text: 2 M.H.Mir et al. 8 7 N=1 N=1 N=3 N=3 6 N=6 6 N=6 N=10 N=10 4 5 2 4 0 3 -2 2 -4 1 -6 0 -8 -1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Energy(keV) Energy(keV) 0.4 0.25 N=1 N=1 N=3 N=3 0.35 N=6 N=6 N=10 N=10 0.2 0.3 0.25 0.15 0.2 0.1 0.15 0.1 0.05 0.05 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Energy(keV) Energy(keV) Figure 1. The predicted time-lag and rms versus energy for the fundamental (left panels) and the next harmonic (right panels) for diﬀerent values of the power-law to disk ﬂux ratio parameter N. The other parameters are kept at some constant ﬁduciary values. Note the sensitivity of the peak of the time-lag curve for the fundamental to N. riodic oscillations (QPO). Such analysis of high frequency the ρ class variability is fairly complex and our motivation is QPOs can give crucial information regarding the size of to identify the simplest model which can describe not only the emitting region (e.g. Lee, Misra & Taam 2001; Kumar the behaviour of the fundamental but also simultaneously & Misra 2014) and for the low frequency ones the causal that of the next harmonic. connection between spectral parameters (Misra & Mondal 2 THE DELAYED RESPONSE OF THE INNER 2013). Ingram & van der Klis (2015) have considered both DISK MODEL(DROID) energy dependent rms and phase resolved spectroscopy to − We assume that the X ray emission primarily consists argue that the low frequency QPO in the χ state has a − of two components, a soft disk blackbody and a hard X ray geometric origin. Frequency resolved spectroscopy at the ∼ power-law extending from 1 keV to high energies due to a QPO frequency which is related to the energy dependent corona. We neglect contributions from the Iron line emission rms curves can provide crucial information regarding the and other reﬂection features.. nature of the oscillation (Axelsson, Done, & Hjalmarsdotter The (cid:90)blackbody disk ﬂux is given by 2014). Janiuk & Czerny (2005) report hard photon time- lags for the ρ class variability which they interpret as the ∞ delay for the corona to adjust to a varying accretion rate. F ∝ E2 r − dr (1) Indeed the magnitude of the time delays of the order of sec- d exp( E ) 1 rin kT(r) onds implies that it is not due to light travel time eﬀects and instead should be associated with time delays between where E is the energy of the photon, r is the radius, diﬀerent structural parameters. Since the inner disk radius r is the inner disk radius and T(r) is the surface disk tem- in is known to vary during the oscillation (Neilsen et al. 2012), perature. From the standard disk blackbody model, we have it would be interesting to see if energy dependent time-lags (Frank, Kin(cid:18)g & R(cid:19)aine 2002): and the rms spectra of the diﬀerent harmonics of the oscilla- tion can provide insight into how the the inner radius varies − with the accretion rate. kT = kT r 3/4 (2) r in r in As we describe below the time-lag and rms spectra for MNRAS 000, 1–8 (0000) )ces( gal-emiT smr lanoitcarF )ces( gal-emiT smr lanoitcarF ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: the

text: fundamental

text: (left

text: panels)

text: and

text: the

text: next

text: harmonic

text: (right

text: panels)

text: for

text: diﬀerent

text: values

text: of

text: the

text: power-law

text: to

text: disk

text: ﬂux

text: ratio

text: parameter

text: N.

text: The

text: other

text: parameters

text: are

text: kept

text: at

text: some

text: constant

text: ﬁduciary

text: values.

text: Note

text: the

text: sensitivity

text: of

text: the

text: peak

text: of

text: the

text: time-lag

text: curve

text: for

text: the

text: fundamental

text: to

text: N.

text: riodic

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text: (QPO).

text: Such

text: analysis

text: of

text: high

text: frequency

text: the

text: ρ

text: class

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text: is

text: fairly

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text: and

text: our

text: motivation

text: is

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text: can

text: give

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text: information

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text: the

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text: of

text: to

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text: the

text: simplest

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text: which

text: can

text: describe

text: not

text: only

text: the

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text: Lee,

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text: the

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text: of

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text: but

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text: and

text: for

text: the

text: low

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text: next

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text: connection

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text: THE

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text: have

text: considered

text: both

text: DISK

text: MODEL(DROID)

text: energy

text: dependent

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text: and

text: phase

text: resolved

text: spectroscopy

text: to

text: We

text: assume

text: that

text: the

text: X

text: ray

text: emission

text: primarily

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text: that

text: the

text: low

text: frequency

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text: in

text: the

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text: state

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text: a

text: of

text: two

text: components,

text: a

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text: and

text: a

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text: ray

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text: Frequency

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text: at

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text: extending

text: from

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text: to

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text: to

text: a

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text: frequency

text: which

text: is

text: related

text: to

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text: corona.

text: We

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text: from

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text: can

text: provide

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text: the

text: and

text: other

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text: of

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text: is

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text: by

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text: report

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text: for

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text: class

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text: which

text: they

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text: to

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text: the

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text: of

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text: of

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text: implies

text: that

text: it

text: is

text: not

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text: to

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text: travel

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text: and

text: instead

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text: be

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text: where

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text: is

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text: of

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text: r

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text: Since

text: the

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text: r

text: is

text: the

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text: is

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text: disk

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text: in

text: is

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text: to

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text: the

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text: (Neilsen

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text: From

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text: model,

text: we

text: have

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text: to

text: see

text: if

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text: (Frank,

text: and

text: the

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text: of

text: the

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text: of

text: the

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text: provide

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text: into

text: how

text: the

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text: kT

text: kT

text: r

text: r

text: in

text: r

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text: we

text: describe

text: below

text: the

text: time-lag

text: and

text: rms

text: spectra

text: for

text: MNRAS

text: )ces(

text: gal-emiT

text: smr

text: lanoitcarF

text: )ces(

text: gal-emiT

text: smr

text: lanoitcarF

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: 2 where σ are the Pauli matrices, yˆ is normal to the 2D surface, and ψ(r) = (u(r), d(r))T are the real-space versions (cid:126) of the spin-up u and spin-down d operators. We have set = 1. The vector potential for the laser light is written k k in the following second-quantized form: (cid:115) (cid:88) (cid:0) (cid:1) 1 · − A(r, t) = (cid:15) a eip r iωpt + h.c. . (2.2) 2(cid:15) ω V p p 0 p p Here, (cid:15) is the dielectric constant, ω is the frequency of laser at momentum p, and V is the volume of the box. 0 p We can c·hoose a monochromatic frequency (cid:88)for the laser ωp = ω0, and the perpendicular direction of incidence for which (cid:15) yˆ = 0. Keeping the p = 0 component of the vector potential only gives p ≈ (cid:16)† − × (cid:17)· H(t) ψ [v(k eA (t)) σ yˆ] ψ , k p=0 k k (cid:112) gω − ∗ † A0(t) = ev0 (cid:15)0a0e iω0t + (cid:15)0a0eiω0t , (2.3) where g = ev/ 2(cid:15) ω3V . For the linear polarization of the incident laser we can choose (cid:15) = (1, 0, 0), and the 0 0 0 Hamiltonian becomes (cid:88) (cid:104) (cid:16) (cid:17) (cid:105) † − † H = ψ vk + gω (a + a ) σ + vk σ ψ k x 0 0 0 z z x k k † + ω a a, (2.4) 0 ± The photon Hamiltonian is given as a harmonic oscillator, which compensates the dropped time-dependence e iω0t. Despite the simple appearance of Eq. (2.4), there is diﬃculty in solving this problem due to the fact that electrons with diﬀerent momenta k are all coupled to the single photon mode a and thereby coupled with each other, somewhat 0 like the single-impurity Kondo problem. However, if we consider a situation in which each electron at momentum k couples to a photon mode independent(cid:88)ly, the(cid:104)p(cid:16)roblem becomes (cid:17) (cid:105) H = ψ† εk +(cid:88)gω (a + a† ) σ + ∆k σ ψ k 2 0 k k z 2 x k k † + ω a a . (2.5) 0 k k k − Here, ε = 2vk and ∆ = 2vk . One can see that each momentum sector of this Hamiltonian is a realization of the k x k z well-known spin-boson model, widely used in theories of quantum optics, quantum dissipation, quantum computation, → → and circuit quantum electrodynamics [22–24]. In the limit of ∆ 0, i.e. k 0, the SB model reduces to the LF k x model. In this regard, one can connect the 2D Dirac system coupled with the quantized laser ﬁeld to the LF model. The Floquet theory does not work for the 2D Dirac model coupled to the quantized radiation ﬁeld. The quenching of the laser pulse, which is a critical aspect in the time-resolved ARPES experiments, can be mimicked by the time dependence of the coupling g = g(t). Although this independent photon coupling is a crude approximation, we believe that our analytical treatment of the LF and SB problem can serve as the ﬁrst step towards the challenging goal of solving the 2D Dirac problem interacting with quantized light ﬁeld. III. TIME-DEPENDENT LANG-FIRSOV HAMILTONIAN A. The Model The Lang-Firsov Hamiltonian (cid:0) (cid:1) † † † † H = εc c + ω a a + gω c c a + a (3.1) 0 0 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

label: paragraph

text: where

text: σ

text: are

text: the

text: Pauli

text: matrices,

text: yˆ

text: is

text: normal

text: to

text: the

text: surface,

text: and

text: ψ(r)

text: (u(r),

text: d(r))T

text: are

text: the

text: real-space

text: versions

text: of

text: the

text: spin-up

text: u

text: and

text: spin-down

text: d

text: operators.

text: We

text: have

text: set

text: The

text: vector

text: potential

text: for

text: the

text: laser

text: light

text: is

text: written

text: k

text: k

text: in

text: the

text: following

text: second-quantized

text: form:

label: equation

text: A(r,

text: t)

text: a

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text: r

text: iωpt

text: h.c.

text: ω

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text: p

text: p

text: p

text: p

text: Here,

text: is

text: the

text: dielectric

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text: ω

text: is

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text: of

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text: at

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text: and

text: V

text: is

text: the

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text: of

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text: box.

text: p

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text: can

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text: a

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text: the

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text: and

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text: for

text: which

text: yˆ

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text: only

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text: H(t)

text: ψ

text: [v(k

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text: (t))

text: σ

text: yˆ]

text: ψ

text: k

text: k

text: k

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text: where

text: g

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text: For

text: the

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text: of

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text: we

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text: and

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text: becomes

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text: ψ

text: vk

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text: (a

text: a

text: σ

text: vk

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text: k

text: x

text: z

text: z

text: x

text: k

text: k

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text: a

text: a,

text: The

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text: is

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text: a

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text: which

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text: e

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text: the

text: simple

text: appearance

text: of

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text: there

text: is

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text: in

text: solving

text: this

text: problem

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text: to

text: the

text: fact

text: that

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text: with

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text: k

text: are

text: all

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text: to

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text: mode

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text: and

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text: with

text: each

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text: like

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text: problem.

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text: if

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text: which

text: each

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text: at

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text: k

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text: to

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text: mode

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text: k

text: k

text: z

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text: k

text: k

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text: a

text: a

text: k

text: k

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text: of

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text: is

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text: of

text: the

text: k

text: x

text: k

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text: well-known

text: spin-boson

text: model,

text: widely

text: used

text: in

text: theories

text: of

text: quantum

text: optics,

text: quantum

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text: quantum

text: computation,

text: and

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text: In

text: the

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text: of

text: i.e.

text: k

text: the

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text: model

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text: to

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text: k

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text: In

text: this

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text: one

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text: the

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text: with

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text: to

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text: The

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text: theory

text: does

text: not

text: work

text: for

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text: model

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text: to

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text: The

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text: of

text: the

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text: which

text: is

text: a

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text: the

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text: can

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text: by

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text: of

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text: g

text: g(t).

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text: this

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text: is

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text: we

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text: analytical

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text: of

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text: and

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text: can

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text: ﬁrst

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text: the

text: challenging

text: goal

text: of

text: solving

text: the

text: Dirac

text: problem

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text: with

text: quantized

text: light

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text: III.

text: TIME-DEPENDENT

text: LANG-FIRSOV

text: HAMILTONIAN

text: A.

text: The

text: Model

text: The

text: Lang-Firsov

text: Hamiltonian

text: H

text: εc

text: c

text: ω

text: a

text: a

text: gω

text: c

text: c

text: a

text: a

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: 3 expresses the coupling of a fermionic level of energy ε interacting with the harmonic oscillator mode of frequency U ω . It is diagonalized by the unitary operator : 0 U † − † = egc c(a a ), U† U † † H¯ = H = ε¯c c + ω a a, (3.2) 0 − U with the renormalized energy ε¯ = ε g2ω . The unitary operator transforms the boson and fermion operators 0 U† U − † a = a gc c, U† U c = cX, (3.3) − † where one can recognize X = eg(a a ) as the coherent state operator, † − X aX = a g, †| (cid:105) − − ∗ | (cid:105) X α = e g2(α α ) α + g . (3.4) − − ∗ | (cid:105) | (cid:105) | (cid:105) The factor e (g/2)(α α ) is a pure phase and we have introduced the coherent state α : a α = α α . The fermion Green’s function for the Lang-Firsov model can be obtained exactly thanks to the existence of a unitary U operator . For instance, the greater Green’s function (cid:48) − † (cid:48) G>(t, t ) = iTr[c(t)c (t )ρ], (3.5) where ρ is the density matrix giving the initial preparation of the fermion-boson state at time t , and c(t) = − − − 0 eiH(t t0)ce iH(t t0) is the Heisenberg operator, can be obtained exactly for the initial density matrix | (cid:105)(cid:104) | ρ = α α . (3.6) We set empty fermion state because the occupied fermion state gives zero to Eq .(3.5). A straightforward calculation ﬁnds (cid:16) (cid:17) G>(t, t(cid:48)) = − ie−iε¯(t−t(cid:48))eg2 e−iω0(t−t(cid:48))−1 × − ∗ − (cid:48) e(α α )(g(t) g(t )), (3.7) − where g(t) = geiω0(t t0). When α = 0, it reduces to the well-known form (cid:88) ∞ − − (cid:48) G>(t − t(cid:48)) = e−iε¯(t−t(cid:48))−g2 g2n e inω0(t t ) , (3.8) n! n=0 that gives a series of delta-function peaks of weights g2n/n! for the n-th sideband. → We now generalize the Lang-Firsov model to include the explicit time(cid:0)depend(cid:1)ence in the coupling constant, g g(t): † † † † H(t) = εc c + ω a a + g(t)ω c c a + a . (3.9) 0 0 ##LTLine## ##LTLine##

text: expresses

text: the

text: coupling

text: of

text: a

text: fermionic

text: level

text: of

text: energy

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text: interacting

text: with

text: the

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text: mode

text: of

text: frequency

text: U

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text: It

text: is

text: diagonalized

text: by

text: the

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text: U

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text: a

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text: U

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text: a

text: a,

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text: with

text: the

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text: and

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text: U

text: a

text: a

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text: where

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text: a

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text: the

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text: state

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text: X

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text: X

text: α

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text: α

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text: factor

text: e

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text: a

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text: and

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text: have

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text: state

text: α

text: a

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text: Green’s

text: function

text: for

text: the

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text: can

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text: obtained

text: exactly

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text: to

text: the

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text: of

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text: For

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text: the

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text: Green’s

text: function

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text: t

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text: where

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text: of

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text: state

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text: t

text: and

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text: eiH(t

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text: can

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text: for

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text: α

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text: set

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text: the

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text: to

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text: calculation

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text: G>(t,

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text: α

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text: g(t

text: where

text: g(t)

text: When

text: α

text: it

text: reduces

text: to

text: the

text: well-known

text: form

text: G>(t

text: e

text: t

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text: that

text: gives

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text: of

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text: for

text: the

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text: We

text: now

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text: the

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text: model

text: to

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text: the

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text: in

text: the

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text: g

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text: H(t)

text: εc

text: c

text: ω

text: a

text: a

text: g(t)ω

text: c

text: c

text: a

text: a

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: 4 This g(t) is not the same factor g(t) appearing in Eq. (3.7). Rather, it is a genuine time-dependent fermion-boson coupling g(t) that, by assumption, varies slowly on the time scale of the oscillator τ = 2π/ω , 0 0 | (cid:48) | (cid:28) | | g (t) τ g(t) , (3.10) 0 (cid:48) where g (t) is the temporal derivative of g(t). The Green’s function (3.5) for the time-dependent LF model is (cid:48) − (cid:104) | (cid:48) † (cid:48) | (cid:105) G>(t, t ) = i α U(t , t)cU(t, t )c U(t , t ) α . (3.11) 0 0 → −∞ (cid:48) The initial time t is usually set to the distant past t . The evolution operator U(t, t ), not to be confused 0 U 0 with the unitary operator in Eq. (3.3) and (3.4),(cid:20)is giv(cid:18)en b(cid:90)y the time-o(cid:19)rd(cid:21)ered product, (cid:48) − t U(t, t ) = T exp i H(t )dt , (3.12) 1 1 (cid:48) t with the time-dependent LF Hamiltonian (3.9) in the exponent. An exact evaluation of the double-time Green’s (cid:48) function (3.11) rests on the exact calculation of the propagator U(t, t ), which is not possible in general. On the other (cid:48) hand, the only time dependence in H(t) is through the coupling function g(t), which makes U(t, t ) quite close to − − (cid:48) the propagator e i(t t )H of the time-independent Hamiltonian, at least for suﬃciently slowly varying g(t) and over a − (cid:48) suﬃciently small time interval t t . It suggests that there may be a scheme to systematically expand the propagator (cid:48) (cid:48) U(t, t ) in powers of the derivative g (t). Indeed we have found such a scheme as outlined below. B. Derivation of the adiabatic Green’s function (cid:48) One can re-write U(t, t ) in Eq. (3.12) as a product over discrete time slices in the spirit of Feynman, (cid:48) − · · · − · · · − (cid:48) U(t, t ) = e i∆tH(t) e i∆tH(ti) e i∆tH(t ), (3.13) − U and note that any given e i∆tH(ti) can be diagonalized exactly by the time-dependent unitary operator, (ti): U† U † † H¯ (t ) = (t )H(t ) (t ) = ε¯(t )c c + ω a a, i i i i i 0 U † − † (t ) = eg(ti)c c(a a ), i − ε¯(t ) = ε g(t )2ω . (3.14) i i 0 The replacement − → U − U† e i∆tH(ti) (t )e i∆tH¯(ti) (t ) (3.15) i i in Eq. (3.13) gives another expression of the p(cid:16)ropagator (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:48) U − U† U(t, t ) = (t)e i∆tH¯(t) (t) (cid:16) (cid:17) · · · U − U† (t )e i∆tH¯(ti) (t ) i i · · · U (cid:48) − (cid:48) U† (cid:48) (t )e i∆tH¯(t ) (t ) . (3.16) U The essential idea here is the use of “instantaneous unitary operator” (t ) with which to diagonalize the evolution − i operator e i∆tH(ti) locally in time.

text: This

text: g(t)

text: is

text: not

text: the

text: same

text: factor

text: g(t)

text: appearing

text: in

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text: Rather,

text: it

text: is

text: a

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text: time-dependent

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text: coupling

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text: that,

text: by

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text: slowly

text: on

text: the

text: time

text: scale

text: of

text: the

text: oscillator

text: τ

text: 2π/ω

text: g

text: (t)

text: τ

text: g(t)

text: where

text: g

text: (t)

text: is

text: the

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text: of

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text: The

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text: function

text: for

text: the

text: time-dependent

text: LF

text: model

text: is

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text: t

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text: t)cU(t,

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text: t

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text: initial

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text: usually

text: set

text: to

text: the

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text: U(t,

text: t

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text: to

text: be

text: confused

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text: with

text: the

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text: in

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text: and

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text: t

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text: t

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text: i

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text: )dt

text: t

text: with

text: the

text: time-dependent

text: LF

text: Hamiltonian

text: in

text: the

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text: An

text: exact

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text: of

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text: Green’s

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text: on

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text: of

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text: U(t,

text: t

text: which

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text: in

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text: On

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text: hand,

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text: is

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text: which

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text: to

text: the

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text: e

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text: of

text: the

text: time-independent

text: Hamiltonian,

text: at

text: least

text: for

text: suﬃciently

text: slowly

text: varying

text: g(t)

text: and

text: over

text: a

text: suﬃciently

text: small

text: time

text: interval

text: t

text: t

text: It

text: suggests

text: that

text: there

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text: to

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text: the

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text: in

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text: of

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text: Indeed

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text: have

text: found

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text: a

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text: B.

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text: of

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text: Green’s

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text: can

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text: in

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text: as

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text: slices

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text: the

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text: of

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text: U(t,

text: t

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text: i∆tH(t)

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text: i∆tH(ti)

text: e

text: i∆tH(t

text: U

text: and

text: note

text: that

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text: given

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text: i∆tH(ti)

text: can

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text: by

text: the

text: time-dependent

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text: U

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text: (t

text: (t

text: )H(t

text: (t

text: ε¯(t

text: )c

text: c

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