text: K. L. Yeo et al.: Reconstruction of total and spectral solar irradiance (1974-2013) Fig.17. Integrated ﬂux over the wavelength intervals given at the top of each panel in the reconstruction (black) and in SIM SSI (red). The SIM time series were normalized to the reconstruction time series at the 2008 solar cycle minimum. ries. The earlier approach had been to tailor the parameters of the model to each data set. This left weak residual discrepancies be- tween the reconstructed spectra generated from the various data sets that were then accounted for by regression. In this study, we compared the magnetogram signal and the apparent faculae area in the various data sets and brought them into agreement in the periods of overlap between them by regression. This allowed us to apply the same model parameters (apart from the umbral and penumbral intensity thresholds, which are wavelength de- pendent) to all the data sets. This updated procedure yielded a consistent solar irradiance time series without the need for any additional correction of the reconstructed spectra. The model has a single free parameter which modulates the contribution by bright magnetic features to reconstructed solar irradiance variability. The optimal value was recovered by com- Fig.18. The total ﬂux recorded by SIM (red), the integrated ﬂux in paring the reconstruction to TSI measurements. We considered the reconstruction over a similar wavelength range (black) and PMO6V the observations from four TSI radiometers in current operation: TSI (blue). The SIM and SATIRE-S time series were normalized to the ACRIM3, DIARAD and PMO6V on VIRGO, and TIM. Each PMO6V series at the 2008 solar cycle minimum. The PMO6V series is TSI record led to a somewhat diﬀerent value for the free param- largely hidden by the SATIRE-S series due to the close similarity. eter and hence reconstructed solar irradiance. Based on the par- ticularly close consistency between the PMO6V record and the TSI reconstruction generated using it as the reference to retrieve tension to 2013 with HMI data, we updated the reconstruction the free parameter, we adopted this candidate reconstruction for method. further study. The R2 of 0.959 between the reconstruction and The most signiﬁcant enhancement to the reconstruction the PMO6V record, which extends 1996 to 2013, suggests that method is the procedure by which the model input from the vari- at least 96% of the variability in TSI over this period can be ex- ous data sets are combined into a single solar irradiance time se- plained by photospheric magnetism alone. 15 ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: In

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text: umbral

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text: The

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text: the

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text: the

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text: K. L. Yeo et al.: Reconstruction of total and spectral solar irradiance (1974-2013) Fig.6. Top: 181-day moving average of the ﬁve TSI records examined (black) and the corresponding candidate TSI reconstruction (red). Middle: − − ± − The diﬀerence between the two, TSImod TSIobs. The dashed lines mark the zero level and TSImod TSIobs = 0.05 Wm 2. Bottom: The R2 between measured and modelled TSI within a 361-day window centred on each data day. The TIM series is plotted over the other series in blue for comparison. on the observation that the agreement between model and mea- surement deteriorated slightly but palpably after this time. We took the wavelength range of 164 to 174 nm, where the recon- struction and SOLSTICE FUV agree best, as the reference inter- val. Let SSI and SSI denote the integrated ﬂux within obs,ref mod,ref the reference interval in observed and reconstructed SSI, respec- tively. The linear regression of SSI to SSI is plotted obs,ref mod,ref along the scatter plot of the two in Fig. 7. Though the overall level of SSI and SSI diﬀer by about a factor of three, obs,ref mod,ref the absolute variability is remarkably similar, as indicated by the R2 (0.975) and the slope of the ﬁt (0.989). SSI and SSI × − obs,ref− mod,ref diﬀer largely only(cid:16)by an oﬀset of 3.23 10 3 Wm(cid:17) 2, the vertical intercept of the straight line ﬁt. We regressed each SOLSTICE FUV wavelength channel to SSI and applied the relation- obs×,ref − − ships derived to SSImod,ref + 3.23 10 3 Wm 2 to regenerate the 115 to 180 nm segment of the reconstruction. Fig.7. Scatter plot of the integrated ﬂux over the reference interval (164 to 174 nm) in the SOLSTICE FUV record, SSI and in the recon- 4.4. Data gaps obs,ref struction, SSI (prior to the correction of the 115 to 300 nm seg- ment, see textm).odT,rehfe red line is the straight line ﬁt to the scatter plot. We collated the reconstructed solar irradiance from the The R2 between the two series, and the slope and oﬀset of the ﬁt are KP512, KPSPM, MDI and HMI data sets into a single time se- indicated. ries taking, for the days where the model output from more than one data set is available, the value from the succeeding instru- ment (Fig. 8). The time series extends from 23rd August 1974 to The SOLSTICE FUV record extends from 14th May 2003 to 31st May 2013. Due to the limited availability of suitable magne- 15th July 2013. We excluded the measurements from after 2008 tograms, it covers just 7378 of the 14162 days within this period 8 ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: al.:

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text: TSImod

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text: The

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text: line

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text: the

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text: and

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text: Table 1: Performance Comparison (s = 1 and M = 50) 1 STAR EWMA PROJ ± ± ± 0.398 0.39 0.374 0.57 0.416 0.33 k = 1 k = 5 k = 15 k = 60 k = 100 k = 150 ± ± ± ± ± ± GMA-BMAX 0.651 0.82 0.447 0.48 0.382 0.42 0.327 0.39 0.318 0.39 0.314 0.39 ± ± ± ± ± ± GMA-0 0.41 0.78 0.308 0.45 0.304 0.41 0.303 0.41 0.301 0.4 0.302 0.4 Table 2: Cumulative Frequency of Regret (s = 1, M = 50 and k = 150) 1 Upper Boundary 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 GMA-BMAX 18 64 80 90 97 99 99 100 GMA-0 18 66 82 89 96 98 99 100 EWMA 48 66 75 79 86 93 97 100 In the following, we consider two scenarios. The ﬁrst situation is when the basis are not very correlated; in such case GMA-0 can perform better than GMA-BMAX because the former (which employs linear entropy) produces sparser estimators. The second situation is when the basis are highly correlated; in such case GMA-BMAX is superior to GMA-0 because the former (which employs strongly convex KL-entropy) gives the clustered basis functions similar weights while the latter tends to select one from the clustered basis functions which may lead to model selection error. The correlated basis situation occurs in the continuous dictionary setting. 6.1 Experiment 1: when s = 1 and M = 50, basis are not very correlated 1 Table 1 is a comparison of commonly used estimators (STAR, EWMA and PROJ) with GMA- ± BMAX and GMA-0. The regrets are reported using the “mean standard deviation” format. Table 2 is the cumulative frequency table of GMA-BMAX, GMA-0 and EWMA with 100 replicates and ﬁxed iteration k. For each entry, we summarize the number of replicates with regrets which are smaller than or equal to the upper boundary value. The results in Table 1 indicate that GMA-0 has the best performance as iteration k increases, and GMA-0 outperforms STAR, EWMA and PROJ after as small as k = 5 iterations, which still gives a relatively sparse averaged model. This is consistent with Theorem 4.1 and 4.2 in Dai et al. ≥ (2012) which states that GMA-0 has optimal bounds for small k (k 2). GMA-BMAX prefers dense model putting similar weights on similar candidates. Speciﬁcally, GMA-BMAX is greedy algorithm with estimators converge to ψ (ω2, ν), the aggregate by BMAX X∈ as deﬁned in (8). It is easy to(cid:18)verify that ψ (ω2, ν) = f with λ ΛM de(cid:19)ﬁned as X λ − ∝ − 1 (cid:107) − (cid:107) 1 ν (cid:107) − (cid:107) λ π exp f Y 2 + ψ (ω2, ν) f 2 , j j 2ω2 j 2 2ω2 X j 2 thus two similar candidates f and f will have similar weights. i j 13 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: Table

text: Performance

text: Comparison

text: (s

text: and

text: M

text: STAR

label: table

text: EWMA

text: PROJ

text: k

text: k

text: k

text: k

text: k

text: k

text: GMA-BMAX

text: Table

text: Cumulative

text: Frequency

text: of

text: Regret

text: (s

text: M

text: and

text: k

text: Upper

text: Boundary

text: GMA-BMAX

text: EWMA

text: In

text: the

text: following,

text: we

text: consider

text: two

text: scenarios.

text: The

text: ﬁrst

text: situation

text: is

text: when

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text: are

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text: very

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text: in

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text: case

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text: perform

text: better

text: than

text: GMA-BMAX

text: because

text: the

text: former

text: (which

text: employs

text: linear

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text: produces

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text: estimators.

text: The

text: second

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text: is

text: when

text: the

text: basis

text: are

text: highly

text: correlated;

text: in

text: such

text: case

text: GMA-BMAX

text: is

text: superior

text: to

text: because

text: the

text: former

text: (which

text: employs

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text: convex

text: KL-entropy)

text: gives

text: the

text: clustered

text: basis

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text: weights

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text: the

text: latter

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text: to

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text: one

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text: which

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text: to

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text: selection

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text: The

text: correlated

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text: in

text: the

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text: when

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text: and

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text: is

text: a

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text: of

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text: used

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text: and

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text: with

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text: BMAX

text: and

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text: regrets

text: are

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text: the

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text: format.

text: Table

text: is

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text: table

text: of

text: GMA-BMAX,

text: and

text: EWMA

text: with

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text: and

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text: iteration

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text: For

text: each

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text: we

text: summarize

text: the

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text: of

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text: with

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text: which

text: are

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text: than

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text: to

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text: upper

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text: results

text: in

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text: indicate

text: that

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text: as

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text: and

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text: STAR,

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text: and

text: PROJ

text: after

text: as

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text: k

text: iterations,

text: which

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text: gives

text: a

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text: sparse

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text: model.

text: This

text: is

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text: with

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text: and

text: in

text: Dai

text: et

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text: which

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text: that

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text: for

text: small

text: k

text: (k

text: GMA-BMAX

text: prefers

text: dense

text: model

text: putting

text: similar

text: weights

text: on

text: similar

text: candidates.

text: Speciﬁcally,

text: GMA-BMAX

text: is

text: greedy

text: algorithm

text: with

text: estimators

text: converge

text: to

text: ψ

text: ν),

text: the

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text: by

text: BMAX

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text: as

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text: in

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text: is

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text: that

text: ψ

text: ν)

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text: with

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text: as

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text: λ

text: ν

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text: f

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text: f

text: j

text: j

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text: two

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text: f

text: and

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text: will

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text: similar

text: weights.

text: i

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: (cid:107) (cid:107) Table 3: Performance Comparison(s = σ/ ζ and M = M) j 1 STAR EWMA PROJ ± ± ± 0.0528 0.032 0.0458 0.036 0.0441 0.033 k = 1 k = 5 k = 15 k = 60 k = 100 k = 150 ± ± ± ± ± ± GMA-BMAX 0.0923 0.04 0.0438 0.032 0.0369 0.026 0.0354 0.025 0.0353 0.026 0.0354 0.025 ± ± ± ± ± ± GMA-0 0.0871 0.04 0.0605 0.037 0.057 0.036 0.0563 0.035 0.0564 0.035 0.0563 0.035 (cid:107) (cid:107) Table 4: Cumulative Frequency of Regret (s = σ/ ζ , M = M and k = 150) j 1 Upper Boundary 0 0.031 0.063 0.094 0.126 0.157 0.189 0.220 GMA-BMAX 5 49 92 96 99 99 100 100 GMA-0 2 24 61 88 97 99 99 100 EWMA 2 41 78 92 97 99 99 100 As the histograms show, although EWMA has the most replicates which are close to zero, the distribution of EWMA estimator is the most dispersive with the most extreme values among these three methods. The performance is consistent with Dalalyan and Tsybakov (2007, 2008) and Dai et al. (2012) which state that EWMA estimator is optimal in expectation but sub-optimal in deviation. Therefore, we would expect GMA-BMAX and GMA-0 enjoy more concentrated distribution than EWMA because they are also optimal in deviation. (d) shows the convergence of GMA-BMAX and GMA-0. Note that GMA-BMAX and GMA-0 both initialize with ψ(0) = 0, ∈ but they produce diﬀerence estimators after the ﬁrst iteration (k = 1), GMA-BMAX selects j { } ∈ { } 1, . . . , M that minimizes log J(f ), whiles GMA-0 selects j 1, . . . , M that minimizes Q(f ) j j (cid:91) and the ﬁrst stage output is actually the empirical risk minimizer f where k = argmin MSE(f ). k1 1 j j Moreover, since sparse model is preferred in this scenario, GMA-0 has smaller regret than GMA- BMAX, and they both converge fast with a few iterations. (cid:107) (cid:107) 6.2 Experiment 2: when s = σ/ ζ and M = M, basis are all highly correlated j 1 In Experiment 2, we deﬁne regression function as η = Θ + 0.5∆ which is slightly diﬀerent from Experiment 1. The results in Table 3 indicate that GMA-BMAX perform better than GMA-0 as iteration k increases, and GMA-BMAX also beats STAR, PROJ and EWMA when k is large enough. Table 4 summarizes the cumulative frequency table for each method, and demonstrates that GMA-BMAX has most concentrated distribution. { } In Experiment 2, all of the candidates f , . . . , f are closer to truth η = Θ+0.5∆, and they are 1 M very correlated when s is small. GMA-BMAX tends to put similar weights on similar candidates, while GMA-0 tends exclude other correlated candidates once one is selected, thus GMA-BMAX will average over those candidates with similar weights with resulting less variance (also less bias due to the design), while GMA-0 will have high variance due to selecting only one. Moreover, similar as GMA-BMAX, EWMA also prefer dense model by putting similar weights on similar candidates. However, EWMA estimator is a weighted average of all candidates with weights deﬁned as 15 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: Table

text: Performance

text: Comparison(s

text: σ/

text: ζ

text: and

text: M

text: M)

text: j

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text: EWMA

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text: k

text: k

text: k

text: k

text: k

text: k

text: GMA-BMAX

text: Table

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text: of

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text: (s

text: σ/

text: ζ

text: M

text: M

text: and

text: k

text: j

text: Upper

text: Boundary

text: GMA-BMAX

text: EWMA

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text: the

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text: although

text: EWMA

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text: the

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text: which

text: are

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text: to

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text: the

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text: of

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text: estimator

text: is

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text: most

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text: with

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text: values

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text: these

text: three

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text: The

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text: is

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text: with

text: Dalalyan

text: and

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text: and

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text: et

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text: which

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text: that

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text: estimator

text: is

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text: in

text: expectation

text: but

text: sub-optimal

text: in

text: deviation.

text: Therefore,

text: we

text: would

text: expect

text: GMA-BMAX

text: and

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text: more

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text: than

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text: because

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text: are

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text: (d)

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text: of

text: GMA-BMAX

text: and

text: Note

text: that

text: GMA-BMAX

text: and

text: both

text: initialize

text: with

text: but

text: they

text: produce

text: diﬀerence

text: estimators

text: after

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text: ﬁrst

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text: (k

text: GMA-BMAX

text: selects

text: j

text: M

text: that

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text: j

text: M

text: that

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text: j

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text: and

text: the

text: ﬁrst

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text: is

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text: the

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text: minimizer

text: f

text: where

text: k

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text: MSE(f

text: j

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text: is

text: preferred

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text: this

text: scenario,

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text: than

text: GMA-

text: BMAX,

text: and

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text: both

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text: with

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text: few

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text: Experiment

text: when

text: s

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text: and

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text: M,

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text: are

text: all

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text: Experiment

text: we

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text: as

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text: which

text: is

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text: from

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text: indicate

text: that

text: GMA-BMAX

text: perform

text: better

text: than

text: as

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text: k

text: increases,

text: and

text: GMA-BMAX

text: also

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text: STAR,

text: PROJ

text: and

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text: when

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text: is

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text: Table

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text: the

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text: table

text: for

text: each

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text: and

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text: that

text: GMA-BMAX

text: has

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text: In

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text: all

text: of

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text: f

text: f

text: are

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text: to

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text: and

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text: is

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text: GMA-BMAX

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text: to

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text: similar

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text: on

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text: while

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text: thus

text: GMA-BMAX

text: will

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text: with

text: similar

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text: to

text: the

text: design),

text: while

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text: high

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text: to

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text: only

text: one.

text: Moreover,

text: similar

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text: GMA-BMAX,

text: EWMA

text: also

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text: dense

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text: by

text: putting

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text: weights

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text: candidates.

text: However,

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text: of

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text: with

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: (cid:0) (cid:1) ∇ ≥ − Therefore 2 log J(ψ) 1 ν I . (cid:107)ω2 (cid:107) ≤n With the assumption that f L for all j, we have j 2 (cid:88) (cid:88) M M − − (cid:62) (cid:62) − (cid:62) λ (f f )(f f ) = λ f f f f (cid:88) j λ j(cid:88)λ j j j j λ λ j=1 j=1 M M ≤ (cid:62) ≤ (cid:16)λ(cid:0)jfjfj (cid:1) (cid:0) λ(cid:1)jL2In(cid:17)= L2In. j=1 j=1 ∇ ≤ − − It follows that 2 log J(ψ) 1 ν + 1 ν 2 L2 I . ω2 ω2 n A.2 Proof of Lemma 2 ∈ { } Proposition 3. For any λ ΛM, real numbers x M , and a constant a > 0, we have j j=1 (cid:88) (cid:88)   M M − K ≤ λ x a (λ, π) a log π exj/a , j j j j=1 j=1 − ≤ ≤ and equation is obtained when (x /a) log(λ /π ) = const. over 1 j M. j j j Proof. The result follows directly fromJensen’s Inequality as (cid:88) (cid:88) (cid:88)   M M M − ≤ − exp λ ((x /a) log(λ /π )) λ exp ((x /a) log(λ /π )) = π exj/a. j j j j j j j j j j=1 j=1 j=1 − (cid:107) − (cid:107) Now by setting x = ν f h 2 and a = 2ω2 in Proposition 3, we obtain j j 2 (cid:88)   M (cid:107) − (cid:107) K − ν (cid:107) − (cid:107) min ν λ f h 2 + 2ω2 (λ, π) − h Y 2 λ∈ΛM j j 2 (cid:88) 1 ν 2 j=1   M − ν (cid:107) − (cid:107) − − (cid:107) − (cid:107) = 1 − ν h Y 22 2ω2 log πje ν fj h 22/2ω2 , j=1 which implies that T (h) = min S(λ, h). ∈ λ ΛM In addition, it is easy to verify that Q(λ) = max S(λ, h), ∈R h n where the minimum is achieved at h = f . λ 18 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: Therefore

text: log

text: J(ψ)

text: ν

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text: With

text: the

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text: that

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text: for

text: all

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text: we

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label: equation

text: M

text: M

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text: f

text: )(f

text: f

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text: f

text: f

text: f

text: f

text: j

text: λ

text: j

text: j

text: j

text: j

text: λ

text: λ

text: M

text: M

text: It

text: follows

text: that

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text: ν

text: ν

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text: ω2

text: ω2

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label: section

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text: of

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text: Proposition

text: For

text: any

text: λ

text: ΛM,

text: real

text: numbers

text: x

text: M

text: and

text: a

text: constant

text: a

text: we

text: have

text: j

text: M

text: M

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text: λ

text: x

text: a

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text: π)

text: a

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text: j

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text: and

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text: is

text: obtained

text: when

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text: over

text: j

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text: j

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text: result

text: follows

text: directly

text: fromJensen’s

text: Inequality

text: as

text: M

text: M

text: M

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text: λ

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text: /a)

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text: ((x

text: /a)

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text: j

text: j

text: j

text: j

text: j

text: j

text: j

text: j

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text: Now

text: by

text: setting

text: x

text: ν

text: f

text: h

text: and

text: a

text: in

text: Proposition

text: we

text: obtain

text: j

text: j

text: M

text: K

text: ν

text: min

text: ν

text: λ

text: f

text: h

text: 2ω2

text: (λ,

text: π)

text: h

text: Y

text: λ∈ΛM

text: j

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text: M

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text: h

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text: which

text: implies

text: that

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text: (h)

text: min

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text: it

text: is

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text: to

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text: that

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text: max

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text: h),

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text: h

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text: minimum

text: is

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text: h

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

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