ P ∈ [y : z ] 1 si i S, • i i kE (cid:54) [y : z ] = [0 : 1] si 1 i < r , i i 1 − (cid:74) (cid:75) puis, pour u prenant successivement les valeurs 1, . . . , s 1 : • ∈ { } (cid:74) (cid:75) ∈ − si r j , . . . , j , alo(cid:26)rs [y : z ] = [y − : z − ] pour i r + 1, r 1 • u (cid:54)∈ { 1 n} i i ∈ ru 1 ru 1− u u+1 si r j , . . . , j , alors pour i r + 1, r 1 : u 1 n u u+1 [0 : 1] si [y − : z − ] = [1 : 0] [y : z ] = ru 1 ru 1 i i [1 : 0] si [y − : z − ] = [0 : 1] ru 1 ru 1 (cid:74) (cid:75) et, enﬁn : • ∈ { } (cid:74) (cid:75) ∈ si r j , . . . , j , [y (cid:26): z ] = [y − : z − ] pour i r + 1, (cid:96) • s (cid:54)∈ { 1 n} i i r∈u 1 ru 1 s si r j , . . . , j , alors pour i r + 1, (cid:96) : s 1 n s [0 : 1] si [y − : z − ] = [1 : 0] [y : z ] = rs 1 rs 1 i i [1 : 0] si [y − : z − ] = [0 : 1]. rs 1 rs 1 V La construction de est analogue si z et y sont li´es, en initialisant les valeurs par S− (cid:54) 1 2 [y : z ] = [1 : 0] pour 1 r < r . r r 1 V P P Autrement dit, s’obtient comme la sous-vari´et´e de ( 1 )(cid:96) produit de 1 aux ∈ S kE kE indices i S et des valeurs ﬁx´ees `a [0 : 1] ou [1 : 0] aux autres indices. L’alternance des V ⊂ V valeurs ﬁx´ees et le caract`ere exprimable de S garantissent l’inclusion . S (cid:74) (cid:75) Remarque 4.2.2. — Dans le cas d’une s´equence d’all`eles `a boucle (voir remarque ⊂  4.1.4), il convient d’adapter la d´eﬁnition de partie exprimable S 1, (cid:96) `a la pr´esence  ∩  d’un lien suppl´ementaire, i.e. S I est de cardinal au plus 1 pour n+1 { }  1, (cid:96) s’il y a une alternance de pente en 1 et (cid:96),  { } ∪ 1 [j , (cid:96)] s’il y a une alternance de pente en 1, mais pas en (cid:96), I = { } ∪ n n+1 (cid:96) [1, j ] s’il y a une alternance de pente en (cid:96), mais pas en 1, ∪ 1 [1, j ] [j , (cid:96)] s’il n’y a pas d’alternance de pente en 1, ni en (cid:96). 1 n V La construction de la sous-vari´et´e associ´ee `a une partie exprimable S est analogue, S (cid:54) avec une initialisation adapt´ee des valeurs des variables pour 0 r < r . 1 V Proposition 4.2.3. — Les composantes irr´eductibles de sont en bijection avec les parties exprimables S maximales pour l’inclusion. V La dimension de est ´egale au cardinal maximal d’une partie exprimable et est toujours inf´erieure ou ´egale `a (cid:96)+1. 2 ##LTLine##

text: VARIE´TE´S

text: DE

text: KISIN

text: STRATIFIE´ES

text: D´eﬁnition

text: Une

text: partie

text: S

text: est

text: dite

text: exprimable

text: si

text: pour

text: tout

text: m

text: n

text: l’intersection

text: S

text: I

text: est

text: de

text: cardinal

text: au

text: plus

text: m

text: V

text: Une

text: partie

text: exprimable

text: S

text: r

text: r

text: d´eﬁnit

text: une

text: sous-vari´et´e

text: de

text: la

text: V

text: P

text: s

text: S

text: vari´et´e

text: facteur

text: isomorphe

text: `a

text: )s

text: de

text: la

text: fa¸con

text: suivante.

text: Supposons

text: que

text: y

text: et

text: z

text: sont

text: kE

text: V

text: li´es.

text: Alors,

text: en

text: convenant

text: que

text: [y

text: z

text: la

text: sous-vari´et´e

text: est

text: l’ensemble

text: des

text: S

text: ([y

text: z

text: avec,

text: tout

text: d’abord

text: i

text: i

text: i

text: P

text: [y

text: z

text: si

text: i

text: S,

text: i

text: i

text: kE

text: [y

text: z

text: si

text: i

text: r

text: i

text: i

text: puis,

text: pour

text: u

text: prenant

text: successivement

text: les

text: valeurs

text: s

text: si

text: r

text: j

text: j

text: [y

text: z

text: [y

text: z

text: pour

text: i

text: r

text: r

text: u

text: n}

text: i

text: i

text: ru

text: ru

text: 1−

text: u

text: si

text: r

text: j

text: j

text: alors

text: pour

text: i

text: r

text: r

text: u

text: n

text: u

text: si

text: [y

text: z

text: [y

text: z

text: ru

text: ru

text: i

text: i

text: si

text: [y

text: z

text: ru

text: ru

text: et,

text: enﬁn

text: si

text: r

text: j

text: j

text: [y

text: z

text: [y

text: z

text: pour

text: i

text: r

text: s

text: n}

text: i

text: i

text: r∈u

text: ru

text: s

text: si

text: r

text: j

text: j

text: alors

text: pour

text: i

text: r

text: s

text: n

text: s

text: si

text: [y

text: z

text: [y

text: z

text: rs

text: rs

text: i

text: i

text: si

text: [y

text: z

text: rs

text: rs

text: V

text: La

text: construction

text: de

text: est

text: analogue

text: si

text: z

text: et

text: y

text: sont

text: li´es,

text: en

text: initialisant

text: les

text: valeurs

text: par

text: S−

text: [y

text: z

text: pour

text: r

text: r

text: r

text: r

text: V

text: P

text: P

text: Autrement

text: dit,

text: s’obtient

text: comme

text: la

text: sous-vari´et´e

text: de

text: produit

text: de

text: aux

text: S

text: kE

text: kE

text: indices

text: i

text: S

text: et

text: des

text: valeurs

text: ﬁx´ees

text: `a

text: ou

text: aux

text: autres

text: indices.

text: L’alternance

text: des

text: V

text: V

text: valeurs

text: ﬁx´ees

text: et

text: le

text: caract`ere

text: exprimable

text: de

text: S

text: garantissent

text: l’inclusion

text: S

text: Remarque

text: Dans

text: le

text: cas

text: d’une

text: s´equence

text: d’all`eles

text: `a

text: boucle

text: (voir

text: remarque

text: il

text: convient

text: d’adapter

text: la

text: d´eﬁnition

text: de

text: partie

text: exprimable

text: S

text: `a

text: la

text: pr´esence

text: d’un

text: lien

text: suppl´ementaire,

text: i.e.

text: S

text: I

text: est

text: de

text: cardinal

text: au

text: plus

text: pour

text: s’il

text: y

text: a

text: une

text: alternance

text: de

text: pente

text: en

text: et

text: [j

text: s’il

text: y

text: a

text: une

text: alternance

text: de

text: pente

text: en

text: mais

text: pas

text: en

text: I

text: n

text: j

text: s’il

text: y

text: a

text: une

text: alternance

text: de

text: pente

text: en

text: mais

text: pas

text: en

text: j

text: [j

text: s’il

text: n’y

text: a

text: pas

text: d’alternance

text: de

text: pente

text: en

text: ni

text: en

text: n

text: V

text: La

text: construction

text: de

text: la

text: sous-vari´et´e

text: associ´ee

text: `a

text: une

text: partie

text: exprimable

text: S

text: est

text: analogue,

text: S

text: avec

text: une

text: initialisation

text: adapt´ee

text: des

text: valeurs

text: des

text: variables

text: pour

text: r

text: r

text: V

text: Proposition

text: Les

text: composantes

text: irr´eductibles

text: de

text: sont

text: en

text: bijection

text: avec

text: les

text: parties

text: exprimables

text: S

text: maximales

text: pour

text: l’inclusion.

text: V

text: La

text: dimension

text: de

text: est

text: ´egale

text: au

text: cardinal

text: maximal

text: d’une

text: partie

text: exprimable

text: et

text: est

text: toujours

text: inf´erieure

text: ou

text: ´egale

text: `a

text: ##LTLine##


text: 36 X. CARUSO, A. DAVID & A. ME´ZARD D´emonstration. — C’est imm´ediat ´etant donn´e que GRψ(v , t, ρ) s’´ecrit comme un V 0 produit de vari´et´es facteurs de la forme pr´ec´edente. Notons que ce corollaire r´epond, dans notre cadre, `a la conjecture 2.4.16 de [Ki3]. 5. Stratiﬁcation et espace de d´eformations Le but de cette derni`ere partie est de donner des indications indiquant que l’an- neau de d´eformations Rψ(v, t, ρ) et la vari´et´e de Kisin GRψ(v, t, ρ) sont deux objets intimement li´es. Soit Dψ(v,(cid:100)t, ρ) l’espace rigide qui a pour anneau des fonctions Rψ(v, t, ρ)[1/p]. Le th´eor`eme 1.3.6 nous autorise `a penser `a Dψ(v, t, ρ) ´egalement comme `a la ﬁbre (cid:100) ψ g´en´erique de GR (v, t, ρ). Nous prendrons garde toutefois au fait que cette derni`ere ψ assertion n’a a priori pas un sens pr´ecis ´etant donn´e que le sch´ema formel GR (v, t, ρ) n’entre pas dans le cadre de la g´eom´etrie rigide classique car il n’est pas muni de la topo- logie p-adique (mais de la topologie m-adique ou` m est l’id´eal maximal de Rψ(v, t, ρ)). Malgr´e tout, nous pouvons construire une application de sp´ecialisation → sp : Dψ(v, t, ρ) GRψ(v, t, ρ) qui est d´eﬁnie, au moins, de fac¸on ensembliste sur les points ferm´es. Dans la suite, (cid:48) O lorsque E est une extension ﬁnie de E, (cid:48) fait r´ef´erence `a son anneau des entiers, O E m (cid:48) `a son id´eal maximal, k (cid:48) = (cid:48)/m (cid:48) `a son corps r´esiduel et π (cid:48) `a l’une de ses E E E E E uniformisantes. Aﬁn de construire le morphisme de sp´ecialisation, nous remarquons en ∈ (cid:48) premier lieu que la donn´ee d’un point x Dψ(v, t, ρ) de corps r´esiduel E est ´equivalente `a celle d’un couple (ρ, M) ou` : • → O ρ est une classe d’isomorphisme de repr´esentations ρ : G GL ( (cid:48)) poten- F 2 E tiellement Barsotti–Tate de type (v, t), de d´eterminant ψ et dont la r´eduction modulo π (cid:48) est isomorphe `a ρ, et • E M (cid:48) ⊗ M est un r´eseau de type (v, t) `a l’int´erieur de (E O (cid:48) ρ) (qui est uniquement E d´etermin´e). M Le quotient M/π (cid:48)M est alors un r´eseau de type (v, t) dans (ρ). Il apparaˆıt donc E comme un k (cid:48)-point de GRψ(v, t, ρ) et en d´etermine ainsi un point ferm´e. Cette E → construction d´eﬁnit une application ensembliste sp : Dψ(v, t, ρ) GRψ(v, t, ρ). La th´eorie des genres introduite et d´evelopp´ee dans [Br] puis reprise dans [CDM] permet de d´ecrire l’image r´eciproque d’un point ferm´e de GRψ(v, t, ρ) par l’application ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: X.

text: CARUSO,

text: A.

text: DAVID

text: A.

text: ME´ZARD

text: D´emonstration.

text: C’est

text: imm´ediat

text: ´etant

text: donn´e

text: que

text: GRψ(v

text: t,

text: ρ)

text: s’´ecrit

text: comme

text: un

text: V

text: produit

text: de

text: vari´et´es

text: facteurs

text: de

text: la

text: forme

text: pr´ec´edente.

text: Notons

text: que

text: ce

text: corollaire

text: r´epond,

text: dans

text: notre

text: cadre,

text: `a

text: la

text: conjecture

text: de

label: section

text: Stratiﬁcation

text: et

text: espace

text: de

text: d´eformations

text: Le

text: but

text: de

text: cette

text: derni`ere

text: partie

text: est

text: de

text: donner

text: des

text: indications

text: indiquant

text: que

text: l’an-

text: neau

text: de

text: d´eformations

text: Rψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: et

text: la

text: vari´et´e

text: de

text: Kisin

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: sont

text: deux

text: objets

text: intimement

text: li´es.

text: Soit

text: ρ)

text: l’espace

text: rigide

text: qui

text: a

text: pour

text: anneau

text: des

text: fonctions

text: Rψ(v,

text: t,

text: Le

text: th´eor`eme

text: nous

text: autorise

text: `a

text: penser

text: `a

text: Dψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: ´egalement

text: comme

text: `a

text: la

text: ﬁbre

text: ψ

text: g´en´erique

text: de

text: GR

text: (v,

text: t,

text: ρ).

text: Nous

text: prendrons

text: garde

text: toutefois

text: au

text: fait

text: que

text: cette

text: derni`ere

text: ψ

text: assertion

text: n’a

text: a

text: priori

text: pas

text: un

text: sens

text: pr´ecis

text: ´etant

text: donn´e

text: que

text: le

text: sch´ema

text: formel

text: GR

text: (v,

text: t,

text: ρ)

text: n’entre

text: pas

text: dans

text: le

text: cadre

text: de

text: la

text: g´eom´etrie

text: rigide

text: classique

text: car

text: il

text: n’est

text: pas

text: muni

text: de

text: la

text: topo-

text: logie

text: p-adique

text: (mais

text: de

text: la

text: topologie

text: m-adique

text: ou`

text: m

text: est

text: l’id´eal

text: maximal

text: de

text: Rψ(v,

text: t,

text: ρ)).

text: Malgr´e

text: tout,

text: nous

text: pouvons

text: construire

text: une

text: application

text: de

text: sp´ecialisation

text: sp

text: Dψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: qui

text: est

text: d´eﬁnie,

text: au

text: moins,

text: de

text: fac¸on

text: ensembliste

text: sur

text: les

text: points

text: ferm´es.

text: Dans

text: la

text: suite,

text: O

text: lorsque

text: E

text: est

text: une

text: extension

text: ﬁnie

text: de

text: E,

text: fait

text: r´ef´erence

text: `a

text: son

text: anneau

text: des

text: entiers,

text: O

text: E

text: m

text: `a

text: son

text: id´eal

text: maximal,

text: k

text: `a

text: son

text: corps

text: r´esiduel

text: et

text: π

text: `a

text: l’une

text: de

text: ses

text: E

text: E

text: E

text: E

text: E

text: uniformisantes.

text: Aﬁn

text: de

text: construire

text: le

text: morphisme

text: de

text: sp´ecialisation,

text: nous

text: remarquons

text: en

text: premier

text: lieu

text: que

text: la

text: donn´ee

text: d’un

text: point

text: x

text: Dψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: de

text: corps

text: r´esiduel

text: E

text: est

text: ´equivalente

text: `a

text: celle

text: d’un

text: couple

text: (ρ,

text: M)

text: ou`

text: O

text: ρ

text: est

text: une

text: classe

text: d’isomorphisme

text: de

text: repr´esentations

text: ρ

text: G

text: GL

text: poten-

text: F

text: E

text: tiellement

text: Barsotti–Tate

text: de

text: type

text: (v,

text: t),

text: de

text: d´eterminant

text: ψ

text: et

text: dont

text: la

text: r´eduction

text: modulo

text: π

text: est

text: isomorphe

text: `a

text: ρ,

text: et

text: E

text: M

text: M

text: est

text: un

text: r´eseau

text: de

text: type

text: (v,

text: t)

text: `a

text: l’int´erieur

text: de

text: (E

text: O

text: ρ)

text: (qui

text: est

text: uniquement

text: E

text: d´etermin´e).

text: M

text: Le

text: quotient

text: M/π

text: est

text: alors

text: un

text: r´eseau

text: de

text: type

text: (v,

text: t)

text: dans

text: (ρ).

text: Il

text: apparaˆıt

text: donc

text: E

text: comme

text: un

text: k

text: de

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: et

text: en

text: d´etermine

text: ainsi

text: un

text: point

text: ferm´e.

text: Cette

text: E

text: construction

text: d´eﬁnit

text: une

text: application

text: ensembliste

text: sp

text: Dψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ).

text: La

text: th´eorie

text: des

text: genres

text: introduite

text: et

text: d´evelopp´ee

text: dans

text: [Br]

text: puis

text: reprise

text: dans

text: [CDM]

text: permet

text: de

text: d´ecrire

text: l’image

text: r´eciproque

text: d’un

text: point

text: ferm´e

text: de

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: par

text: l’application

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: VARIE´TE´S DE KISIN STRATIFIE´ES 37 de sp´ecialisation. Rappelons tout d’abord la d´eﬁnition du genre d’un module de Breuil– O Kisin. Soit R = (cid:48) ou R = k (cid:48). Soit E E ⊕ · · · ⊕ − M = M(0) M(f 1) (cid:74) (cid:75) un module de Breuil(cid:16)–Kisin(cid:17)qui est libre de rang 2 sur S , de type de Hodge v et de type ∈ − R (i) (i) galoisien t. Pour tout i 0, f 1 , il existe une base (eη , eη(cid:48) ) dans laquelle Gal(L/K) η 0 → agit par la matrice (cid:48) . Notons G(i) la matrice de l’application ϕ : M(i) M(i+1) 0 η dans les bases pr´ec´edentes. D´eﬁnition 5.1.1. — Avec les notations ci-dessus, le genre (g (M)) (cid:54) (cid:54) − de M est i 0 i f 1 d´eﬁni par • g (M) = I si le coeﬃcient en haut `a gauche de G(i) est inversible, • i η g (M) = I (cid:48) si le coeﬃcient en bas `a droite de G(i) est inversible, • i η g (M) = II sinon. i Suivant la strat´egie de la d´emonstration du lemme 3.1.7 de [CDM], nous constatons que le genre (g (M)) (cid:54) (cid:54) − ne d´epend que de M — et notamment pas du choix des i 0 i f 1 bases (e(ηi), e(ηi(cid:48)))0(cid:54)i(cid:54)f−1. En caract´eristique p, le genre d´eﬁnit une stratiﬁcation de la vari´et´e de Kisin. Plus G { } G (cid:54) pr´ecis´ement, consid´erons l’ensemble = I, II et munissons f de l’ordre partiel (cid:54) { } → G d´eﬁni sur chaque composante par I II. Soit encore ж : I , I (cid:48), II l’application η η qui envoie I et I (cid:48) sur I et II sur II. Avec ces notations, nous avons le th´eor`eme suivant η η § dont la d´emonstration est report´ee au . Th´eor`eme 5.1.2. — La vari´et´e GRψ(v, t, ρ) admet une stratiﬁcation par des sous- vari´et´es r´eduites et localement (cid:26)ferm´ees GRψ(v, t, ρ) (g(cid:27)= (g ) (cid:54) ∈ Gf) caract´eris´ees g i 0 i<f par : GRψ(v, t, ρ)(k) = r´eseaux M tels qu∀e ⊂ GRψ(v, t, ρ)(k) g ж(g (M)) = g , i i i pour toute extension ﬁnie k de k . E De plus, l’adh´erence d’une strate GRψ(v, t, ρ) est ´egale `a l’union des strates (cid:48) (cid:62) g GR (cid:48)(v, t, ρ) prise sur tous les g g. g Remarque 5.1.3. — Dans [Ca3], dans un contexte diﬀ´erent, une stratiﬁcation a ´egalement ´et´e d´eﬁnie sur certaines vari´et´es de Kisin. Il semble toutefois diﬃcile a priori de comparer ces deux constructions. N´eanmoins, la question se pose de savoir s’il existe une m´ethode g´en´erale pour stratiﬁer les vari´et´es de Kisin qui conduirait, d’une part, `a celle de cet article et, d’autre part `a celle de [Ca3]. ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: VARIE´TE´S

text: DE

text: KISIN

text: STRATIFIE´ES

text: de

text: sp´ecialisation.

text: Rappelons

text: tout

text: d’abord

text: la

text: d´eﬁnition

text: du

text: genre

text: d’un

text: module

text: de

text: Breuil–

text: O

text: Kisin.

text: Soit

text: R

text: ou

text: R

text: k

text: Soit

text: E

text: E

text: M

text: M(f

text: un

text: module

text: de

text: est

text: libre

text: de

text: rang

text: sur

text: S

text: de

text: type

text: de

text: Hodge

text: v

text: et

text: de

text: type

text: R

text: (i)

text: (i)

text: galoisien

text: t.

text: Pour

text: tout

text: i

text: f

text: il

text: existe

text: une

text: base

text: (eη

text: dans

text: laquelle

text: Gal(L/K)

text: η

text: agit

text: par

text: la

text: matrice

text: Notons

text: G(i)

text: la

text: matrice

text: de

text: l’application

text: ϕ

text: M(i)

text: η

text: dans

text: les

text: bases

text: pr´ec´edentes.

text: D´eﬁnition

text: Avec

text: les

text: notations

text: ci-dessus,

text: le

text: genre

text: (g

text: (M))

text: de

text: M

text: est

text: i

text: i

text: f

text: d´eﬁni

text: par

text: g

text: (M)

text: I

text: si

text: le

text: coeﬃcient

text: en

text: haut

text: `a

text: gauche

text: de

text: G(i)

text: est

text: inversible,

text: i

text: η

text: g

text: (M)

text: I

text: si

text: le

text: coeﬃcient

text: en

text: bas

text: `a

text: droite

text: de

text: G(i)

text: est

text: inversible,

text: i

text: η

text: g

text: (M)

text: II

text: sinon.

text: i

text: Suivant

text: la

text: strat´egie

text: de

text: la

text: d´emonstration

text: du

text: lemme

text: de

text: [CDM],

text: nous

text: constatons

text: que

text: le

text: genre

text: (g

text: (M))

text: ne

text: d´epend

text: que

text: de

text: M

text: et

text: notamment

text: pas

text: du

text: choix

text: des

text: i

text: i

text: f

text: bases

text: (e(ηi),

text: En

text: caract´eristique

text: p,

text: le

text: genre

text: d´eﬁnit

text: une

text: stratiﬁcation

text: de

text: la

text: vari´et´e

text: de

text: Kisin.

text: Plus

text: G

text: G

text: pr´ecis´ement,

text: consid´erons

text: l’ensemble

text: I,

text: II

text: et

text: munissons

text: f

text: de

text: l’ordre

text: partiel

text: G

text: d´eﬁni

text: sur

text: chaque

text: composante

text: par

text: I

text: II.

text: Soit

text: encore

text: ж

text: I

text: I

text: II

text: l’application

text: η

text: η

text: qui

text: envoie

text: I

text: et

text: I

text: sur

text: I

text: et

text: II

text: sur

text: II.

text: Avec

text: ces

text: notations,

text: nous

text: avons

text: le

text: th´eor`eme

text: suivant

text: η

text: η

text: dont

text: la

text: d´emonstration

text: est

text: report´ee

text: au

text: Th´eor`eme

text: La

text: vari´et´e

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: admet

text: une

text: stratiﬁcation

text: par

text: des

text: sous-

text: vari´et´es

text: r´eduites

text: et

text: localement

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: (g

text: Gf)

text: caract´eris´ees

text: g

text: i

text: i<f

text: par

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)(k)

text: r´eseaux

text: M

text: tels

text: qu∀e

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)(k)

text: g

text: ж(g

text: (M))

text: g

text: i

text: i

text: i

text: pour

text: toute

text: extension

text: ﬁnie

text: k

text: de

text: k

text: E

text: De

text: plus,

text: l’adh´erence

text: d’une

text: strate

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: est

text: ´egale

text: `a

text: l’union

text: des

text: strates

text: g

text: GR

text: t,

text: ρ)

text: prise

text: sur

text: tous

text: les

text: g

text: g.

text: g

text: Remarque

text: Dans

text: dans

text: un

text: contexte

text: diﬀ´erent,

text: une

text: stratiﬁcation

text: a

text: ´egalement

text: ´et´e

text: d´eﬁnie

text: sur

text: certaines

text: vari´et´es

text: de

text: Kisin.

text: Il

text: semble

text: toutefois

text: diﬃcile

text: a

text: priori

text: de

text: comparer

text: ces

text: deux

text: constructions.

text: N´eanmoins,

text: la

text: question

text: se

text: pose

text: de

text: savoir

text: s’il

text: existe

text: une

text: m´ethode

text: g´en´erale

text: pour

text: stratiﬁer

text: les

text: vari´et´es

text: de

text: Kisin

text: qui

text: conduirait,

text: d’une

text: part,

text: `a

text: celle

text: de

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text: article

text: et,

text: d’autre

text: part

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text: de

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: VARIE´TE´S DE KISIN STRATIFIE´ES 43 Conjecture 5.2.7. — Avec les notations pr´ec´edentes, l’espace de d´eformations Dψ(v, t, ρ) s’´ecrit : × × · · · × Dψ(v, t, ρ) = D D D 1 2 r V ou` D d´epend uniquement de la vari´et´e stratiﬁ´ee . i i (cid:74) (cid:75) ∈ V Fixons `a pr´esent un indice j 1, r et ´etudions la vari´et´e stratiﬁ´ee . Remarquons, j pour commencer, que le lemme 5.2.1 nous apprend que, s’il y a une d´ecoration en forme de croix entre les indices i et (i + 1), alors la fonction g est constante ´egale `a I sur la V(cid:48) i vari´et´e de Kisin. Notons la vari´et´e stratiﬁ´ee associ´ee `a la portion de g`ene comprise j § entre les indices i et i dans laquelle nous avons contract´e les croix (comme au ). j j+1 V(cid:48) V V(cid:48) Nous avons une identiﬁcation canonique = et la stratiﬁcation sur co¨ıncide V j j j avec celle sur ; seuls les (cid:28) noms (cid:29) des strates sont modiﬁ´es par le fait que les I j correspondant aux croix disparaissent. Ainsi, sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer qu’il n’y a pas de croix dans les d´ecorations du g`ene X, ce que nous faisons `a (cid:48) partir de maintenant. De mˆeme, quitte `a ´echanger η et η , nous pouvons supposer que la fonction pr est constante ´egale `a [0 : 1] sur GRψ(v, t, ρ). ij Introduisons deux nouvelles notations. Premi`erement, si k est une extension ﬁnie de ∈ P − ∈ P k et x = [u : v] 1(k), posons x 1 = [v : u] 1(k). Deuxi`ement, si a et b sont deux E ´el´ements d’un ensemble, convenons que δ(a, b) vaut II si a = b et I sinon. ∈ Proposition 5.2.8. — Supposons i > i + 1. Alors, pour i S , nous avons : j+1 j j (cid:81) − g (x) = δ(x , x 1 ) pour tout k-point x de GRψ(v, t, ρ) i i i+1 ou` (x ) (cid:54) d´esigne l’image de x dans f−1 P1 (k) et, par convention, x = x . i 0 i<f i=0 kE f 0 D´emonstration. — C’est une cons´equence simple de la proposition 5.2.5 et du lemme 5.2.9 ci-dessous. (cid:74) (cid:75) ∈ − Lemme 5.2.9. — Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, pour i i , i 1 , le g`ene et j j+1 sa d´ecoration prennent, aux positions i et i + 1, l’une des formes suivantes : • • • • • • • − si i = i < i 1 : • • • • • • j j+1 • • • • • • • − si i < i < i 1 : • • • • • • j j+1 • • • • • − AB O AB O si i < i = i 1 : • • • • j j+1 AB O AB O Remarque 5.2.10. — Le lemme ne dit rien dans le cas ou` i = i + 1. j+1 j ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: VARIE´TE´S

text: DE

text: KISIN

text: STRATIFIE´ES

text: Conjecture

text: Avec

text: les

text: notations

text: pr´ec´edentes,

text: l’espace

text: de

text: d´eformations

text: Dψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: s’´ecrit

text: Dψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: D

text: D

text: D

text: r

text: V

text: ou`

text: D

text: d´epend

text: uniquement

text: de

text: la

text: vari´et´e

text: stratiﬁ´ee

text: i

text: i

text: V

text: Fixons

text: `a

text: pr´esent

text: un

text: indice

text: j

text: r

text: et

text: ´etudions

text: la

text: vari´et´e

text: stratiﬁ´ee

text: Remarquons,

text: j

text: pour

text: commencer,

text: que

text: le

text: lemme

text: nous

text: apprend

text: que,

text: s’il

text: y

text: a

text: une

text: d´ecoration

text: en

text: forme

text: de

text: croix

text: entre

text: les

text: indices

text: i

text: et

text: (i

text: alors

text: la

text: fonction

text: g

text: est

text: constante

text: ´egale

text: `a

text: I

text: sur

text: la

text: i

text: vari´et´e

text: de

text: Kisin.

text: Notons

text: la

text: vari´et´e

text: stratiﬁ´ee

text: associ´ee

text: `a

text: la

text: portion

text: de

text: g`ene

text: comprise

text: j

text: entre

text: les

text: indices

text: i

text: et

text: i

text: dans

text: laquelle

text: nous

text: avons

text: contract´e

text: les

text: croix

text: (comme

text: au

text: j

text: V

text: Nous

text: avons

text: une

text: identiﬁcation

text: canonique

text: et

text: la

text: stratiﬁcation

text: sur

text: co¨ıncide

text: V

text: j

text: j

text: j

text: avec

text: celle

text: sur

text: seuls

text: les

text: noms

text: des

text: strates

text: sont

text: modiﬁ´es

text: par

text: le

text: fait

text: que

text: les

text: I

text: j

text: correspondant

text: aux

text: croix

text: disparaissent.

text: Ainsi,

text: sans

text: perte

text: de

text: g´en´eralit´e,

text: nous

text: pouvons

text: supposer

text: qu’il

text: n’y

text: a

text: pas

text: de

text: croix

text: dans

text: les

text: d´ecorations

text: du

text: g`ene

text: X,

text: ce

text: que

text: nous

text: faisons

text: `a

text: partir

text: de

text: maintenant.

text: De

text: mˆeme,

text: quitte

text: `a

text: ´echanger

text: η

text: et

text: η

text: nous

text: pouvons

text: supposer

text: que

text: la

text: fonction

text: pr

text: est

text: constante

text: ´egale

text: `a

text: sur

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ).

text: ij

text: Introduisons

text: deux

text: nouvelles

text: notations.

text: Premi`erement,

text: si

text: k

text: est

text: une

text: extension

text: ﬁnie

text: de

text: P

text: P

text: k

text: et

text: x

text: [u

text: v]

text: posons

text: x

text: [v

text: u]

text: Deuxi`ement,

text: si

text: a

text: et

text: b

text: sont

text: deux

text: E

text: ´el´ements

text: d’un

text: ensemble,

text: convenons

text: que

text: δ(a,

text: b)

text: vaut

text: II

text: si

text: a

text: b

text: et

text: I

text: sinon.

text: Proposition

text: Supposons

text: i

text: i

text: Alors,

text: pour

text: i

text: S

text: nous

text: avons

text: j

text: j

text: g

text: (x)

text: δ(x

text: x

text: pour

text: tout

text: k-point

text: x

text: de

text: GRψ(v,

text: t,

text: ρ)

text: i

text: i

text: ou`

text: (x

text: d´esigne

text: l’image

text: de

text: x

text: dans

text: (k)

text: et,

text: par

text: convention,

text: x

text: x

text: i

text: i<f

text: kE

text: f

text: D´emonstration.

text: C’est

text: une

text: cons´equence

text: simple

text: de

text: la

text: proposition

text: et

text: du

text: lemme

text: ci-dessous.

text: Lemme

text: Sous

text: les

text: hypoth`eses

text: pr´ec´edentes,

text: pour

text: i

text: i

text: i

text: le

text: g`ene

text: et

text: j

text: sa

text: d´ecoration

text: prennent,

text: aux

text: positions

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text: et

text: i

text: l’une

text: des

text: formes

text: suivantes

text: si

text: i

text: i

text: i

text: j

text: si

text: i

text: i

text: i

text: j

text: AB

text: O

text: AB

text: O

text: si

text: i

text: i

text: i

text: j

text: AB

text: O

text: AB

text: O

text: Remarque

text: Le

text: lemme

text: ne

text: dit

text: rien

text: dans

text: le

text: cas

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text: i

text: i

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

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