text: 0 1+4 1 +332 16 )#$%&$!" $"’ ()!*++, %)!". "#$%&$!" !/ ()!"!.-*++, %)!". $"& - ()!"$*++, %)!". - ’#$%&$!" / ()!"$*++, %)!"## !%! - $"% (#$%&$!" / $#$ * + $"$ / /! !(#$%&$!" #,%-%, / $"! !’#$%&$!" " !"#$%&$!" !"#! $#$& $#& & &$ !"!$ !"$ $ $! ./ /0 Figure 1. Evolution of the perturbations ζˆ, χˆ, Vˆ , δˆN/Nˆ¯, Figure 2. Evolution of the eﬀective gravitational coupling − m and Ψˆ in the EF versus the scale factor aˆ for the model Gˆeﬀ normalized by the gravitational constant G in the EF for pa−rameters q = 0.1, c2t = 0.5, λ1 = 10, λ2 = 0.5, and V2/V1 = the four cases: (i) q = 0, c2t = 0.5, (ii) q = 0.05, c2t = 0.5, (iii) 10 6. We choose the initial values of xˆ1 and xˆ2 to coincide q = 0.1, c2t = 0.5, and (iv) q = 0.1, c2t = 0.99, w−ith the model with those of the scaling ﬁxed point (d) with w = 0 and q1 = parameters λ1 = 10, λ2 = 0.5, and V2/V1 = 10 6. The initial q = 0.1. The initial values of perturbations are chosen to be conditions are chosen in the same way as those explained in 2 × − − × − × − ζˆ = 6.8407 10 6, χˆ = 2.7513 10 6, Vˆ = 3.5537 10 9, the caption of Fig. 1. × − K m × − δˆ = 2.5618 10 3, and ˆ = 30 at aˆ = 2.0488 10 3, under which the special solution (6.67) is the dominant contribution to Vˆm. the init(cid:48) i(cid:39)al value of(cid:48)Vˆ(cid:39)m close to the special solution (6.67) with ζˆ 0 and χˆ 0 for the normalized wave number K (cid:34)(cid:115) (cid:35) ˆ = 30. to Eq. (6.75), All the perturbations shown in Fig. 1 stay nearly con- − stant during the scaling matter era. We also conﬁrmed ∝ µ 2q 24(µ + q)2 − δˆ aˆp, p = 1 + − gˆ 1 , that the analytic formulas (6.68)-(6.72) are in good agree- m 4(µ + q) (µ 2q)2 ment with numerically integrated solutions in the scal- K (cid:29) (6.76) ing regime. For sub-horizon perturbations ( ˆ 1), ≡ → → and gˆ (Gˆ /G)Ωˆ . For q/µ 0 and gˆ 1, the mat- the choice of diﬀerent wave numbers k only modiﬁes ter density ecﬀontrastmevolves as δˆm ∝ aˆ. In this case, the the amplitudes of perturbations χˆ, ζ−ˆ, Vˆm(s), and δˆN/Nˆ¯. quantity (aˆHˆ )2δˆ , which appears in Eqs. (6.68)-(6.71), There is a simple relation δˆN/Nˆ¯ = (3Ωˆ /2)Vˆ (s) from m m m remains constant, so the perturbations χˆ, ζˆ, Vˆ (s), and Eqs. (6.70) and (6.71). The perturbations δˆN/Nˆ¯ and m δˆN/Nˆ¯ do not vary in time. Vˆ (s) are suppressed relative to χˆ and ζˆ because of the (cid:54) (cid:54) m (cid:28) (cid:28) For q = 0 and c2 = 1, the quantity gˆ is diﬀerent from conditions xˆ 1 and q 1. The Universe ﬁnally en- (cid:28)t (cid:29) 1 1. As long as q 1 and µ q, the deviation of gˆ ters the epoch of cosmic acceleration driven by the ﬁxed − from 1 is small, so the analytic formulas (6.68)-(6.71) point (c) with µ = λ 4q. As we see in Fig. 1, the 2 2 are approximately valid in the scaling matter era. The perturbations start to vary after the onset of cosmic ac- perturbations χˆ and ζˆ start to vary after the Universe celeration. enters the epoch of cosmic acceleration, in which regime Numerically, we also compute the gravitational poten- the analytic solutions (6.68)-(6.71) are no longer valid. tial Ψˆ and the resulting eﬀective gravitational coupling g In Fig. 1 we plot the evolution of perturbations ζˆ, χˆ, Gˆ from the deﬁnition (6.52). In Fig. 2 the evolution of − eﬀ Vˆ , δˆN/Nˆ¯, and Ψˆ (= Φˆ) for the model parameters Gˆ /G is plotted for four diﬀerent values of q and c2. We m eﬀ t q =− 0.1, c2t = 0.5, λ1 = 10, λ2 = 0.5, and−V2/V1 = conﬁrmed that the analytic estimation (6.74) of Gˆeﬀ is in 10 6 (i.e., µ = 9.6, µ = 0.1, Vˆ /Vˆ = 10 6). The good agreement with the numerical result in the scaling (cid:112)1 2 2 1 background initial conditions are chosen to√start from the matter regime. The growth of Gˆ starts to occur after eﬀ scaling matter ﬁxed point (d), i.e., xˆ = 6/[2(µ + q)] the scaling matter era. 1 1 and xˆ = (3 + 2q2 + 2qµ )/[2(µ + q)2]. We choose If we compare the cases (ii) and (iii) with the case (i) 2 1 1 ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

font: default

text: Figure

text: Evolution

text: of

text: the

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text: ζˆ,

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text: δˆN/Nˆ¯,

text: Figure

text: Evolution

text: of

text: the

text: eﬀective

text: gravitational

text: coupling

text: m

text: and

text: Ψˆ

text: in

text: the

text: EF

text: versus

text: the

text: scale

text: factor

text: aˆ

text: for

text: the

text: model

text: Gˆeﬀ

text: normalized

text: by

text: the

text: gravitational

text: constant

text: G

text: in

text: the

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text: for

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text: q

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text: and

text: the

text: four

text: cases:

text: (i)

text: q

text: (ii)

text: q

text: (iii)

text: We

text: choose

text: the

text: initial

text: values

text: of

text: and

text: to

text: coincide

text: q

text: and

text: (iv)

text: q

text: w−ith

text: the

text: model

text: with

text: those

text: of

text: the

text: scaling

text: ﬁxed

text: point

text: (d)

text: with

text: w

text: and

text: parameters

text: λ1

text: λ2

text: and

text: The

text: initial

text: q

text: The

text: initial

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text: are

text: chosen

text: to

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text: conditions

text: are

text: chosen

text: in

text: the

text: same

text: way

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text: explained

text: in

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text: χˆ

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text: the

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text: of

text: Fig.

text: K

text: m

text: δˆ

text: and

text: ˆ

text: at

text: aˆ

text: under

text: which

text: the

text: special

text: solution

text: is

text: the

text: dominant

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text: to

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text: the

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text: to

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text: with

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text: and

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text: for

text: the

text: normalized

text: wave

text: number

text: K

text: ˆ

text: to

text: Eq.

text: All

text: the

text: perturbations

text: shown

text: in

text: Fig.

text: stay

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text: con-

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text: scaling

text: matter

text: era.

text: We

text: also

text: conﬁrmed

text: µ

text: δˆ

text: aˆp,

text: p

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text: that

text: the

text: analytic

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text: are

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text: good

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text: with

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text: K

text: ing

text: regime.

text: For

text: sub-horizon

text: perturbations

text: ˆ

text: and

text: gˆ

text: (Gˆ

text: /G)Ωˆ

text: For

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text: and

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text: the

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text: the

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text: of

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text: wave

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text: only

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text: as

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text: In

text: this

text: case,

text: the

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text: of

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text: χˆ,

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text: and

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text: quantity

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text: )2δˆ

text: which

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text: There

text: is

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text: (3Ωˆ

text: (s)

text: from

text: m

text: m

text: m

text: remains

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text: so

text: the

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text: χˆ,

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text: and

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text: and

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text: perturbations

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text: and

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text: δˆN/Nˆ¯

text: do

text: not

text: vary

text: in

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text: Vˆ

text: (s)

text: are

text: suppressed

text: relative

text: to

text: χˆ

text: and

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text: because

text: of

text: the

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text: For

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text: and

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text: is

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text: from

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text: and

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text: Universe

text: ﬁnally

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text: long

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text: and

text: µ

text: q,

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text: of

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text: acceleration

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text: by

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text: from

text: is

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text: point

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text: with

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text: As

text: we

text: see

text: in

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text: the

text: are

text: approximately

text: valid

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text: the

text: scaling

text: matter

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text: The

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text: to

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text: of

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text: and

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text: start

text: to

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text: the

text: Universe

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text: enters

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text: of

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text: acceleration,

text: in

text: which

text: regime

text: Numerically,

text: we

text: also

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text: the

text: gravitational

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text: the

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text: solutions

text: are

text: no

text: longer

text: valid.

text: tial

text: Ψˆ

text: and

text: the

text: resulting

text: eﬀective

text: gravitational

text: coupling

text: g

text: In

text: Fig.

text: we

text: plot

text: the

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text: of

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text: from

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text: In

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text: the

text: evolution

text: of

text: eﬀ

text: Vˆ

text: δˆN/Nˆ¯,

text: and

text: Ψˆ

text: Φˆ)

text: for

text: the

text: model

text: parameters

text: Gˆ

text: /G

text: is

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text: for

text: four

text: diﬀerent

text: values

text: of

text: q

text: and

text: We

text: m

text: eﬀ

text: t

text: q

text: λ1

text: λ2

text: conﬁrmed

text: that

text: the

text: analytic

text: estimation

text: of

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text: is

text: in

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text: µ

text: µ

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text: /Vˆ

text: The

text: good

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text: with

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text: result

text: in

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text: scaling

text: background

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text: chosen

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text: from

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text: The

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text: of

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text: starts

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text: scaling

text: matter

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text: point

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text: i.e.,

text: xˆ

text: q)]

text: the

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text: and

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text: We

text: choose

text: If

text: we

text: compare

text: the

text: cases

text: (ii)

text: and

text: (iii)

text: with

text: the

text: case

text: (i)

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: 8 The EF corresponds to a frame in which both qˆ and cˆ2 From Eqs. (3.27) and (5.6), the matter equation of state t t are of the same forms as those in GR, i.e., qˆ = M2 /(8Nˆ¯) w = P/ρ is invariant under the transformation to the and cˆ2t = Nˆ¯2. The tensor action(cid:18)(5.1) in(cid:19)tthe JFplcan be EprFe,ssiu.er.e, PPˆ/ρ o=bePˆy/tρˆh(cid:16).e Teqhueateinoenrgo(cid:17)yf mdeontsioitny ρˆDE and the transformed to that in the EF for the choice DE Ω2 = 8qtct , Γ = 8qtct c2t − 1 1 . (5.5) dρˆDE + 3Hˆ ρˆ + Pˆ = −Q , (5.15) M2 M2 N¯2 X dtˆ DE DE pl pl The quantities qt and c2t in the action (5.1) depend on where Q is given by Eq. (5.7). Comparing Eq. (4.35) the time t alone. Then, the factor Γ in Eq. (5.5) has with Eq. (5.15), the scalar ﬁeld and matter interact with the dependence Γ(φ, X) = γ(φ)/X−in the unitary gauge, each other in the EF. where γ(φ) = (8q c /M2 )(c2/N¯2 1). t t pl t The background equations of motion in the JF do not For the choices (5.5) the terms α and β in Eqs. (3.3) contain the terms B and B . The theories with same 4 5 and (3.10) are given by values of A but with diﬀerent B cannot be distin- 2,3,4,5 4,5 guished from each other at the background level [54, 70]. 1 c α = = Ω t . (5.6) In other words, two theories with diﬀerent values of c2 β N¯ t lead to the same background dynamics for given A . 2,3,4,5 −C C Since both α and β are (cid:16)function(cid:17)s of t, we have µ = 0 = ν This implies that the coupling ˙t/(Nˆ¯ t)ρˆ appearing from Eq. (3.31). Then, the coupling (4.36) reduces to in Eq. (5.7) does not essentially modify the background C C physics even for the theories in which varies in time. − ω − − ˙ t Q = ρˆ 3Pˆ Ct ρˆ, (5.7) In Sec. we shall conﬁrm this property for a concrete Nˆ¯ Nˆ¯ dark energy model. t C. Perturbations in the EF where Ct ≡ Nc¯t . (5.8) Substituting the relations Lˆ,Sˆ = Eˆ = Mp2l/2 into Eqs. (4.37)-(4.42), we obtain the perturbation equations − − If c = N¯, then Γ = 0 and Q = (ω/Nˆ¯)(ρˆ 3Pˆ). This of motion in the EF. From Eq. (4.42) the gauge-invariant t case corresponds to the well-known conformal transfor- Bardeen potentials obey the relation mation arising e.g., in BD theory [67]. For radiation (ρˆ = 3Pˆ) the coupling Q vanishes, but for non-relativistic − δˆN matter (Pˆ = 0), we have that Q = −(ω/Nˆ¯)ρˆ. If Ct varies Ψˆ + Φˆ = αˆH Nˆ¯ , (5.16) in time, the last term on the rhs of Eq. (5.7) does not vanish even for radiation. where αˆ = 2Nˆ¯Dˆ/M2 is the parameter characterizing B. Background equations in the EF H pl the departure from Horndeski theories. Since Lˆ˙ S = 0 , ˆ The choice (5.5) corresponds to the conditions and cˆ2 = Nˆ¯2, the ﬁrst and second terms present on the t rhs of Eq. (4.23) in the JF vanish in the EF. − − M2 Lˆ S = Aˆ 3Hˆ Aˆ = pl , (5.9) The full GLPV action cannot be mapped to the full , ˆ 4 5 2 Horndeski action under the disformal transformation [43, Eˆ = Bˆ + 1 dBˆ5 = Mp2l . (5.10) 44], so the parameter αˆH in Eq. (5.16) does not gener- 4 2 dtˆ 2 ally vanish. It is, however, possible to transform part of the GLPV action to the action belonging to Horndeski Using the relation (5.9), the background Eqs. (4.32) and theories, in which case αˆ = 0 and hence there is no (4.33) in the EF can be written in the following forms: H anisotropic stress in the EF. 3Mp2lHˆ 2 = ρˆDE + ρˆ, (5.11) Let us consider perturbations of non-relativistic mat- − dHˆ ter characteriz(cid:32)ed by P = 0 and(cid:33)δP = 0. In the EF, 2M2 = ρˆ + Pˆ + ρˆ+ Pˆ , (5.12) Eqs. (4.40) and (4.41) reduce, respectively, to pl dtˆ DE DE where (cid:16) (cid:17) 1 dVˆ 1 dβ¯ − 1 dHˆ −δˆN ≡ − − m + Vˆ = , (5.17) ρˆDE Aˆ2 6Hˆ 3Aˆ5 Hˆ dtˆ Hˆ β¯ dtˆ Hˆ 2 dtˆ m Nˆ¯ − − N(cid:32)ˆ¯ Aˆ2,Nˆ + 3Hˆ Aˆ3,Nˆ 12Hˆ 3Aˆ5,Nˆ(cid:33) , (5.13) dδˆ + 3dζˆ + k2 ψˆ − C1 k2 Vˆm = 0 , (5.18) PˆDE ≡ Aˆ2 + 6Hˆ 3Aˆ5 dtˆ dtˆ aˆ2 Nˆ¯ t2 aˆ2 Hˆ − dAˆ − dHˆ − dAˆ 3 12Hˆ Aˆ 6Hˆ 2 5 . (5.14) where we used the background Eq. (4.35). Taking the dtˆ dtˆ 5 dtˆ tˆ derivative of Eq. (5.18) and employing Eq. (5.17), the ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

label: paragraph

text: The

text: EF

text: corresponds

text: to

text: a

text: frame

text: in

text: which

text: both

text: qˆ

text: and

text: From

text: Eqs.

text: and

text: the

text: matter

text: equation

text: of

text: state

text: t

text: t

text: are

text: of

text: the

text: same

text: forms

text: as

text: those

text: in

text: GR,

text: i.e.,

text: qˆ

text: w

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text: is

text: invariant

text: under

text: the

text: transformation

text: to

text: the

text: and

text: The

text: tensor

text: JFplcan

text: be

text: EprFe,ssiu.er.e,

text: PPˆ/ρ

text: mdeontsioitny

text: ρˆDE

text: and

text: the

text: transformed

text: to

text: that

text: in

text: the

text: EF

text: for

text: the

text: choice

text: DE

text: Ω2

text: Γ

text: dρˆDE

text: ρˆ

text: Pˆ

text: −Q

text: X

text: dtˆ

text: DE

text: DE

text: pl

text: pl

text: The

text: quantities

text: qt

text: and

text: in

text: the

text: action

text: depend

text: on

text: where

text: Q

text: is

text: given

text: by

text: Eq.

text: Comparing

text: Eq.

text: the

text: time

text: t

text: alone.

text: Then,

text: the

text: factor

text: Γ

text: in

text: Eq.

text: has

text: with

text: Eq.

text: the

text: scalar

text: ﬁeld

text: and

text: matter

text: interact

text: with

text: the

text: dependence

text: Γ(φ,

text: X)

text: γ(φ)/X−in

text: the

text: unitary

text: gauge,

text: each

text: other

text: in

text: the

text: EF.

text: where

text: γ(φ)

text: c

text: t

text: t

text: pl

text: t

text: The

text: background

text: equations

text: of

text: motion

text: in

text: the

text: JF

text: do

text: not

text: For

text: the

text: choices

text: the

text: terms

text: α

text: and

text: β

text: in

text: Eqs.

text: contain

text: the

text: terms

text: B

text: and

text: B

text: The

text: theories

text: with

text: same

text: and

text: are

text: given

text: by

text: values

text: of

text: A

text: but

text: with

text: diﬀerent

text: B

text: cannot

text: be

text: distin-

text: guished

text: from

text: each

text: other

text: at

text: the

text: background

text: level

text: c

text: α

text: Ω

text: t

text: In

text: other

text: words,

text: two

text: theories

text: with

text: diﬀerent

text: values

text: of

text: β

text: N¯

text: t

text: lead

text: to

text: the

text: same

text: background

text: dynamics

text: for

text: given

text: A

text: −C

text: C

text: Since

text: both

text: α

text: and

text: β

text: are

text: of

text: t,

text: we

text: have

text: µ

text: ν

text: This

text: implies

text: that

text: the

text: coupling

text: ˙t/(Nˆ¯

text: t)ρˆ

text: appearing

text: from

text: Eq.

text: Then,

text: the

text: coupling

text: reduces

text: to

text: in

text: Eq.

text: does

text: not

text: essentially

text: modify

text: the

text: background

text: C

text: C

text: physics

text: even

text: for

text: the

text: theories

text: in

text: which

text: varies

text: in

text: time.

text: ω

text: t

text: Q

text: ρˆ

text: Ct

text: ρˆ,

text: In

text: Sec.

text: we

text: shall

text: conﬁrm

text: this

text: property

text: for

text: a

text: concrete

text: Nˆ¯

text: Nˆ¯

text: dark

text: energy

text: model.

text: t

text: C.

text: Perturbations

text: in

text: the

text: EF

text: where

text: Ct

text: Nc¯t

text: Substituting

text: the

text: relations

text: Lˆ,Sˆ

text: Eˆ

text: into

text: Eqs.

text: we

text: obtain

text: the

text: perturbation

text: equations

text: If

text: c

text: N¯,

text: then

text: Γ

text: and

text: Q

text: (ω/Nˆ¯)(ρˆ

text: This

text: of

text: motion

text: in

text: the

text: EF.

text: From

text: Eq.

text: the

text: gauge-invariant

text: t

text: case

text: corresponds

text: to

text: the

text: well-known

text: conformal

text: transfor-

text: Bardeen

text: potentials

text: obey

text: the

text: relation

text: mation

text: arising

text: e.g.,

text: in

text: BD

text: theory

text: For

text: radiation

text: (ρˆ

text: the

text: coupling

text: Q

text: vanishes,

text: but

text: for

text: non-relativistic

text: δˆN

text: matter

text: (Pˆ

text: we

text: have

text: that

text: Q

text: −(ω/Nˆ¯)ρˆ.

text: If

text: Ct

text: varies

text: Ψˆ

text: Φˆ

text: αˆH

text: Nˆ¯

text: in

text: time,

text: the

text: last

text: term

text: on

text: the

text: rhs

text: of

text: Eq.

text: does

text: not

text: vanish

text: even

text: for

text: radiation.

text: where

text: αˆ

text: is

text: the

text: parameter

text: characterizing

text: B.

text: Background

text: equations

text: in

text: the

text: EF

text: H

text: pl

text: the

text: departure

text: from

text: Horndeski

text: theories.

text: Since

text: Lˆ˙

text: S

text: ˆ

text: The

text: choice

text: corresponds

text: to

text: the

text: conditions

text: and

text: the

text: ﬁrst

text: and

text: second

text: terms

text: present

text: on

text: the

text: t

text: rhs

text: of

text: Eq.

text: in

text: the

text: JF

text: vanish

text: in

text: the

text: EF.

text: Lˆ

text: S

text: Aˆ

text: Aˆ

text: pl

text: The

text: full

text: GLPV

text: action

text: cannot

text: be

text: mapped

text: to

text: the

text: full

text: ˆ

text: Horndeski

text: action

text: under

text: the

text: disformal

text: transformation

text: Eˆ

text: Bˆ

text: so

text: the

text: parameter

text: αˆH

text: in

text: Eq.

text: does

text: not

text: gener-

text: dtˆ

text: ally

text: vanish.

text: It

text: is,

text: however,

text: possible

text: to

text: transform

text: part

text: of

text: the

text: GLPV

text: action

text: to

text: the

text: action

text: belonging

text: to

text: Horndeski

text: Using

text: the

text: relation

text: the

text: background

text: Eqs.

text: and

text: theories,

text: in

text: which

text: case

text: αˆ

text: and

text: hence

text: there

text: is

text: no

text: in

text: the

text: EF

text: can

text: be

text: written

text: in

text: the

text: following

text: forms:

text: H

text: anisotropic

text: stress

text: in

text: the

text: EF.

text: ρˆDE

text: ρˆ,

text: Let

text: us

text: consider

text: perturbations

text: of

text: non-relativistic

text: mat-

text: dHˆ

text: ter

text: by

text: P

text: In

text: the

text: EF,

text: ρˆ

text: Pˆ

text: ρˆ+

text: Pˆ

text: Eqs.

text: and

text: reduce,

text: respectively,

text: to

text: pl

text: dtˆ

text: DE

text: DE

text: where

text: dVˆ

text: dβ¯

text: dHˆ

text: −δˆN

text: m

text: Vˆ

text: ρˆDE

text: Hˆ

text: dtˆ

text: Hˆ

text: β¯

text: dtˆ

text: Hˆ

text: dtˆ

text: m

text: Nˆ¯

text: dδˆ

text: 3dζˆ

text: ψˆ

text: Vˆm

text: PˆDE

text: dtˆ

text: dtˆ

text: Nˆ¯

text: Hˆ

text: dAˆ

text: dHˆ

text: dAˆ

text: Aˆ

text: where

text: we

text: used

text: the

text: background

text: Eq.

text: Taking

text: the

text: dtˆ

text: dtˆ

text: dtˆ

text: tˆ

text: derivative

text: of

text: Eq.

text: and

text: employing

text: Eq.

text: the

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text: ##LTLine##

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text: 29 2. µ is an irrational angle: R Q This case corresponds to µ ∈ [0, 2π) ∩ 2π( \ ). We can then apply the spectral theo- rem on the separable invariant subspaces discussed in section . Thus, we have generalized eigenvectors w ⊗ w ⊗ w , (7.10) α1,ρ1 α2,ρ2 α3,ρ3 where wα,ρ is given by (6.32), and a ρi labels an eigenvalue eiρ = eiκiµ of the translation operator Rµi. In order to make the similarity with the discrete case more transparent, we can Z deﬁne implicitly κ ∈ as the integer for which κ µ − ρ = 0 mod 2π holds (remember that i i wαi,ρi can indeed be unde(cid:26)rs(cid:12)(cid:12)t(cid:88)ood(cid:0)as being conce(cid:1)n(cid:12)(cid:12) tra(cid:12)ted on ki = κi in th(cid:27)e k-representation). In this sense, the spectrum(cid:12)is given by the closu(cid:12)re o(cid:12)f the set (cid:126) βBI × 2 − 2 cos(κ µ) 1/2 (κ , κ , κ ) ∈ (Z )3 . (7.11) i 1 2 3 q µ (cid:112) i If we choose µ as well as the κ to be small, one ﬁnds a very good approximation to the i usual case, i.e. spectral values ∼ κ2 + κ2 + κ2. For growing κ , the bound sets in and one 1 2 (cid:2) 3 (cid:3) i has an oscillatory behavior which ﬁlls densely all the allowed range, which is given by (cid:126) β √ BI × 0, 12 . (7.12) µ 2. Non-Abelian group SU(2) Let us now turn to the more complicated case of the gauge group SU(2). Here, the translation operators Rµi do not commute, so we cannot apply the results from the spectral analysis of these operators straightforwardly. However, we can deﬁne as before subspaces which are left invariant by the area operator, by taking the closure of the space of states generated by applying arbitrary integer powers of Rµi to a given basis state ψα. If the parameters µ are elements of a ﬁnite subgroup of SU(2), this results in a ﬁnite-dimensional i subspace with discrete spectrum. These are however only the subgroups corresponding to the Platonic solids, and thus no regular family of ﬁnite groups that generates rotations in all three directions. Therefore, we can rather expect to have a continuous spectrum, at least in the sense of having generalized eigenvectors (it still could happen that there are normalizable eigenvectors, as explained below). We can nevertheless diagonalize the area operator by employing the spin representation laid out in appendix . This uses a (discrete generalization of the) group Fourier transform, so that the states are wave functions of the form ψ(j, M, N) = ψ (j), where j is the spin representation MN label and M, N are magnetic indices. The translation operators act in this representation as (Rµψ)(j) = Dj(µ) · ψ(j), (7.13) and therefore leaves the j label and one of the magnetic indices N invariant. The diﬀerence with the usual case is that ψ(j) ∼ δ (cid:48) is a state with vanishing norm, since the inner product is given j,j by (cid:88) (cid:0) (cid:1) 1 Λ † (cid:104)ψ |ψ (cid:105) = lim tr (ψ (j)ψ (j) , (7.14) 1 2 Λ→∞ N (Λ) 1 2 j=0 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

label: list

text: µ

text: is

text: an

text: irrational

text: angle:

text: R

text: Q

text: This

text: case

text: corresponds

text: to

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text: can

text: then

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text: the

text: spectral

text: theo-

text: rem

text: on

text: the

text: separable

text: invariant

text: subspaces

text: discussed

text: in

text: section

text: Thus,

text: we

text: have

text: generalized

text: eigenvectors

text: w

label: equation

text: w

text: w

text: where

text: wα,ρ

text: is

text: given

text: by

text: and

text: a

text: ρi

text: labels

text: an

text: eigenvalue

text: eiρ

text: eiκiµ

text: of

text: the

text: translation

text: operator

text: Rµi.

text: In

text: order

text: to

text: make

text: the

text: similarity

text: with

text: the

text: discrete

text: case

text: more

text: transparent,

text: we

text: can

text: Z

text: deﬁne

text: implicitly

text: κ

text: as

text: the

text: integer

text: for

text: which

text: κ

text: µ

text: ρ

text: mod

text: 2π

text: holds

text: (remember

text: that

text: i

text: i

text: wαi,ρi

text: can

text: indeed

text: be

text: being

text: on

text: ki

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text: in

text: k-representation).

text: In

text: this

text: sense,

text: the

text: given

text: by

text: the

text: the

text: set

text: βBI

text: cos(κ

text: µ)

text: (κ

text: κ

text: κ

text: (Z

text: i

text: q

text: µ

text: i

text: If

text: we

text: choose

text: µ

text: as

text: well

text: as

text: the

text: κ

text: to

text: be

text: small,

text: one

text: ﬁnds

text: a

text: very

text: good

text: approximation

text: to

text: the

text: i

text: usual

text: case,

text: i.e.

text: spectral

text: values

text: κ2

text: κ2

text: For

text: growing

text: κ

text: the

text: bound

text: sets

text: in

text: and

text: one

text: i

text: has

text: an

text: oscillatory

text: behavior

text: which

text: ﬁlls

text: densely

text: all

text: the

text: allowed

text: range,

text: which

text: is

text: given

text: by

text: β

text: BI

text: µ

text: Non-Abelian

text: group

text: Let

text: us

text: now

text: turn

text: to

text: the

text: more

text: complicated

text: case

text: of

text: the

text: gauge

text: group

text: Here,

text: the

text: translation

text: operators

text: Rµi

text: do

text: not

text: commute,

text: so

text: we

text: cannot

text: apply

text: the

text: results

text: from

text: the

text: spectral

text: analysis

text: of

text: these

text: operators

text: straightforwardly.

text: However,

text: we

text: can

text: deﬁne

text: as

text: before

text: subspaces

text: which

text: are

text: left

text: invariant

text: by

text: the

text: area

text: operator,

text: by

text: taking

text: the

text: closure

text: of

text: the

text: space

text: of

text: states

text: generated

text: by

text: applying

text: arbitrary

text: integer

text: powers

text: of

text: Rµi

text: to

text: a

text: given

text: basis

text: state

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text: If

text: the

text: parameters

text: µ

text: are

text: elements

text: of

text: a

text: ﬁnite

text: subgroup

text: of

text: this

text: results

text: in

text: a

text: ﬁnite-dimensional

text: i

text: subspace

text: with

text: discrete

text: spectrum.

text: These

text: are

text: however

text: only

text: the

text: subgroups

text: corresponding

text: to

text: the

text: Platonic

text: solids,

text: and

text: thus

text: no

text: regular

text: family

text: of

text: ﬁnite

text: groups

text: that

text: generates

text: rotations

text: in

text: all

text: three

text: directions.

text: Therefore,

text: we

text: can

text: rather

text: expect

text: to

text: have

text: a

text: continuous

text: spectrum,

text: at

text: least

text: in

text: the

text: sense

text: of

text: having

text: generalized

text: eigenvectors

text: (it

text: still

text: could

text: happen

text: that

text: there

text: are

text: normalizable

text: eigenvectors,

text: as

text: explained

text: below).

text: We

text: can

text: nevertheless

text: diagonalize

text: the

text: area

text: operator

text: by

text: employing

text: the

text: spin

text: representation

text: laid

text: out

text: in

text: appendix

text: This

text: uses

text: a

text: (discrete

text: generalization

text: of

text: the)

text: group

text: Fourier

text: transform,

text: so

text: that

text: the

text: states

text: are

text: wave

text: functions

text: of

text: the

text: form

text: ψ(j,

text: M,

text: N)

text: ψ

text: (j),

text: where

text: j

text: is

text: the

text: spin

text: representation

text: MN

text: label

text: and

text: M,

text: N

text: are

text: magnetic

text: indices.

text: The

text: translation

text: operators

text: act

text: in

text: this

text: representation

text: as

text: (Rµψ)(j)

text: Dj(µ)

text: ψ(j),

text: and

text: therefore

text: leaves

text: the

text: j

text: label

text: and

text: one

text: of

text: the

text: magnetic

text: indices

text: N

text: invariant.

text: The

text: diﬀerence

text: with

text: the

text: usual

text: case

text: is

text: that

text: ψ(j)

text: δ

text: is

text: a

text: state

text: with

text: vanishing

text: norm,

text: since

text: the

text: inner

text: product

text: is

text: given

text: j,j

text: by

text: Λ

text: |ψ

text: lim

text: tr

text: (ψ

text: (j)ψ

text: (j)

text: Λ→∞

text: N

text: (Λ)

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: 37 (cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48) Consider now a path γ in Γ . When seen as a path in ∆ , this γ goes inside d-dimensional simplices and intersects some of their boundary (d − 1)-dimensional simplices. We deﬁne the path (cid:48) γ = P(γ ) in ∆ in such a way that it enters and leaves a d-dimensional simplex σd in the same (cid:48) ∆ − order and through the same boundary simplices ∂σd as γ enters and leaves the complex P 1(σd ) − ∆ ∆ with respect to the boundary complexes P 1(∂σd ). ∆ An important property which follows from this deﬁnition of the projection maps P is their transitivity. This can be summarized in the following result (here we denote by P (cid:48) the projection (cid:48) ∆ ,∆ map from ∆ to ∆): (cid:48) (cid:48)(cid:48) Lemma VIII.1 (Transitivity of the projection maps). Given three triangulations ∆ ≺ ∆ ≺ ∆ and the corresponding projection maps P (cid:48) , P (cid:48)(cid:48) (cid:48), and P (cid:48)(cid:48) , then we have that ∆ ,∆ ∆ ,∆ ∆ ,∆ P (cid:48) P (cid:48)(cid:48) (cid:48) = P (cid:48)(cid:48) . (8.1) ∆ ,∆ ∆ ,∆ ∆ ,∆ − Every link l ∈ Γ, whether it is a leaf or a branch of a tree, has a pre-image P 1(l) in the (cid:48) set of paths in Γ whose nature depends on the d-dimensional simplices dual to the end nodes l(0) and l(1). If the d-dimensional simplices dual to the end nodes of l are not involved in the − (cid:48) reﬁnement of the triangulation, then the pre-image P 1(l) consists of a single link l . If at least one of the d-dimensional simplices dual to the end nodes of l is being reﬁned, then the pre-image − P 1(l) consists of a set of paths (which can a priori diﬀer in their source and/or target nodes) and therefore contains several links. − In general, P 1(l) will include paths composed out of several links of the ﬁner triangulation. It will turn out to be useful to isolate the paths which include only one link. For this ,we therefore − − introduce the notation P 1(l) for the “link pre-image”, i.e. the subset of P 1(l) containing all the (cid:48) (cid:48) L links l such that P(l ) = l. This link pre-image will be essential for discussing the reﬁnement of ﬂux observables, which are based on so-called co-paths (a set of connected edges in d = 2 and a − − − set of connected triangles in d = 3). Basically, P 1(l) ∪ P 1(l 1) contains all the links which are L L dual to the (d − 1)-dimensional simplices appearing in the reﬁnement of the (d − 1)-dimensional simplex dual to the link l. We are now going to use these projections of paths to characterize reﬁned trees as, roughly speaking, trees whose fundamental cycles can be projected to the fundamental cycles determined by the coarser tree. B. Reﬁned trees (cid:48) Consider a triangulation ∆, its dual graph Γ, and a ﬁner triangulation ∆ obtained from ∆ by (cid:48) (cid:48) Alexander moves. Given a tree T in Γ, it turns out that not all the trees T ⊂ Γ will be useful in (cid:48) our construction, not even if they satisfy the condition P(T ) = T . This is illustrated with some (cid:48) (cid:48) examples in appendix . In what follows, we will therefore characterize the trees T ⊂ Γ which arise as “natural extensions” of T , and call them reﬁned trees. (cid:48) Deﬁnition VIII.1 (Reﬁned tree). Consider two triangulations such that ∆ ≺ ∆ , and a tree T in (cid:48) the graph dual to the coarser triangulation ∆. We say that a tree T is a reﬁnement of a coarser tree T if the following two conditions are satisﬁed: (cid:48) (cid:48) (i) All the paths along T are mapped under P to paths along T , which we write as P(T ) = T . (cid:48) path in Γ to the space of path in Γ, and for denoting the relationship between simplices σ in ∆ and the set of − (cid:48) ∆ simplices P 1(σ ) in ∆ into which the simplices σ are reﬁned. ∆ ∆ ##LTLine##

text: Consider

text: now

text: a

text: path

text: γ

text: in

text: Γ

text: When

text: seen

text: as

text: a

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text: in

text: this

text: γ

text: goes

text: inside

text: d-dimensional

text: simplices

text: and

text: intersects

text: some

text: of

text: their

text: boundary

text: (d

text: simplices.

text: We

text: deﬁne

text: the

text: path

text: γ

text: P(γ

text: in

text: in

text: such

text: a

text: way

text: that

text: it

text: enters

text: and

text: leaves

text: a

text: d-dimensional

text: simplex

text: σd

text: in

text: the

text: same

text: order

text: and

text: through

text: the

text: same

text: boundary

text: simplices

text: ∂σd

text: as

text: γ

text: enters

text: and

text: leaves

text: the

text: complex

text: P

text: with

text: respect

text: to

text: the

text: boundary

text: complexes

text: P

text: An

text: important

text: property

text: which

text: follows

text: from

text: this

text: deﬁnition

text: of

text: the

text: projection

text: maps

text: P

text: is

text: their

text: transitivity.

text: This

text: can

text: be

text: summarized

text: in

text: the

text: following

text: result

text: (here

text: we

text: denote

text: by

text: P

text: the

text: projection

text: map

text: from

text: to

text: Lemma

text: (Transitivity

text: of

text: the

text: projection

text: maps).

text: Given

text: three

text: triangulations

text: and

text: the

text: corresponding

text: projection

text: maps

text: P

text: P

text: and

text: P

text: then

text: we

text: have

text: that

text: P

text: P

text: P

text: Every

text: link

text: l

text: Γ,

text: whether

text: it

text: is

text: a

text: leaf

text: or

text: a

text: branch

text: of

text: a

text: tree,

text: has

text: a

text: pre-image

text: P

text: in

text: the

text: set

text: of

text: paths

text: in

text: Γ

text: whose

text: nature

text: depends

text: on

text: the

text: d-dimensional

text: simplices

text: dual

text: to

text: the

text: end

text: nodes

text: and

text: If

text: the

text: d-dimensional

text: simplices

text: dual

text: to

text: the

text: end

text: nodes

text: of

text: l

text: are

text: not

text: involved

text: in

text: the

text: reﬁnement

text: of

text: the

text: triangulation,

text: then

text: the

text: pre-image

text: P

text: consists

text: of

text: a

text: single

text: link

text: l

text: If

text: at

text: least

text: one

text: of

text: the

text: d-dimensional

text: simplices

text: dual

text: to

text: the

text: end

text: nodes

text: of

text: l

text: is

text: being

text: reﬁned,

text: then

text: the

text: pre-image

text: P

text: consists

text: of

text: a

text: set

text: of

text: paths

text: (which

text: can

text: a

text: priori

text: diﬀer

text: in

text: their

text: source

text: and/or

text: target

text: nodes)

text: and

text: therefore

text: contains

text: several

text: links.

text: In

text: general,

text: P

text: will

text: include

text: paths

text: composed

text: out

text: of

text: several

text: links

text: of

text: the

text: ﬁner

text: triangulation.

text: It

text: will

text: turn

text: out

text: to

text: be

text: useful

text: to

text: isolate

text: the

text: paths

text: which

text: include

text: only

text: one

text: link.

text: For

text: this

text: ,we

text: therefore

text: introduce

text: the

text: notation

text: P

text: for

text: the

text: “link

text: pre-image”,

text: i.e.

text: the

text: subset

text: of

text: P

text: containing

text: all

text: the

text: L

text: links

text: l

text: such

text: that

text: P(l

text: l.

text: This

text: link

text: pre-image

text: will

text: be

text: essential

text: for

text: discussing

text: the

text: reﬁnement

text: of

text: ﬂux

text: observables,

text: which

text: are

text: based

text: on

text: so-called

text: co-paths

text: (a

text: set

text: of

text: connected

text: edges

text: in

text: d

text: and

text: a

text: set

text: of

text: connected

text: triangles

text: in

text: d

text: Basically,

text: P

text: P

text: contains

text: all

text: the

text: links

text: which

text: are

text: L

text: L

text: dual

text: to

text: the

text: (d

text: simplices

text: appearing

text: in

text: the

text: reﬁnement

text: of

text: the

text: (d

text: simplex

text: dual

text: to

text: the

text: link

text: l.

text: We

text: are

text: now

text: going

text: to

text: use

text: these

text: projections

text: of

text: paths

text: to

text: characterize

text: reﬁned

text: trees

text: as,

text: roughly

text: speaking,

text: trees

text: whose

text: fundamental

text: cycles

text: can

text: be

text: projected

text: to

text: the

text: fundamental

text: cycles

text: determined

text: by

text: the

text: coarser

text: tree.

text: B.

text: Reﬁned

text: trees

text: Consider

text: a

text: triangulation

text: its

text: dual

text: graph

text: Γ,

text: and

text: a

text: ﬁner

text: triangulation

text: obtained

text: from

text: by

text: Alexander

text: moves.

text: Given

text: a

text: tree

text: T

text: in

text: Γ,

text: it

text: turns

text: out

text: that

text: not

text: all

text: the

text: trees

text: T

text: Γ

text: will

text: be

text: useful

text: in

text: our

text: construction,

text: not

text: even

text: if

text: they

text: satisfy

text: the

text: condition

text: P(T

text: T

text: This

text: is

text: illustrated

text: with

text: some

text: examples

text: in

text: appendix

text: In

text: what

text: follows,

text: we

text: will

text: therefore

text: characterize

text: the

text: trees

text: T

text: Γ

text: which

text: arise

text: as

text: “natural

text: extensions”

text: of

text: T

text: and

text: call

text: them

text: reﬁned

text: trees.

text: Deﬁnition

text: (Reﬁned

text: tree).

text: Consider

text: two

text: triangulations

text: such

text: that

text: and

text: a

text: tree

text: T

text: in

text: the

text: graph

text: dual

text: to

text: the

text: coarser

text: triangulation

text: We

text: say

text: that

text: a

text: tree

text: T

text: is

text: a

text: reﬁnement

text: of

text: a

text: coarser

text: tree

text: T

text: if

text: the

text: following

text: two

text: conditions

text: are

text: satisﬁed:

text: (i)

text: All

text: the

text: paths

text: along

text: T

text: are

text: mapped

text: under

text: P

text: to

text: paths

text: along

text: T

text: which

text: we

text: write

text: as

text: P(T

text: T

text: path

text: in

text: Γ

text: to

text: the

text: space

text: of

text: path

text: in

text: Γ,

text: and

text: for

text: denoting

text: the

text: relationship

text: between

text: simplices

text: σ

text: in

text: and

text: the

text: set

text: of

text: simplices

text: P

text: in

text: into

text: which

text: the

text: simplices

text: σ

text: are

text: reﬁned.

text: ##LTLine##