text: 4 2.0 2.0 2.0 2.0 1.6 L=16 1.6 L=16 L=16 L=16 L=32 L=32 1.6 1.6 1.2 L=64 1.2 L=64 LL==3624 LL==3624 C(r) 0.8 ∆x=0 C(r) 0.8 ∆x=0 1.2 1.2 0.4 0.4 C(r) 0.8 ∆x=0 C(r) 0.8 ∆x=1 0.0 0.0 1.2 1.2 0.4 0.4 C(r) 0.8 ∆x=1 C(r) 0.8 ∆x=2 0.4 0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r/L r/L r/L r/L FIG. 3: (Color online) Strange correlator in the two-leg spin- FIG. 4: (Color online) Strange correlator in the three-leg spin- 1 ladder with D = 0 and J = K = 1. We ﬁnd 2m = L2 is 1 ladder with D = 0 and J = K = 1. Correlations involving suﬃcient to converge to the ground state limit. the middle leg of the ladder are shown in the left panels, while those involving only the outer legs are shown in the right panels. We ﬁnd 2m = 3L2 is suﬃcient to converge to ically trivial. When coupled with results from a previ- the ground state limit. ous QMC study that demonstrated a lack of any phase transition,15 this leads to the conclusion that the ground state of the isotropic two-leg spin-1 Heisenberg ladder is static structure factor (see Eq. A.1 in the appendix). In always topologically trivial. Fig. 5, we show the system size dependence of Ψ for L Here, we calculate the strange correlator for antiferro- various SPT phases. As expected, within the non-trivial magnet rung interactions with J = K = 1. As seen in SPT phases (chain and three-leg ladder with D = 0), we Fig. 3, the strange correlator at long distances quickly ﬁnd Ψ approaches a constant value exponentially with L decays to zero as our system size approaches the thermo- system size. This is conﬁrmed by ﬁtting Ψ using the L dynamic limit. This is true both for correlations within scaling form of Eq. A.6 that we derive in the appendix. a single leg of the ladder (∆x = 0) as well as for correla- For the trivial SPT phases (chain with D = 2, two-leg tions between opposite legs of the ladder (∆x = 1). Thus, ladder with D = 0), Ψ instead scales exponentially to L we see that the strange correlator correctly identiﬁes the zero with system size. Excellent ﬁts are obtained using ground state of the spin-1 Heisenberg antiferromagnetic Eq. A.6 with Ψ∞ = 0. In the last scenario, we ﬁt Ψ L two-leg ladder as a topologically trivial state. near the critical point (chain with D = 1) using the scal- C. Three-leg ladder ing form of Eq. A.11. This conﬁrms that the strange correlator follows the usual critical behavior at the phase In contrast to the two-leg spin-1 ladder, the ground boundary between trivial and non-trivial SPT phases. state of the three-leg spin-1 ladder is a topologically non- The critical behavior at the quantum phase transition trivial SPT state.16 This can be seen in Fig. 4, where between the Haldane and large-D phases is captured by strange correlator converges to a non-zero value as our a conformal ﬁeld theory that maps onto a free Gaussian system size approaches the thermodynamic limit. As be- model.17 The critical exponents for this Gaussian tran- fore, the long distance behavior is the same for correla- sition can be expressed in terms of a single parameter tions within a single leg of the ladder (∆x = 0, inner K (the Luttinger parameter). For the Green’s function (cid:104) (cid:105) or outer legs) as well as for correlations between dif- G(r) = SxSx + SySy the anomalous dimensionality 0 r 0 r ferent legs of the ladder (∆x = 1 or ∆x = 2). Once should be given by η = 1/2K, while the critical expo- again, we see that the strange correlator correctly iden- nent governing the correlation length is expected to be − tiﬁes the ground state SPT character, this time ﬁnding ν = 1/(2 K). Similar relations can be derived through a non-trivial SPT ground state for the spin-1 Heisenberg the well-known bosonization technique. antiferromagnetic three-leg ladder. The Gaussian transition has been well-studied,17–21 D. Finite-size scaling with recent results from the density matrix renormal- ization group obtaining D = 0.96845(8) and K = c In order to make a more quantitative statement on 1.321(1).21 To test our method, in the top panels of (cid:80) the scaling properties of the strange correlator in the Fig. 6 we plot the Green’s function at half the system thermodynamic limit, we deﬁne a ﬁnite-size scaling pa- size, G(L/2), multiplied by Lη to obtain a dimensionless rameter Ψ = 1 C((cid:126)r) based on the corresponding parameter. As can be seen in the left panel, this dimen- L N (cid:126)r ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: the

text: ground

text: boundary

text: between

text: trivial

text: and

text: non-trivial

text: SPT

text: phases.

text: state

text: of

text: the

text: three-leg

text: ladder

text: is

text: a

text: topologically

text: non-

text: The

text: critical

text: behavior

text: at

text: the

text: quantum

text: phase

text: transition

text: trivial

text: SPT

text: This

text: can

text: be

text: seen

text: in

text: Fig.

text: where

text: between

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text: Haldane

text: and

text: large-D

text: phases

text: is

text: captured

text: by

text: strange

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text: to

text: a

text: non-zero

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text: as

text: our

text: a

text: conformal

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text: theory

text: that

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text: onto

text: a

text: free

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text: system

text: size

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text: the

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text: limit.

text: As

text: be-

text: The

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text: for

text: this

text: Gaussian

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text: is

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text: for

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text: can

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text: of

text: a

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text: parameter

text: tions

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text: inner

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text: (the

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text: parameter).

text: For

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text: function

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text: as

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text: between

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text: G(r)

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text: SySy

text: the

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text: r

text: r

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text: of

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text: (∆x

text: or

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text: should

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text: we

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text: the

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text: the

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text: to

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text: character,

text: this

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text: Similar

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text: can

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text: derived

text: through

text: a

text: non-trivial

text: SPT

text: ground

text: state

text: for

text: the

text: Heisenberg

text: the

text: well-known

text: bosonization

text: technique.

text: antiferromagnetic

text: three-leg

text: ladder.

text: The

text: Gaussian

text: transition

text: has

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text: D.

text: Finite-size

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text: results

text: from

text: the

text: density

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text: D

text: and

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text: to

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text: a

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text: test

text: our

text: method,

text: in

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text: top

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text: of

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text: strange

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text: in

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text: we

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text: function

text: at

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text: we

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text: a

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text: scaling

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text: size,

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text: by

text: Lη

text: to

text: obtain

text: a

text: dimensionless

text: rameter

text: Ψ

text: based

text: on

text: the

text: corresponding

text: parameter.

text: As

text: can

text: be

text: seen

text: in

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text: this

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