text: I / I I / I 0 0 2 Here n0(z) is a linear part of refractive index changing 2.4 periodically along the structure. Since we deal with non- n I =0 2 0 instantaneous nonlinearity, the nonlinear contribution δn 2.0 n I =0.01 2 0 must take into account the relaxation process which, for n I =0.05 deﬁniteness, will be described by the Debye model [28], 1.6 2 0 1.2 incident dδn t + δn = n I, (3) nl dt 2 0.8 where n is the cubic (Kerr) nonlinear coeﬃcient, and 2 0.4 t is the relaxation time. For the disordered periodic nl structure, we assume the random variations of thick- 0.0 nesses of layers a and b as follows, 0 20 t / t − p d = d0 + ∆d(ξ 1/2), (4) a,b a,b FIG. 1. (Color online) The proﬁles of co-propagating pulses transmitted through the perfect (ordered) photonic crystal where d0 are the mean values of thicknesses, ∆d is with and without nonlinearity. a,b the amplitude of disorder, and ξ is the random quantity uniformly distributed in the range [0, 1]. 1.0 We solve numerically Eqs. 1-4 using the method devel- n I =0 2 0 oped in the previous publications [16, 23]. As previously, n I =0.01 0.8 2 0 we do not mean any speciﬁc materials, since our aim is to n I =0.05 2 0 study the qualitative and general aspects of light interac- tions with periodic disordered structures. Therefore, for 0.6 our calculations, we adopt the parameters of the model from Ref. [16]: d0 = 0.4 and d0 = 0.24 µm, n0 = 2 a b a and n0 = 1.5. The envelope of the pulse at the input of 0.4 b the photonic structure is supposed to have the Gaussian − shape, A(t) = A exp( t2/2t2), where t is the pulse 0 p p 0.2 duration, and A is the amplitude of the electric ﬁeld. 0 Further we assume t = 50 fs and the central wavelength p λ = 1.064 µm, so that the carrier frequency lies just out- 0.0 c 0 5 10 15 20 side the band gap of the perfect multilayer [16]. Finally, t / t we restrict ourselves to the structure with nonlinear b p layers only. This is justiﬁed, because light concentrates in these layers when, as in our case, we deal with the FIG. 2. (Color online) The same as in Fig. 1 but for the high-frequency edge of the band gap [29]. The strength disordered structure with ∆d = 0.05 µm. The curves are | | ∼ of nonlinearity (n I = n A 2 0.01) is taken to be averaged over 50 realizations. 2 0 2 0 large enough to strongly inﬂuence the pulse characteris- tics. This allows to consider comparatively short systems, previous work [16]. In this paper, we deal with the namely N = 50 periods in our calculations. Construction collisions of pulses in the disordered photonic crystals. of such photonic crystals seems to be quite feasible for Since the behavior of the tail and the Anderson local- modern technology. Though we do not mean any speciﬁc ization seem to be insensitive to the number of pulses, materials, linear layers may be formed by glass, while for we will focus on the shape transformations of the collid- nonlinear layers one can use polymer materials possess- ing pulses and, in particular, on the possibility to induce ing high nonlinearity and fast relaxation [30]. However, light trapping by using the collisions of co- and counter- as far as we know, such photonic crystals possessing re- propagating pulses. laxing nonlinearity and disorder simultaneously were not realized experimentally yet. Therefore, our study can be III. CO-PROPAGATING PULSES considered as a proposal for building such new optical systems as well. First, let us consider the situation of two co-propagating Thus, we consider the interplay of strong disorder and pulses launched into the structure with some interval one strong nonlinearity. Generally, this interplay can be stud- after another. This interval must be not too large for the ied on the short timescale (pulse shape transformation) pulses to interact eﬀectively with each other and not too and at long times (pulse tail transformation as an evi- small so that we can talk about separate pulses. In our dence for the Anderson localization) as was done in the calculations, we assume the interval of 10t between the p ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: I

font: default

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text: structure.

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text: n

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text: the

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text: relaxation

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text: will

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text: and

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text: relaxation

text: time.

text: For

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text: perfect

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text: ∆d

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text: and

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text: in

text: the

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text: using

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text: n

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text: the

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text: for

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text: and

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text: a

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text: of

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text: A(t)

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text: t

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text: (Color

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text: The

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text: but

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text: large

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text: characteris-

text: tics.

text: This

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text: and

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text: laxing

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text: Therefore,

text: our

text: study

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text: considered

text: as

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text: for

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text: new

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text: us

text: consider

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text: we

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text: Generally,

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text: shape

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text: to

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