text: [ ] [ ] �� � �� � � ��� ��� ���� ��� � ��� ���� ��� � ��� ��� ��� ��� � ��� � = = = = T=105MeV T=210MeV T=252MeV T=280MeV [ ] ��� [ ] T=315MeV T=360MeV T 419MeV T 503MeV T 629MeV T 839MeV � �� ��� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � � � Figure 1: (left) One parameter ﬁt (solid lines) to the real part of the potential (data points) obtained in quenched QCD. (right) Imaginary part of the potential in quenched QCD (data points) and the values obtained from our analytic expression using the Debye mass ﬁtted in ReV . real-part, the resulting values for ImV also agree reasonably well with the lat- tice data (Fig.1 right). At high temperatures and small distances, where the lattice reconstruction of the potential is most reliable, we even ﬁnd quantitative agreement with the analytical form within statistical errors. At larger distances we expect that the lattice data-points are indeed larger than the actual values of ImV , as the underlying extraction from spectral widths leads to unphysically large values due to a diminishing signal to noise ratio. Close to T at T = 315MeV our analytic postdiction of ImV appears to C lie rather far away from the lattice data. The reason for this, we believe, is twofold. On the one hand the extracted values for ImV at this temperature are rather imprecise, with the statistical errorbars still sizeable. On the other hand the determination of m from ReV also seems to lack accuracy. Indeed if we D inspect the corresponding ﬁt curve on the left of Fig.1, we can see already by eye that is too steep compared to those at neighboring temperatures. Using a higher statistics estimate for m from ReV at temperatures around the phase D transition in the future, will most certainly yield closer agreement between the SU(3): N 24 32 40 48 56 64 72 80 96 192 τ T[MeV] 839 629 503 419 360 315 280 252 210 105 N 3270 2030 1940 1110 1410 1520 860 1190 1800 900 meas ± ± ± ± ± ± ± ± ± m [MeV ] 852 60 709 70 654 62 537 59 444 52 264 62 309 86 401 62 328 78 0 D Table 1: Quenched lattice parameters (β = 7,ξb = 3.5,Ns = 32) and values of the extracted Debye mass 9 ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: 12 ESCHER AND SEARLE A non-empty, proper extremal set comprises points with spaces of directions which sig- niﬁcantly diﬀer from the unit round sphere. They can be deﬁned as the sets which are · “ideals” of the gradient ﬂow of dist(p, ) for every point p. Examples of extremal sets are ≤ isolated points with space of directions of diameter π/2, the boundary of an Alexandrov space and, in a trivial sense, the entire Alexandrov space. We refer the reader to Petrunin [52] for deﬁnitions and important results. We now recall some general results about G-manifolds with non-negative and almost non-negative curvature which we will use throughout. Recall that a torus manifold is an example of an S1-ﬁxed point homogeneous manifold, indeed of an nested S1-ﬁxed point homogeneous manifold. Fixed point homogeneous manifolds of positive curvature were classiﬁed in Grove and Searle [25] and more recently Spindeler [61] proved the following theorem which characterizes non-negatively curved G-ﬁxed point homogeneous manifolds. Theorem 2.20. [61] Assume that G acts ﬁxed point homogeneously on a complete non- negatively curved Riemannian manifold M. Let F be a ﬁxed point component of maximal dimension. Then there exists a smooth submanifold N of M, without boundary, such that M is diﬀeomorphic to the normal disk bundles D(F) and D(N) of F and N glued together along their common boundaries; ∪ M = D(F) D(N). ∂ Further, N is G-invariant and contains all singularities of M up to F. Spindeler also proves the following two facts when M is a torus manifold of non-negative curvature, which will be important for what follows. Proposition 2.21. [61] Let M, N and F be as in Theorem 2.20 and assume that M is a closed, simply connected torus manifold of non-negative curvature. Then N has codimension greater than or equal to 2 and F is simply-connected. For a torus manifold that is non-negatively curved, Wiemeler [64] shows in Proposition 4.5 that the quotient space, M2n/Tn = Pn, is described as follows: Pn is a nice manifold (cid:89) (cid:89) with corners all of whose faces are acyclic and Pn is of the form × (2.2) Pn = Σni ∆ni, ≥ i<r i r where Σni = S2ni/Tin and ∆ni = S2ni+1/Tni+1 iRs an ni-simplex. The Tni-action on S2ni is the suspension of the standard Tni-action on 2ni and it is easy to see that Σni is − the suspension of ∆ni 1. Note that each ni-simplex has ni + 1 facets and each Σni has ni facets. The number of facets of Pn in this case is bounded between n and 2n. Using this description of the quotient space, the following equivariant classiﬁcation the- orem is obtained in [64]. Theorem 2.22. [64] Let M be a simply-connected, non-negatively curved torus manifold. (cid:89) (cid:89) Then M is equivariantly diﬀeomorphic to a quotient of a free linear torus action of Z × − ≥ (2.3) = S2ni S2ni 1, n 2, P i ≥ i<r i r

label: paragraph

text: ESCHER

text: AND

text: SEARLE

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text: Examples

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text: We

text: refer

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text: results

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text: G-manifolds

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text: non-negative

text: and

text: almost

text: non-negative

text: curvature

text: which

text: we

text: will

text: use

text: throughout.

text: Recall

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text: indeed

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text: in

text: Grove

text: and

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text: recently

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text: following

text: theorem

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text: non-negatively

text: curved

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text: that

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text: negatively

text: curved

text: Riemannian

text: manifold

text: M.

text: Let

text: F

text: be

text: a

text: ﬁxed

text: point

text: component

text: of

text: maximal

text: dimension.

text: Then

text: there

text: exists

text: a

text: smooth

text: submanifold

text: N

text: of

text: M,

text: without

text: boundary,

text: such

text: that

text: M

text: is

text: diﬀeomorphic

text: to

text: the

text: normal

text: disk

text: bundles

text: D(F)

text: and

text: D(N)

text: of

text: F

text: and

text: N

text: glued

text: together

text: along

text: their

text: common

text: boundaries;

text: M

text: D(F)

text: D(N).

text: Further,

text: N

text: is

text: G-invariant

text: and

text: contains

text: all

text: singularities

text: of

text: M

text: up

text: to

text: F.

text: Spindeler

text: also

text: proves

text: the

text: following

text: two

text: facts

text: when

text: M

text: is

text: a

text: torus

text: manifold

text: of

text: non-negative

text: curvature,

text: which

text: will

text: be

text: important

text: for

text: what

text: follows.

text: Proposition

text: Let

text: M,

text: N

text: and

text: F

text: be

text: as

text: in

text: Theorem

text: and

text: assume

text: that

text: M

text: is

text: a

text: closed,

text: simply

text: connected

text: torus

text: manifold

text: of

text: non-negative

text: curvature.

text: Then

text: N

text: has

text: codimension

text: greater

text: than

text: or

text: equal

text: to

text: and

text: F

text: is

text: simply-connected.

text: For

text: a

text: torus

text: manifold

text: that

text: is

text: non-negatively

text: curved,

text: Wiemeler

text: shows

text: in

text: Proposition

text: that

text: the

text: quotient

text: space,

text: Pn,

text: is

text: described

text: as

text: follows:

text: Pn

text: is

text: a

text: nice

text: manifold

text: with

text: corners

text: all

text: of

text: whose

text: faces

text: are

text: acyclic

text: and

text: Pn

text: is

text: of

text: the

text: form

text: Pn

text: Σni

text: ∆ni,

text: i<r

text: i

text: r

text: where

text: Σni

text: and

text: ∆ni

text: iRs

text: an

text: ni-simplex.

text: The

text: Tni-action

text: on

text: is

text: the

text: suspension

text: of

text: the

text: standard

text: Tni-action

text: on

text: and

text: it

text: is

text: easy

text: to

text: see

text: that

text: Σni

text: is

text: the

text: suspension

text: of

text: ∆ni

text: Note

text: that

text: each

text: ni-simplex

text: has

text: ni

text: facets

text: and

text: each

text: Σni

text: has

text: ni

text: facets.

text: The

text: number

text: of

text: facets

text: of

text: Pn

text: in

text: this

text: case

text: is

text: bounded

text: between

text: n

text: and

text: Using

text: this

text: description

text: of

text: the

text: quotient

text: space,

text: the

text: following

text: equivariant

text: classiﬁcation

text: the-

text: orem

text: is

text: obtained

text: in

text: Theorem

text: Let

text: M

text: be

text: a

text: simply-connected,

text: non-negatively

text: curved

text: torus

text: manifold.

text: Then

text: M

text: is

text: equivariantly

text: diﬀeomorphic

text: to

text: a

text: quotient

text: of

text: a

text: free

text: linear

text: torus

text: action

text: of

text: Z

text: n

text: P

text: i

text: i<r

text: i

text: r


text: 18 ESCHER AND SEARLE C* 2! C* C* 1! 3 ∗ Figure 3.3. A partial decomposition of the quotient space, M . ◦ ◦ · · · ◦ − \ ∪ ◦ ◦ · · · ◦ (s s s )((Dn k S+) A). As before this can be extended to all of (s s 2 3 − i+1 ◦ ◦ ◦ · · · ◦ − 2 3 (cid:3) s )(Dn k). Hence s s s s is an extension of s to all of Dn k. i+1 1 2 3 i+1 We are now ready to prove Theorem 3.1. Proof of Theorem 3.1. As stated earlier, the proof is a direct generalization of the equivari- ant classiﬁcation theorem for T3-actions on M6 by McGavran [3∼7], which we include for ∗ − the sake of complet{ene∗s}s. First deco∗m∼pose −the orbit spac∈e M{ = D}n k into a collection of conical sections C m , with C = Dn k for each i 1, . . . , , , and such that the i i=1⊂ i orbit structure for ea∼ch Ci− ×Mn i−s conical as in D∈eﬁ{nition 2}.11. As we saw in the proof of Lemma 3.3, each C = Tk l Dn k+l for some l 1, . . . k and therefore a cross-section ∗ i exists on each C . An obstruction theory argument shows that a cross-section given on an − − i ⊂ − ⊂ ∗ ∗ (n k 1)-cell A S C can be extended to all of C . i ∗ i In order to create a cross-section on all of M , we start by deﬁning a cross-section s on ∗ ∗ ∗ − − C . We then attach C to C along an (n k 1)-cell A and so we have a cross section s 1 ∗ 2 ⊂ −1 ⊂ ∗ deﬁned on C and on A S C . By Lemma 3.3, we can then extend the cross-section 1∗ 2 ∗ s to all of C . Continuing this process we can extend s to all of M . Figure 3.3 illustrates 2 ∗ (cid:3) this process for a partial decomposition of M . It is clear that if Mn is equivariantly diﬀeomorphic to Mn then the corresponding or- 1 2 bit spaces will be weight-preserving diﬀeomorphic. Vice versa, one can use the weight- preserving diﬀeomorphism and the existence of a cross-section to construct a G-equivariant diﬀeomorphism between Mn and Mn. Note that smoothness of the action implies that 1 2 that orbit map is smooth, and hence we may choose a smooth cross-section and obtain the following equivariant diﬀeomorphism classiﬁcation. Theorem 3.4. Let G act smoothly on smooth, closed, n-dimensional manifolds, Mn and → ∗ 1 Mn and suppose that the orbit maps π : Mn M = Mn/G have cross-sections for 2 i i i = 1, 2. Then there exists an equivariant diﬀeomorphism h from Mn onto Mn if and only ∗ ∗ 1 ∗ 2 if there exists a weight-preserving diﬀeomorphism h from M onto M . Furthermore, if ∗ ∗ 1 2 M and M are oriented and the orientations of M and M are those induced by M and 1 2 1 ∗ 2 1 M , then h is orientation preserving if and only if h is orientation preserving. 2 The goal of this subsection is to prove Proposition 3.11, which tells us that given a manifold Mn admitting an isometric, eﬀective, maximal Tk action, if the number of facets ##LTFigure##

text: ESCHER

text: AND

text: SEARLE

text: C*

text: C*

text: C*

label: caption

text: Figure

text: A

text: partial

text: decomposition

text: of

text: the

text: quotient

text: space,

text: M

text: (s

text: s

text: s

text: )((Dn

text: k

text: S+)

text: A).

text: As

text: before

text: this

text: can

text: be

text: extended

text: to

text: all

text: of

text: (s

text: s

text: s

text: )(Dn

text: k).

text: Hence

text: s

text: s

text: s

text: s

text: is

text: an

text: extension

text: of

text: s

text: to

text: all

text: of

text: Dn

text: k.

text: We

text: are

text: now

text: ready

text: to

text: prove

text: Theorem

text: Proof

text: of

text: Theorem

text: As

text: stated

text: earlier,

text: the

text: proof

text: is

text: a

text: direct

text: generalization

text: of

text: the

text: equivari-

text: ant

text: classiﬁcation

text: theorem

text: for

text: on

text: by

text: McGavran

text: which

text: we

text: include

text: for

text: the

text: sake

text: of

text: complet{ene∗s}s.

text: First

text: deco∗m∼pose

text: −the

text: orbit

text: spac∈e

text: M{

text: D}n

text: k

text: into

text: a

text: collection

text: of

text: conical

text: sections

text: C

text: m

text: with

text: C

text: Dn

text: k

text: for

text: each

text: i

text: and

text: such

text: that

text: the

text: i

text: i

text: orbit

text: structure

text: for

text: ea∼ch

text: Ci−

text: ×Mn

text: i−s

text: conical

text: as

text: in

text: D∈eﬁ{nition

text: As

text: we

text: saw

text: in

text: the

text: proof

text: of

text: Lemma

text: each

text: C

text: Tk

text: l

text: Dn

text: k+l

text: for

text: some

text: l

text: k

text: and

text: therefore

text: a

text: cross-section

text: i

text: exists

text: on

text: each

text: C

text: An

text: obstruction

text: theory

text: argument

text: shows

text: that

text: a

text: cross-section

text: given

text: on

text: an

text: i

text: (n

text: k

text: A

text: S

text: C

text: can

text: be

text: extended

text: to

text: all

text: of

text: C

text: i

text: i

text: In

text: order

text: to

text: create

text: a

text: cross-section

text: on

text: all

text: of

text: M

text: we

text: start

text: by

text: deﬁning

text: a

text: cross-section

text: s

text: on

text: C

text: We

text: then

text: attach

text: C

text: to

text: C

text: along

text: an

text: (n

text: k

text: A

text: and

text: so

text: we

text: have

text: a

text: cross

text: section

text: s

text: −1

text: deﬁned

text: on

text: C

text: and

text: on

text: A

text: S

text: C

text: By

text: Lemma

text: we

text: can

text: then

text: extend

text: the

text: cross-section

text: 1∗

text: s

text: to

text: all

text: of

text: C

text: Continuing

text: this

text: process

text: we

text: can

text: extend

text: s

text: to

text: all

text: of

text: M

text: Figure

text: illustrates

text: this

text: process

text: for

text: a

text: partial

text: decomposition

text: of

text: M

text: It

text: is

text: clear

text: that

text: if

text: Mn

text: is

text: equivariantly

text: diﬀeomorphic

text: to

text: Mn

text: then

text: the

text: corresponding

text: or-

text: bit

text: spaces

text: will

text: be

text: weight-preserving

text: diﬀeomorphic.

text: Vice

text: versa,

text: one

text: can

text: use

text: the

text: weight-

text: preserving

text: diﬀeomorphism

text: and

text: the

text: existence

text: of

text: a

text: cross-section

text: to

text: construct

text: a

text: G-equivariant

text: diﬀeomorphism

text: between

text: Mn

text: and

text: Mn.

text: Note

text: that

text: smoothness

text: of

text: the

text: action

text: implies

text: that

text: that

text: orbit

text: map

text: is

text: smooth,

text: and

text: hence

text: we

text: may

text: choose

text: a

text: smooth

text: cross-section

text: and

text: obtain

text: the

text: following

text: equivariant

text: diﬀeomorphism

text: classiﬁcation.

text: Theorem

text: Let

text: G

text: act

text: smoothly

text: on

text: smooth,

text: closed,

text: n-dimensional

text: manifolds,

text: Mn

text: and

text: Mn

text: and

text: suppose

text: that

text: the

text: orbit

text: maps

text: π

text: Mn

text: M

text: Mn/G

text: have

text: cross-sections

text: for

text: i

text: i

text: i

text: Then

text: there

text: exists

text: an

text: equivariant

text: diﬀeomorphism

text: h

text: from

text: Mn

text: onto

text: Mn

text: if

text: and

text: only

text: if

text: there

text: exists

text: a

text: weight-preserving

text: diﬀeomorphism

text: h

text: from

text: M

text: onto

text: M

text: Furthermore,

text: if

text: M

text: and

text: M

text: are

text: oriented

text: and

text: the

text: orientations

text: of

text: M

text: and

text: M

text: are

text: those

text: induced

text: by

text: M

text: and

text: M

text: then

text: h

text: is

text: orientation

text: preserving

text: if

text: and

text: only

text: if

text: h

text: is

text: orientation

text: preserving.

text: The

text: goal

text: of

text: this

text: subsection

text: is

text: to

text: prove

text: Proposition

text: which

text: tells

text: us

text: that

text: given

text: a

text: manifold

text: Mn

text: admitting

text: an

text: isometric,

text: eﬀective,

text: maximal

text: Tk

text: action,

text: if

text: the

text: number

text: of

text: facets

text: ##LTFigure##


text: NON-NEGATIVE CURVATURE AND TORUS ACTIONS 25 Before we begin the proof of Theorem 5.4, we ﬁrst need the following Lemma. Z ∈ Z Lemma 5.5. [12] Let M be a manifold with rk(H (M; )) = k, k +. If M admits a 1 disk bundle decomposition ∪ M = D(N ) D(N ), 1 E 2 where N , N are smooth submanifolds of M and N is orientable and of codimension two, 1 2 Z Z 1 then both rk(H (N ; )) and rk(H (N ; )) are less than or equal to k + 1. 1 1 1 2 Z Here rk(G) denotes the number of factors in the ﬁnitely generated abelian group G. Proof. It follows from the Mayer Vietoris sequence of the decomposition and the simple- connectivity of M that the following sequence is exact → ⊕ → Z ⊕ → (5.1) H (E) H (N ) H (N ) k Γ 0, 1 1 1 1 2 where Γ is a ﬁnite abelian group. Since E is a circle bundle over N , it follows from the ≤ 1 Gysin sequence for homology that rk(H (E)) 1+rk(H (N )). The same statement follows 1 1 1 for rk(H (N )) since E is either a circle or sphere bundle over N . Using these facts and 1 2 2 the exactness of the sequence in Display (5.1), it follows that ≤ ≤ rk(H (N )) + rk(H (N )) rk(H (E)) rk(H (N )) + 1, 1 1 1 2 1 1 1 ≤ ≤ rk(H (N )) + rk(H (N )) rk(H (E)) rk(H (N )) + 1, 1 1 1 2 1 1 2 (cid:3) and the lemma is proven. − Proof of Theorem 5.4. Suppose that there is an orbit of dimension 2k n + 1 = m. The − − − isotropy subgroup of this orbit is of rank k m = n k 1. Consider the action of the − − − − Tn k 1 on the unit normal S2n 2k 2. Observe that the isotropy action is maximal and − of maximal symmetry rank. Hence there is a codimension two submanifold, Nn 2, of Mn − − ﬁxed by some circle subgroup of the isotropy subgroup Tn k 1 and there is an induced − − − − − action of Tk 1 on Nn 2, of cohomogeneity n k 1 = k m. That is, Mn is S1-ﬁxed point homogeneous and in fact, it is nested S1-ﬁxed point homogeneous and there is a nested tower of ﬁxed point sets containing the smallest orbit Tm, as follows: ⊂ ⊂ · · · ⊂ − ⊂ Tm Nm+1 Nn 2 Mn, − and Tm and Nm+1 are both ﬁxed by Tk m. Note that since Mn is nested S1-ﬁxed point homogeneous, each Nl is a non-negatively curved S1-ﬁxed point homogeneous manifold. So it follows by Theorem 2.20 that each Nl admits a disk bundle decomposition as in the statement of Lemma 5.5. The induced action of Tm on Nm+1 is by cohomogeneity one. We claim that the action must have circle isotropy. If it does not, then by the classiﬁcation of cohomogeneity one torus actions (see [41], [42], [48]), Nm+1 is equivariantly diﬀeomorphic to Tm+1 and has Z ﬁrst integer homology group m+1. However, applying Lemma 5.5 m times, we see that Z Z the number of factors in H (Nm+1; ) must be less than or equal to m. 1 − Thus there is an orbit with Tk m+1 isotropy and the smallest dimensional orbit must − (cid:3) have dimension m 1, a contradiction.

text: NON-NEGATIVE

text: CURVATURE

text: AND

text: TORUS

text: ACTIONS

text: Before

text: we

text: begin

text: the

text: proof

text: of

text: Theorem

text: we

text: ﬁrst

text: need

text: the

text: following

text: Lemma.

text: Z

text: Z

text: Lemma

text: Let

text: M

text: be

text: a

text: manifold

text: with

text: rk(H

text: (M;

text: k,

text: k

text: If

text: M

text: admits

text: a

text: disk

text: bundle

text: decomposition

text: M

text: D(N

text: D(N

text: E

text: where

text: N

text: N

text: are

text: smooth

text: submanifolds

text: of

text: M

text: and

text: N

text: is

text: orientable

text: and

text: of

text: codimension

text: two,

text: Z

text: Z

text: then

text: both

text: rk(H

text: (N

text: and

text: rk(H

text: (N

text: are

text: less

text: than

text: or

text: equal

text: to

text: k

text: Z

text: Here

text: rk(G)

text: denotes

text: the

text: number

text: of

text: factors

text: in

text: the

text: ﬁnitely

text: generated

text: abelian

text: group

text: G.

text: Proof.

text: It

text: follows

text: from

text: the

text: Mayer

text: Vietoris

text: sequence

text: of

text: the

text: decomposition

text: and

text: the

text: simple-

text: connectivity

text: of

text: M

text: that

text: the

text: following

text: sequence

text: is

text: exact

text: Z

text: H

text: (E)

text: H

text: (N

text: H

text: (N

text: k

text: Γ

text: where

text: Γ

text: is

text: a

text: ﬁnite

text: abelian

text: group.

text: Since

text: E

text: is

text: a

text: circle

text: bundle

text: over

text: N

text: it

text: follows

text: from

text: the

text: Gysin

text: sequence

text: for

text: homology

text: that

text: rk(H

text: (E))

text: (N

text: The

text: same

text: statement

text: follows

text: for

text: rk(H

text: (N

text: since

text: E

text: is

text: either

text: a

text: circle

text: or

text: sphere

text: bundle

text: over

text: N

text: Using

text: these

text: facts

text: and

text: the

text: exactness

text: of

text: the

text: sequence

text: in

text: Display

text: it

text: follows

text: that

text: rk(H

text: (N

text: rk(H

text: (N

text: rk(H

text: (E))

text: rk(H

text: (N

text: rk(H

text: (N

text: rk(H

text: (N

text: rk(H

text: (E))

text: rk(H

text: (N

text: and

text: the

text: lemma

text: is

text: proven.

text: Proof

text: of

text: Theorem

text: Suppose

text: that

text: there

text: is

text: an

text: orbit

text: of

text: dimension

text: n

text: m.

text: The

text: isotropy

text: subgroup

text: of

text: this

text: orbit

text: is

text: of

text: rank

text: k

text: m

text: n

text: k

text: Consider

text: the

text: action

text: of

text: the

text: Tn

text: k

text: on

text: the

text: unit

text: normal

text: Observe

text: that

text: the

text: isotropy

text: action

text: is

text: maximal

text: and

text: of

text: maximal

text: symmetry

text: rank.

text: Hence

text: there

text: is

text: a

text: codimension

text: two

text: submanifold,

text: Nn

text: of

text: Mn

text: ﬁxed

text: by

text: some

text: circle

text: subgroup

text: of

text: the

text: isotropy

text: subgroup

text: Tn

text: k

text: and

text: there

text: is

text: an

text: induced

text: action

text: of

text: Tk

text: on

text: Nn

text: of

text: cohomogeneity

text: n

text: k

text: k

text: m.

text: That

text: is,

text: Mn

text: is

text: point

text: homogeneous

text: and

text: in

text: fact,

text: it

text: is

text: nested

text: point

text: homogeneous

text: and

text: there

text: is

text: a

text: nested

text: tower

text: of

text: ﬁxed

text: point

text: sets

text: containing

text: the

text: smallest

text: orbit

text: Tm,

text: as

text: follows:

text: Tm

text: Nn

text: Mn,

text: and

text: Tm

text: and

text: are

text: both

text: ﬁxed

text: by

text: Tk

text: m.

text: Note

text: that

text: since

text: Mn

text: is

text: nested

text: point

text: homogeneous,

text: each

text: Nl

text: is

text: a

text: non-negatively

text: curved

text: point

text: homogeneous

text: manifold.

text: So

text: it

text: follows

text: by

text: Theorem

text: that

text: each

text: Nl

text: admits

text: a

text: disk

text: bundle

text: decomposition

text: as

text: in

text: the

text: statement

text: of

text: Lemma

text: The

text: induced

text: action

text: of

text: Tm

text: on

text: is

text: by

text: cohomogeneity

text: one.

text: We

text: claim

text: that

text: the

text: action

text: must

text: have

text: circle

text: isotropy.

text: If

text: it

text: does

text: not,

text: then

text: by

text: the

text: classiﬁcation

text: of

text: cohomogeneity

text: one

text: torus

text: actions

text: (see

text: is

text: equivariantly

text: diﬀeomorphic

text: to

text: and

text: has

text: Z

text: ﬁrst

text: integer

text: homology

text: group

text: However,

text: applying

text: Lemma

text: m

text: times,

text: we

text: see

text: that

text: Z

text: Z

text: the

text: number

text: of

text: factors

text: in

text: H

text: must

text: be

text: less

text: than

text: or

text: equal

text: to

text: m.

text: Thus

text: there

text: is

text: an

text: orbit

text: with

text: Tk

text: isotropy

text: and

text: the

text: smallest

text: dimensional

text: orbit

text: must

text: have

text: dimension

text: m

text: a

text: contradiction.