text: R+T R ,T I / I 0 I / I 0 5 pare the case of co-propagating pulses with the cases of 0.98 a single pulse, comparatively weak nonlinearity and no (a) 0.97 relaxation at the same disorder (namely, ∆d = 0.05 µm), respectively. This comparison shows that the two-pulse 0.96 scheme allows to strongly increase the eﬃciency of light trapping inside the disordered photonic crystal. 0.95 Further, we have studied the propagation of a sin- 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 gle pulse containing the same energy as two interacting 0.51 (b) transmission pulses considered above, i.e. we dealt with the pulse 0.50 of the peak intensity 2I . Can the results on trapping 0.49 0 enhanced by two interacting pulses be compared with 0.48 this single pulse case? Our calculations show that the 0.47 probability of high-intensity pulse trapping in disordered 0.46 reflection structure with ∆d = 0.05 µm is much larger than in 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 two-pulse scheme of Table I: we have the average output W¯ ≈ 0.774, W = 0.416 and the number of realizations Disorder strength ∆d (µm) min with W < 0.6 as large as 21 (from the total number of FIG. 7. (Color online) The dependencies of (a) the average 100). However, such great eﬃciency of trapping has sim- total output and (b) the average transmission and reﬂection ple explanation: high-intensity pulse trapping can be ob- on the strength of disorder in the case of counter-propagating served already in the ordered system giving W = 0.640. pulses. The nonlinearity coeﬃcient is n I = 0.05, relaxation 2 0 This is the fundamental diﬀerence with the situation re- time t = 10 fs. The averaging was made over 100 realiza- nl ported above for the pulses of lower intensities which can tions. be trapped only in the presence of disorder. For the high- intensity pulse, the situation seems to be inverted: the 1.0 disorder leads to some degradation of trapping, since the 0.5 (a) (b) LR pulse 0.8 transmission average output W¯ is higher than the output for the or- 0.4 RL pulse reflection 0.6 dered photonic crystal. Thus, if we want to have the 0.3 eﬀect of disorder on interacting pulses discussed in this 0.2 0.4 section, the intensity of pulses should be not too high: 0.1 0.2 under this condition, the self-trapping can be observed 0.0 0.0 -3 0 3 6 9 12 15 -3 0 3 6 9 12 15 neither for the single pulse in the disordered structure 0.0006 (c) t / t (d) t / t 0.0002 nor for the co-propagating pulses in the ordered struc- p p W=0.988 ture. Further, we will deal only with the pulses of appro- 0.0004 priate intensity. W =0.991 0.0001 LR 0.0002 The results of calculations reported in this section make it clear that there is an optimal level of disorder 0.0000 0.0000 for observation of trapping of energy of co-propagating 0 10 20 30 0 10 20 30 Length ( m) Length ( m) pulses. This fact along with the absence of trapping in µ µ the perfect (ordered) structure is the reason for us to call this eﬀect the disorder-induced light trapping in the FIG. 8. The example of speciﬁc realization with W = 0.988 photonic crystal. in counter-propagating regime. (a) Proﬁles of single LR and RL pulses transmitted through the structure with a given dis- IV. COUNTER-PROPAGATING PULSES order, (b) proﬁles of transmitted and reﬂected light when both pulses are launched into the structure, (c) and (d) intensity In this section, we consider another situation when the distributions (at the time instant t = 99t ) corresponding to p interacting pulses are counter-propagating. We restrict the situations of (a) and (b), respectively. The nonlinearity ourselves to the symmetric scheme when both pulses coeﬃcient is n2I0 = 0.05, relaxation time tnl = 10 fs, and the are identical. This means that, on average, reﬂection disorder strength ∆d = 0.05 µm. and transmission through the photonic crystal should be ≈ equal, i.e. T¯ = R¯ 0.5. Here the convention is used as follows: We call ”reﬂection” the part of total energy as a result of collision of counter-propagating pulses? The outgoing from, say, the left edge of the structure, i.e. it answer is not obvious, since the time of interaction in this is generated by the reﬂected light of the pulse propa- scheme seems to be much shorter than for co-propagating gating from left to right (LR) and transmitted light of pulses moving side by side along the whole length of the the pulse propagating from right to left (RL); hence, for structure. We performed calculations for diﬀerent dis- ”transmission” we have the energy part from the right order strengths in the manner of previous section. The edge, i.e. transmission of LR pulse plus reﬂection of RL statistics of realizations is represented in Table II, while pulse. Fig. 7 shows the average values of output energy. It Is it possible to observe the disorder-induced trapping is seen that transmission and reﬂection vary around the ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: R+T

label: paragraph

text: R

text: ,T

text: I

text: I

text: I

text: I

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text: the

text: case

text: of

text: co-propagating

text: pulses

text: with

text: the

text: cases

text: of

text: a

text: single

text: pulse,

text: comparatively

text: weak

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text: and

text: no

text: (a)

text: relaxation

text: at

text: the

text: same

text: disorder

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text: ∆d

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text: respectively.

text: This

text: comparison

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text: that

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text: two-pulse

text: scheme

text: allows

text: to

text: strongly

text: increase

text: the

text: eﬃciency

text: of

text: light

text: trapping

text: inside

text: the

text: disordered

text: photonic

text: crystal.

text: Further,

text: we

text: have

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text: the

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text: of

text: a

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text: pulse

text: containing

text: the

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text: as

text: two

text: interacting

text: (b)

text: transmission

text: pulses

text: considered

text: above,

text: i.e.

text: we

text: dealt

text: with

text: the

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text: of

text: the

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text: the

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text: on

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text: by

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text: with

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text: single

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text: case?

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text: calculations

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text: of

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text: with

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text: is

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text: scheme

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text: we

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text: output

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text: W

text: and

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text: number

text: of

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text: Disorder

text: strength

text: ∆d

text: (µm)

text: min

text: with

text: W

text: as

text: large

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text: (from

text: the

text: total

text: number

text: of

text: FIG.

text: (Color

text: online)

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text: of

text: (a)

text: the

text: average

text: However,

text: such

text: great

text: eﬃciency

text: of

text: trapping

text: has

text: sim-

text: total

text: output

text: and

text: (b)

text: the

text: average

text: transmission

text: and

text: reﬂection

text: ple

text: explanation:

text: high-intensity

text: pulse

text: trapping

text: can

text: be

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text: on

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text: in

text: the

text: case

text: of

text: counter-propagating

text: served

text: already

text: in

text: the

text: ordered

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text: giving

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text: pulses.

text: The

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text: is

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text: is

text: the

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text: with

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text: time

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text: The

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text: nl

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text: for

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text: of

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text: which

text: can

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text: be

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text: only

text: in

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text: For

text: the

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text: the

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text: seems

text: to

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text: the

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text: to

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text: degradation

text: of

text: trapping,

text: since

text: the

text: (a)

text: (b)

text: LR

text: pulse

text: transmission

text: average

text: output

text: W¯

text: is

text: higher

text: than

text: the

text: output

text: for

text: the

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text: RL

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text: Thus,

text: if

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text: of

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text: on

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text: in

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text: section,

text: the

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text: of

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text: should

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text: too

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text: under

text: this

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text: the

text: self-trapping

text: can

text: be

text: observed

text: neither

text: for

text: the

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text: pulse

text: in

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text: t

text: t

text: (d)

text: t

text: t

text: nor

text: for

text: the

text: co-propagating

text: pulses

text: in

text: the

text: ordered

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text: p

text: p

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text: Further,

text: we

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text: only

text: with

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text: of

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text: priate

text: intensity.

text: W

text: LR

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text: this

text: section

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text: clear

text: that

text: there

text: is

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text: optimal

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text: of

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text: for

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text: of

text: trapping

text: of

text: energy

text: of

text: co-propagating

text: Length

text: m)

text: Length

text: m)

text: pulses.

text: This

text: fact

text: along

text: with

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text: absence

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text: trapping

text: in

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text: µ

text: the

text: perfect

text: (ordered)

text: structure

text: is

text: the

text: reason

text: for

text: us

text: to

text: call

text: this

text: eﬀect

text: the

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text: light

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text: in

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text: FIG.

text: The

text: example

text: of

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text: realization

text: with

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text: photonic

text: crystal.

text: in

text: counter-propagating

text: regime.

text: (a)

text: Proﬁles

text: of

text: single

text: LR

text: and

text: RL

text: pulses

text: transmitted

text: through

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text: with

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text: IV.

text: COUNTER-PROPAGATING

text: PULSES

text: order,

text: (b)

text: proﬁles

text: of

text: transmitted

text: and

text: reﬂected

text: light

text: when

text: both

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text: are

text: launched

text: into

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text: structure,

text: (c)

text: and

text: (d)

text: intensity

text: In

text: this

text: section,

text: we

text: consider

text: another

text: situation

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text: distributions

text: (at

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text: to

text: p

text: interacting

text: pulses

text: are

text: counter-propagating.

text: We

text: restrict

text: the

text: situations

text: of

text: (a)

text: and

text: (b),

text: respectively.

text: The

text: nonlinearity

text: ourselves

text: to

text: the

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text: scheme

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text: both

text: pulses

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text: is

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text: and

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text: are

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text: This

text: means

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text: on

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text: reﬂection

text: disorder

text: strength

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text: µm.

text: and

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text: through

text: the

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text: crystal

text: should

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text: equal,

text: i.e.

text: T¯

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text: Here

text: the

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text: We

text: call

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text: as

text: a

text: result

text: of

text: collision

text: of

text: counter-propagating

text: pulses?

text: The

text: outgoing

text: from,

text: say,

text: the

text: left

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text: of

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text: i.e.

text: it

text: answer

text: is

text: not

text: obvious,

text: since

text: the

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text: of

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text: in

text: this

text: is

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text: by

text: the

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text: light

text: of

text: the

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text: scheme

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text: to

text: be

text: much

text: shorter

text: than

text: for

text: co-propagating

text: gating

text: from

text: left

text: to

text: right

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text: and

text: transmitted

text: light

text: of

text: pulses

text: moving

text: side

text: by

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text: along

text: the

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text: propagating

text: from

text: right

text: to

text: left

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text: hence,

text: for

text: structure.

text: We

text: performed

text: calculations

text: for

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text: dis-

text: ”transmission”

text: we

text: have

text: the

text: energy

text: part

text: from

text: the

text: right

text: order

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text: in

text: the

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text: of

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text: The

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text: transmission

text: of

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text: of

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text: statistics

text: of

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text: is

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text: in

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text: energy.

text: It

text: Is

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text: to

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text: vary

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text: the

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: 4 There are several mechanisms of clump destruction in · our Galaxy. We will consider only the most important with M = 8 1010M(cid:12), r = 4.5 kpc. Dividing the total d d ones. As we showed at the close of section Ener∼gy struc- clump energy |E| ∼ Gmcl by (6), we obtain the number ture of clumps, the case k = 1 corresponds to r0 rcl and rcl gives the most pessimistic estimation of clump survival. of passing Nd needed to destroy the clump by the disc We will actively use this fact in the current section. A. Destruction on halo stars 3r4v⊥2 m Nd = 8GdM2 r3cl e2r/rd. (8) The clumps can be destroyed by collisions with stars. d cl Let us denote the ave(cid:112)rage star mass, star number density ∼ (cid:39) and star velocity dispersion by m∗, n∗, and σ∗, respec- Substituting[? ] here v⊥ 100 km/s, we obtain N · − d tively. The dispersion of clump velocities is σcl. We 4.5 10 4ρ¯6e2r/rd. As we can see, Nd depends only on may introduce σ = σ∗2 + σ2 . The characteristic time the average density of the clump. Since ρ¯ depends on the cl of clump destruction by collisions with stars is [21, eqn. clump mass only logarithmically in the standard ΛCDM 8.55] model [1, 10], the clump destruction by the disc depends almost not at all on the clump mass. The motion of a clump in the Galaxy can be charac- (cid:39) 17 σm r2 td 200 Gm2∗cnl ∗crl3 , (3) terized by the minimum rmin and the maximum rmax 0 radii of its orbit. Equation (8) shows that a single pass- ∼ ing through the disk is enough to disintegrate a clump Since r0 rcl, we obtain: if rmin < 17 kpc. So high eﬃciency of the mechanism under consideration in the central area of the Milky Way (cid:39) 17 σm justiﬁes our neglect of other clump destruction factors, td 200 Gm2∗nc∗lr , (4) like the galactic bulge, gas nebulas etc. In the regions cl where they are eﬀective, the clumps are disrupted any- way. The main fraction of time the clumps spend in the On the other hand, the disc surface density rapidly Milky Way halo. The star concentration there can be es- drops with radius, and so does the eﬃciency of clump de- timated [7] as n∗ = (ρ /m∗)(r(cid:12)/r)3, where r(cid:12) = 8.5 kpc, · − h (cid:39) struction. A clump passes through the disc twice in each ρ = 1.4 10 5M(cid:12)/pc3, m∗ 0.4M(cid:12). We should inte- h revolution. Let us consider a clump with a circular orbit grate n∗ over the clump trajectory, from the minimum of radius 25 kpc. The orbital period of the Solar System r to the maximum r radius of its orbit. However, ∼ min max about Galactic Center is T 230 Myr. If we accept n∗ rapidly drops with radius, and the region near r MW ∝ − min that the Milky Way density proﬁle is ρ r 2 (which makes the main contribution into the clump destruction. ∝ is a very rough approximation), T r [22], i.e., the or- Assuming σ = 200 km/s, we obtain from (4): (cid:39) · (cid:39) bital period of the clump is T 230Myr 25kpc/8kpc ∼ 700 Myr. The clump passed through the disc 30 (cid:39) · · td (r/r(cid:12))3m26/3 8 1010years. (5) times in the lifetime of the Galaxy.∼According to Eqn. 8, the clump should be destroyed in 30 passages. Thus r = 25 kpc is approximately the border of the region As we can see, t exceeds the age of the Universe even where the clumps were disrupted by the disc in the life- d for low-massive objects. Only very small clumps M < time of the Galaxy. Clumps with larger r also can be de- − vir 10 7M(cid:12) can be destroyed by the halo star collisions. stroyed, if they have an elongate orbit and pass through B. Destruction on the Milky Way disc the disc close to the center. However, the fraction of these − clumps falls approximately as r 2 and becomes negligible ∼ However, the clumps can be disrupted by the tidal per- at r 50 kpc. turbations of the galactic disc as a whole. A single pass- C. Destruction by the gravitational ﬁeld of the ing of a clump through the disc changes its energy on Galaxy If a clump has a non-circular orbit, it periodically ap- 16π2G2o2r2 δE = d 0 , (6) proaches the galaxy center and expresses tidal shocks. A 3v⊥2 single shock increases the clump energy on [21, eqn. 8.43] where o is the surface density of the Milky Way disc, d v⊥ is the perpendicular to the disc component of the δE = 4G2Mp2(rmin)(cid:104)r2(cid:105), (9) clump velocity. We assume [7] 3v2r4 0 min od(r) = 2Mπrd2 e−r/rd, (7) is wthheerteotvalismthasescolufmthpevpeleorctiutrybaert r(minino,uarncdasMe,p(orfmtihne) d ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: There

text: are

text: several

text: mechanisms

text: of

text: clump

text: destruction

text: in

text: our

text: Galaxy.

text: We

text: will

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text: only

text: the

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text: with

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text: Dividing

text: the

text: total

text: d

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text: As

text: we

text: showed

text: at

text: the

text: close

text: of

text: section

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text: clump

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text: by

text: we

text: obtain

text: the

text: number

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text: of

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text: the

text: case

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text: corresponds

text: to

text: rcl

text: and

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text: gives

text: the

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text: of

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text: survival.

text: of

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text: needed

text: to

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text: the

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text: by

text: the

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text: this

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text: in

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text: section.

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label: section

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text: on

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text: The

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text: can

text: be

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text: by

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text: with

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text: d

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text: us

text: denote

text: the

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text: star

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text: and

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text: by

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text: and

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text: respec-

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text: here

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text: km/s,

text: we

text: obtain

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text: d

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text: The

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text: of

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text: is

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text: We

text: As

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text: can

text: see,

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text: σ∗2

text: σ2

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text: density

text: of

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text: Since

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text: of

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text: destruction

text: by

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text: with

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text: is

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text: clump

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text: only

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text: in

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text: the

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text: destruction

text: by

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text: not

text: at

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text: The

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text: of

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text: in

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text: can

text: be

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text: σm

text: td

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text: by

text: the

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text: and

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text: radii

text: of

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text: orbit.

text: Equation

text: shows

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text: a

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text: through

text: the

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text: to

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text: a

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text: Since

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text: we

text: obtain:

text: if

text: rmin

text: kpc.

text: So

text: high

text: eﬃciency

text: of

text: the

text: mechanism

text: under

text: consideration

text: in

text: the

text: central

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text: of

text: the

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text: Way

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text: our

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text: of

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text: td

text: like

text: the

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text: etc.

text: In

text: the

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text: where

text: they

text: are

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text: the

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text: are

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text: The

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text: of

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text: the

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text: in

text: the

text: On

text: the

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text: hand,

text: the

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text: Way

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text: The

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text: drops

text: with

text: radius,

text: and

text: so

text: does

text: the

text: eﬃciency

text: of

text: clump

text: de-

text: timated

text: as

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text: (ρ

text: where

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text: h

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text: A

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text: in

text: each

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text: m∗

text: We

text: should

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text: h

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text: Let

text: us

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text: a

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text: with

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text: over

text: the

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text: trajectory,

text: from

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text: of

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text: The

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text: of

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text: r

text: to

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text: of

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text: orbit.

text: However,

text: min

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text: Center

text: is

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text: If

text: we

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text: rapidly

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text: with

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text: and

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text: near

text: r

text: MW

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text: that

text: the

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text: Way

text: density

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text: is

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text: r

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text: makes

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text: is

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text: T

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text: i.e.,

text: the

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text: σ

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text: we

text: obtain

text: from

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text: period

text: of

text: the

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text: is

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text: The

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text: times

text: in

text: the

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text: of

text: the

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text: to

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text: the

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text: should

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text: in

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text: Thus

text: r

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text: is

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text: the

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text: of

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text: we

text: can

text: see,

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text: the

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text: of

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text: Universe

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text: where

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text: were

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text: by

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text: in

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text: d

text: for

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text: Only

text: very

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text: of

text: the

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text: with

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text: vir

text: can

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text: by

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text: collisions.

text: stroyed,

text: if

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text: have

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text: and

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text: through

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text: Destruction

text: on

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text: Way

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text: close

text: to

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text: However,

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text: of

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text: as

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text: and

text: becomes

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text: the

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text: can

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text: by

text: the

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text: per-

text: at

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text: turbations

text: of

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text: disc

text: as

text: a

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text: A

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text: Destruction

text: by

text: the

text: gravitational

text: ﬁeld

text: of

text: the

text: ing

text: of

text: a

text: clump

text: through

text: the

text: disc

text: changes

text: its

text: energy

text: on

text: Galaxy

text: If

text: a

text: clump

text: has

text: a

text: non-circular

text: orbit,

text: it

text: periodically

text: ap-

text: δE

text: d

text: proaches

text: the

text: galaxy

text: center

text: and

text: expresses

text: tidal

text: shocks.

text: A

text: single

text: shock

text: increases

text: the

text: clump

text: energy

text: on

text: eqn.

text: where

text: o

text: is

text: the

text: surface

text: density

text: of

text: the

text: Milky

text: Way

text: disc,

text: d

text: v⊥

text: is

text: the

text: perpendicular

text: to

text: the

text: disc

text: component

text: of

text: the

text: δE

text: clump

text: velocity.

text: We

text: assume

text: min

text: od(r)

text: e−r/rd,

text: is

text: r(minino,uarncdasMe,p(orfmtihne)

text: d

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: ∗ We generalize the theory of thermoelectrics to include coherent electron systems under adiabatic ac driving, accounting for quantum pumping of charge and heat as well as for the work exchanged between electron system and driving potentials. We derive the relevant response coeﬃcients in the adiabatic regime and show that they obey generalized Onsager reciprocity relations. We analyze the consequences of our generalized thermoelectric framework for quantum motors, generators, heat engines, and heat pumps, characterizing them in terms of eﬃciencies and ﬁgures of merit. We illustrate these concepts in a model for a quantum pump. PACS numbers: 73.23.-b, 72.10.Bg, 73.63.Kv, 44.10.+i I. INTRODUCTION The ZT value can be expressed in terms of the linear- Describing the relation between particle and energy response coeﬃcients of the device, relating charge and currents is at the heart of thermoelectrics.1–5 For dc driv- heat currents to bias voltage and temperature gradient.2 ing with small temperature gradients and bias voltages, The thermal engine can also be operated in reverse, linear-response relations between the currents and the realizing a refrigerator which invests electric power to applied forces constitute the basis to describe thermo- continuously extract heat from the colder reservoir. The electric phenomena. When combined with the principles maximal eﬃciency of this device is given by the appropri- − of thermodynamics, the resulting theory has the beauty ate Carnot eﬃciency η = T /(T T ) and in terms of C 1 2 1 of simplicity and the strength of high predictive power. this Carnot eﬃciency, the optimal eﬃciency for a speciﬁc Speciﬁcally, it allows for a successful characterization of device is again given by Eq. 1.2 the eﬃciency of various thermoelectric machines in terms In this paper, we consider setups in which the coherent of the ﬁgure of merit introduced by Ioﬀe in 1949.6 conductor is subject to a set of ac potentials in addition. An important challenge is to incorporate genuine quan- For deﬁniteness, we will consider reservoirs which have ei- tum eﬀects associated with coherent transport in nano- ther diﬀerent chemical potentials [Fig. 1(a)] or diﬀerent devices into this theoretical framework for thermoelec- tric eﬀects. Here, we address how to include adiabatic quantum pumping as a paradigm of coherent-transport eﬀects into a suitably generalized thermoelectric frame- work and explore the fundamental relations of the cor- responding quantum machines. Quantum pumping gen- erates nonzero dc currents by locally applying purely ac drivings to a quantum coherent conductor7–9. It gen- erates both charge and energy currents11, enables heat pumping, and the exchange of work between diﬀerent driving forces12,13. The aim of the present work is to ex- tend the linear-response theory of thermoelectric eﬀects to systems under adiabatic driving. To this end, we need to include the energy ﬂux between the electrons and the ac forces on an equal footing with the heat and particle ﬂuxes. Figure 1 shows the setup that we have in mind. It consists of a central coherent conductor which is cou- pled to two reservoirs. In conventional thermoelectrics,2 the two reservoirs diﬀer in both temperature and chem- ical potential. A thermal engine converts a temperature diﬀerence into electric power. As a consequence of the Second Law, the eﬃciency of this conversion process is − FIG. 1. Sketch of the setup. A coherent quantum conductor limited by the Carnot eﬃciency η = (T T )/T where C 2 1 2 is driven by time-periodic potentials and connected to two T > T denote the temperatures of the reservoirs. The 2 1 reservoirs biased by (a) a chemical-potential diﬀerence δµ or optimal eﬃciency that can be reached for a speciﬁc device is controlled by its ﬁgure of merit or ZT value,2 (b) a temperature gradient δT, or both. Charge N˙ R, heat Q˙ R and power W˙ are exchanged between the reservoirs and the √ ac sources. The solid (dashed) arrow indicate (a) the motor − √1 + ZT 1 (generator) mode of the device, and (b) the heat engine (heat η = ηC . (1) pump) mode. 1 + ZT + 1 ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: We

label: abstract

text: generalize

text: the

text: theory

text: of

text: thermoelectrics

text: to

text: include

text: coherent

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text: under

text: adiabatic

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text: for

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text: of

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text: and

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text: as

text: well

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text: for

text: the

text: work

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text: between

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text: and

text: driving

text: potentials.

text: We

text: derive

text: the

text: relevant

text: response

text: coeﬃcients

text: in

text: the

text: adiabatic

text: regime

text: and

text: show

text: that

text: they

text: obey

text: generalized

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text: We

text: analyze

text: the

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text: of

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text: generalized

text: thermoelectric

text: framework

text: for

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text: heat

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text: and

text: heat

text: pumps,

text: characterizing

text: them

text: in

text: terms

text: of

text: eﬃciencies

text: and

text: ﬁgures

text: of

text: merit.

text: We

text: illustrate

text: these

text: concepts

text: in

text: a

text: model

text: for

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text: quantum

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text: I.

text: INTRODUCTION

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text: ZT

text: value

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text: expressed

text: in

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text: the

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text: the

text: relation

text: between

text: particle

text: and

text: energy

text: response

text: coeﬃcients

text: of

text: the

text: device,

text: relating

text: charge

text: and

text: currents

text: is

text: at

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text: dc

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text: to

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text: and

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text: with

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text: and

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text: The

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text: engine

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text: in

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text: linear-response

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text: and

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text: which

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text: to

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text: basis

text: to

text: describe

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text: continuously

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text: from

text: the

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text: The

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text: phenomena.

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text: combined

text: with

text: the

text: principles

text: maximal

text: eﬃciency

text: of

text: this

text: device

text: is

text: given

text: by

text: the

text: appropri-

text: of

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text: the

text: resulting

text: theory

text: has

text: the

text: beauty

text: ate

text: Carnot

text: eﬃciency

text: η

text: T

text: /(T

text: T

text: and

text: in

text: terms

text: of

text: C

text: of

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text: and

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text: strength

text: of

text: high

text: predictive

text: power.

text: this

text: Carnot

text: eﬃciency,

text: the

text: optimal

text: eﬃciency

text: for

text: a

text: speciﬁc

text: Speciﬁcally,

text: it

text: allows

text: for

text: a

text: successful

text: characterization

text: of

text: device

text: is

text: again

text: given

text: by

text: Eq.

text: the

text: eﬃciency

text: of

text: various

text: thermoelectric

text: machines

text: in

text: terms

text: In

text: this

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text: we

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text: which

text: the

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text: of

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text: of

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text: introduced

text: by

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text: in

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text: is

text: subject

text: to

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text: of

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text: An

text: important

text: challenge

text: is

text: to

text: incorporate

text: genuine

text: quan-

text: For

text: deﬁniteness,

text: we

text: will

text: consider

text: reservoirs

text: which

text: have

text: ei-

text: tum

text: eﬀects

text: associated

text: with

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text: in

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text: ther

text: diﬀerent

text: chemical

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text: [Fig.

text: or

text: diﬀerent

text: devices

text: into

text: this

text: theoretical

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text: for

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text: tric

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text: Here,

text: we

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text: how

text: to

text: include

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text: as

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text: of

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text: eﬀects

text: into

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text: work

text: and

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text: the

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text: of

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text: Quantum

text: pumping

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text: erates

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text: currents

text: by

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text: to

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text: gen-

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text: both

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text: heat

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text: and

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text: of

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text: driving

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text: of

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text: the

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text: theory

text: of

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text: to

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text: To

text: this

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text: we

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text: to

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text: the

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text: between

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text: and

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text: on

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text: footing

text: with

text: the

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text: and

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text: shows

text: the

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text: that

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text: in

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text: It

text: consists

text: of

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text: which

text: is

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text: to

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text: In

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text: the

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text: in

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text: and

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text: A

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text: converts

text: a

text: temperature

text: diﬀerence

text: into

text: electric

text: power.

text: As

text: a

text: consequence

text: of

text: the

text: Second

text: Law,

text: the

text: eﬃciency

text: of

text: this

text: conversion

text: process

text: is

text: FIG.

text: Sketch

text: of

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text: A

text: coherent

text: quantum

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text: limited

text: by

text: the

text: Carnot

text: eﬃciency

text: η

text: (T

text: T

text: )/T

text: where

text: C

text: is

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text: and

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text: to

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text: T

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text: of

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text: The

text: reservoirs

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text: by

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text: a

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text: diﬀerence

text: δµ

text: or

text: optimal

text: eﬃciency

text: that

text: can

text: be

text: reached

text: for

text: a

text: speciﬁc

text: device

text: is

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text: by

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text: of

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text: or

text: ZT

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text: temperature

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text: δT,

text: or

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text: Charge

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text: R,

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text: and

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text: exchanged

text: between

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text: sources.

text: The

text: solid

text: (dashed)

text: arrow

text: indicate

text: (a)

text: the

text: motor

text: √1

text: ZT

text: (generator)

text: mode

text: of

text: the

text: device,

text: and

text: (b)

text: the

text: heat

text: engine

text: (heat

text: η

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text: pump)

text: mode.

text: ZT

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##