text: 2 I. H. Whittam et al. successfully ﬁtted the data available at the time. The de Zotti et al. model splits the sources into ﬂat and steep-spectrum populations, with the ﬂat-spectrum population further divided into ﬂat-spectrum radio quasars and BL Lacs, and determines the epoch-dependent lu- minosity function for each population. Starforming galaxies, GHz- peaked spectrum (GPS) sources and objects in the late stages of AGN evolution are also included in the model. A more recent model by Tucci et al. (2011) used physically grounded models to extrapolate the 5-GHz source count, which is well known observationally, to higher frequencies. They focus on the spectral behaviour of blazars and compare three diﬀerent mod- els which treat ﬂat-spectrum sources diﬀerently. This scheme is successful at high ﬂux densities but does not accurately reproduce ≈ the observed 15 GHz source count below 10 mJy. The number of ∼ sources is signiﬁcantly underestimated (by a factor of 2), indic- ating that the properties of these sources are not well understood, Figure 1. The noise in the 15.7-GHz AMI map of the AMI001 largely due to the complexity and diversity of the high-frequency (J0024+3152) ﬁeld. spectra of individual sources. Wilman et al. (2008, 2010) have produced a semi-empirical simulation of the extragalactic radio continuum sky (the SKADS Simulated Sky; S3). The simulation splits the radio sources into separate populations: FRII sources, FRI sources, radio-quiet AGNs and starforming galaxies, which are split into quiescent starforming and starbursting galaxies. The observed (and extrapolated) radio continuum luminosity functions are used to generate a catalogue ≈ × of 320 million simulated sources. This simulation covers 20 20 deg2 out to a cosmological redshift of z = 20 and down to a ﬂux density of 10 nJy at 151, 610 MHz, 1.4, 4.86 and 18 GHz. Whittam et al. (2013) showed that the simulation fails to reproduce the spectral index distribution of 10C sources, dramatically under- predicting the number of ﬂat spectrum sources. Thus, although good progress has been made in recent years in modelling aspects of the extragalactic radio source population, the high-frequency radio source population at low ﬂux densities is poorly described. To understand the nature of the faint, high- frequency population and constrain the models better observations of the faint, high-frequency sky are required. In this paper we present new, deep observations at 15.7 GHz in two 10C ﬁelds, Figure 2. The noise in the 15.7-GHz AMI map of the Lockman Hole which when combined with existing 10C data enable the source (J1052+5730) ﬁeld. counts to be constrained down to 0.1 mJy, a factor of ﬁve deeper than the 10C source count. This paper is laid out as follows. Section describes the obser- vations and data reduction, and Section details the methods used to produce the source catalogue. Section discusses the eﬀects of a rastering technique in the same way as the 10C survey observa- ﬂux density variability. The catalogue is used to derive the source tions, with hexagonal rasters of 37 pointings each separated by 4 counts in Section and these results are discussed in Section before arcmin. In the AMI001 ﬁeld, 450 hours of new observations have some brief conclusions are presented in Section . been made in several hexagons (each consisting of 37 pointings), 2 OBSERVATIONS AND DATA REDUCTION and the rms noise in the centre of the two deepest hexagons is ∼ − 16 µJy beam 1. The noise map for the AMI001 ﬁeld is shown The 15.7-GHz observations were conducted between August in Fig. 1. In the Lockman Hole ﬁeld, 300 hours of additional obser- 2008 and July 2014 using the Arcminute Microkelvin Imager Large vations were carried out in one 37-pointing hexagon. The rms noise Array (AMI LA), located near Cambridge, UK. The AMI LA con- in this hexagon is ∼ 21 µJy beam−1, as shown by the noise map in sists of eight 13-m antennas with baselines of 18 to 110 m, giving Fig. 2. it a primary beam of 5.5 arcmin and a resolution of 30 arcsec. All raw data ﬁles were reduced with the up-to-date reduction For the 10C survey the LA observations were made of 10 pipeline in the AMI in-house software package reduce (Paper F). ﬁelds of diﬀerent sizes, covering a total of 27 deg2. Each ﬁeld con- This new pipeline was developed from that used for the 10C sur- − sists of an outer region complete to 1 mJy beam 1, and an inner vey with enhanced methods for ﬂagging interference and produces − deeper region complete to 0.5 mJy beam 1. consistent results. uv-ﬁts ﬁles are written out from reduce and con- Here we describe further observations of two of the 10C catenated to produce a single uv-ﬁts ﬁle for each ﬁeld. Mapping is ﬁelds: the AMI001 (J0024+3152) ﬁeld and the Lockman Hole ﬁeld carried out in aips using the same imaging pipeline as that for the (J1052+5730), details of which are given in Table 1. From these 10C survey, with automated clean procedures and the imean task × two ﬁelds we selected sub-ﬁelds that we observed further, using used to estimate the noise. The pixel size in the image is 5 5 arc- MNRAS in press, 1–11 (2015) ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: de

text: Zotti

text: et

text: al.

text: model

text: splits

text: the

text: sources

text: into

text: ﬂat

text: and

text: steep-spectrum

text: populations,

text: with

text: the

text: ﬂat-spectrum

text: population

text: further

text: divided

text: into

text: ﬂat-spectrum

text: radio

text: quasars

text: and

text: BL

text: Lacs,

text: and

text: determines

text: the

text: epoch-dependent

text: lu-

text: minosity

text: function

text: for

text: each

text: population.

text: Starforming

text: galaxies,

text: GHz-

text: peaked

text: spectrum

text: (GPS)

text: sources

text: and

text: objects

text: in

text: the

text: late

text: stages

text: of

text: AGN

text: evolution

text: are

text: also

text: included

text: in

text: the

text: model.

text: A

text: more

text: recent

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text: by

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text: et

text: al.

text: used

text: physically

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text: to

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text: the

text: source

text: count,

text: which

text: is

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text: to

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text: They

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text: the

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text: behaviour

text: of

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text: and

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text: three

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text: mod-

text: els

text: which

text: treat

text: ﬂat-spectrum

text: sources

text: diﬀerently.

text: This

text: scheme

text: is

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text: at

text: high

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text: but

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text: not

text: accurately

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text: the

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text: GHz

text: source

text: count

text: below

text: mJy.

text: The

text: number

text: of

text: sources

text: is

text: signiﬁcantly

text: underestimated

text: (by

text: a

text: factor

text: of

text: indic-

text: ating

text: that

text: the

text: properties

text: of

text: these

text: sources

text: are

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text: well

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text: Figure

text: The

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text: map

text: of

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text: to

text: the

text: complexity

text: and

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text: of

text: the

text: high-frequency

text: ﬁeld.

text: spectra

text: of

text: individual

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text: Wilman

text: et

text: al.

text: have

text: produced

text: a

text: semi-empirical

text: simulation

text: of

text: the

text: extragalactic

text: radio

text: continuum

text: sky

text: (the

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text: Simulated

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text: The

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text: splits

text: the

text: radio

text: sources

text: into

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text: FRII

text: sources,

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text: sources,

text: radio-quiet

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text: and

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text: which

text: are

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text: and

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text: The

text: observed

text: (and

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text: radio

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text: are

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text: to

text: generate

text: a

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text: of

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text: This

text: simulation

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text: to

text: a

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text: and

text: down

text: to

text: a

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text: density

text: of

text: nJy

text: at

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text: and

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text: Whittam

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text: showed

text: that

text: the

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text: to

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text: the

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text: index

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text: of

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text: dramatically

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text: of

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text: spectrum

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text: Thus,

text: although

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text: has

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text: in

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text: modelling

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text: of

text: the

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text: radio

text: source

text: population,

text: the

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text: radio

text: source

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text: at

text: low

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text: densities

text: is

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text: To

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text: the

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text: of

text: the

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text: high-

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text: and

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text: the

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text: better

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text: of

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text: high-frequency

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text: are

text: required.

text: In

text: this

text: paper

text: we

text: present

text: new,

text: deep

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text: at

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text: in

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text: Figure

text: The

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text: in

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text: of

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text: which

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text: with

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text: data

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text: the

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text: counts

text: to

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text: down

text: to

text: mJy,

text: a

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text: of

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text: deeper

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text: the

text: source

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text: This

text: paper

text: is

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text: out

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text: follows.

text: Section

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text: the

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text: vations

text: and

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text: and

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text: the

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text: to

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text: the

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text: Section

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text: the

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text: of

text: a

text: rastering

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text: in

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text: way

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text: survey

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text: density

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text: The

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text: is

text: used

text: to

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text: the

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text: with

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text: of

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text: each

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text: by

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text: in

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text: and

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text: results

text: are

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text: in

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text: In

text: the

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text: hours

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text: new

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text: have

text: some

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text: are

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text: in

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text: hexagons

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text: of

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text: and

text: the

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text: in

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text: of

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text: is

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text: beam

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text: for

text: the

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text: is

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text: were

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text: in

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text: In

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text: Hole

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text: of

text: additional

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text: and

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text: using

text: the

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text: Microkelvin

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text: Large

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text: were

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text: The

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text: LA),

text: located

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text: The

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text: in

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text: as

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text: in

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text: of

text: eight

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text: with

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text: of

text: to

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text: giving

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text: it

text: a

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text: and

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text: All

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text: data

text: ﬁles

text: were

text: reduced

text: with

text: the

text: up-to-date

text: reduction

text: For

text: the

text: survey

text: the

text: LA

text: observations

text: were

text: made

text: of

text: pipeline

text: in

text: the

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text: (Paper

text: F).

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text: of

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text: sizes,

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text: a

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text: of

text: Each

text: ﬁeld

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text: This

text: new

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text: of

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text: outer

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text: to

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text: beam

text: and

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text: with

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text: methods

text: for

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text: and

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text: to

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text: uv-ﬁts

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text: are

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text: and

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text: Here

text: we

text: describe

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text: of

text: two

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text: the

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text: to

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text: a

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text: for

text: each

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text: Mapping

text: is

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text: the

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text: and

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text: Hole

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text: carried

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text: using

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text: as

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text: of

text: which

text: are

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text: From

text: these

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text: with

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text: clean

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text: and

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text: task

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text: we

text: selected

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text: that

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text: further,

text: using

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text: to

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text: the

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text: The

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text: is

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text: MNRAS

text: in

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text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

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text: 10C continued: a deeper radio survey at 15.7 GHz 7 32.6 Table 6. Source counts for the two ﬁelds combined. 32.4 Bin ﬂux density dN/dS − − 32.2 range / mJy / Jy 1 sr 1 ± × 2.900 – 5.500 (5.7 ± 1.1) × 106 32.0 2.050 – 2.900 (2.1 ± 0.4) × 107 1.500 – 2.050 (3.2 ± 0.6) × 107 31.8 1.250 – 1.500 (5.6 ± 1.1) × 107 1.000 – 1.250 (8.8 ± 1.4) × 107 31.6 0.900 – 1.000 (1.1 ± 0.3) × 108 0.775 – 0.900 (1.4 ± 0.3) × 108 31.4 00..668000 –– 00..767850 ((12..81 ±± 00..45)) ×× 110088 0.540 – 0.600 (3.7 ± 0.8) × 108 31.26.6 6.4 6.2 6.0 5.8 5.6 5.4 5.2 0.500 – 0.540 (3.7 ± 1.0) × 108 Right ascension / degrees 0.400 – 0.500 (3.3 ± 0.6) × 108 0.300 – 0.400 (6.2 ± 0.9) × 108 Figure 6. Positions of sources in the ‘ﬁrst half’ (red ‘×’) and ‘second half’ 0.250 – 0.300 (9.9 ± 1.7) × 108 (blue ‘+’) catalogues in the AMI001 ﬁeld when the two halves are imaged 0.200 – 0.250 (1.2 ± 0.2) × 109 separately. 0.100 – 0.200 (2.2 0.3) 109  (cid:16) (cid:17) Table 4. Source counts in the AMI001 ﬁeld.  ≡ dN ≈  24 (cid:16)S −(cid:17)2.27 Jy−1sr−1 for 2.8 ≤ S ≤ 25 mJy, B5irn.5anﬂ0g0uex–/d9me.n0Js0yi0ty (9.3/ J±±dyN4−.1/7ds)Sr××−1105 n(S) dS 376JyJSy −1.80 Jy−1sr−1 for 0.5 ≤ S < 2.8 mJy.(6) 2.900 – 5.500 (6.7 ± 1.5) × 106 2.050 – 2.900 (2.0 ± 0.4) × 107 Higher ﬂux density bins are not included as the ﬁelds were 1.500 – 2.050 (3.6 ± 0.8) × 107 chosen to lie away from bright sources. The points are plotted at 1.250 – 1.500 (6.7 ± 1.5) × 107 the ‘centre of gravity’ of each ﬂux density bin (the average of the 1.000 – 1.250 (8.3 ± 1.7) × 107 diﬀerence between each√ﬂux density and one edge of the bin). The 0.900 – 1.000 (1.3 ± 0.3) × 108 error bars plotted are N Poisson errors. The new counts are in 0.775 – 0.900 (1.2 ± 0.3) × 108 good agreement with the 10C count where they overlap, and ex- 0.680 – 0.775 (1.8 ± 0.5) × 108 tend the source count by a factor of ﬁve fainter in ﬂux density. 00..650400 –– 00..668000 ((22..37 ±± 00..68)) ×× 110088 The counts from the two ﬁelds agree within the Poisson errors. The 0.500 – 0.540 (4.3 ± 1.3) × 108 brightest ﬂux density bins in the two ﬁelds appear to under-predict 0.400 – 0.500 (4.2 ± 0.8) × 108 the 10C ﬁt, this is probably due to the small number of sources in 0.300 – 0.400 (5.9 ± 1.0) × 108 these bins, with four sources in the AMI001 ﬁeld bin and six in the 0.250 – 0.300 (9.1 ± 1.9) × 108 Lockman Hole ﬁeld bin. The full 10C survey, which covers a much 0.200 – 0.250 (1.7 ± 0.3) × 109 larger area, provides a more accurate measure of the source counts 0.100 – 0.200 (2.5 0.4) 109 at ﬂux densities greater than 0.5 mJy. In the faintest bin plotted for the AMI001 ﬁeld (0.08 < S15.7 GHz/mJy < 0.10) the completeness Table 5. Source counts in the Lockman Hole ﬁeld. correction is not well deﬁned, and due to the poor statistics in this bin it is omitted from Table 4 and later discussion. 5.2 Sample variance Bin ﬂux density dN/dS range / mJy / Jy−1 sr−1 Heywood et al. (2013) investigated the eﬀects on deep source ± × 2.900 – 5.500 (3.7 ± 1.5) × 106 counts at 1.4 GHz of sample variance induced by source clustering 2.050 – 2.900 (2.3 ± 0.6) × 107 by extracting a series of independent samples from the S3 catalogue 1.500 – 2.050 (2.4 ± 0.8) × 107 and comparing to observations. They used this to present a method 1.250 – 1.500 (3.4 ± 1.5) × 107 for estimating the uncertainty in the source count caused by sample 1.000 – 1.250 (9.7 ± 2.6) × 107 variance for an arbitrary radio survey. In the AMI001 ﬁeld there is 0.900 – 1.000 (7.1 ± 3.5) × 107 0.23 deg2 with rms noise < 20 µJy and 0.42 deg2 with rms noise 0.775 – 0.900 (1.9 ± 0.5) × 108 < 25 µJy, as shown in the contour plot in Fig. 10. It should therefore 0000....653280000000 –––– 0000....765378005000 ((((1346....8234 ±±±± 0012....6710)))) ×××× 111100008888 bos≈uefr0vp.eo2ys3sliidbmelegit2ta;onrddeeaatdreeicnatggaiovsﬀeosuFaricnge.uw2nciitenhrtHSaie1n5yt.7wyGodHouzde>teot0ca.o1ls.mm(2iJ0cy1v3ian)rifaaonnrcaetrheoiasf 0.120 – 0.200 (1.9 0.7) 109 14 per cent. At higher ﬂux densities, this uncertainty decreases as the area over which a source could be detected (the eﬀective survey area) increases. For example, for a survey limit of 0.125 mJy (equivalent to an rms noise of 25 µJy) and an area of 0.42 deg2 the MNRAS in press, 1–11 (2015) seerged / noitanilceD ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

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text: 7 Table 2. Scenario 1 : Exponential potential and exponential coupling function. Eigenvalues of the linearised matrix for the critical points ASODE (23) and corresponding values of dimension of Stable manifold and deceleration parameters. Critical point λ λ λ λ Stable manifold q 1 2 3 4 C 0 3 3 0 No stable manifold 2 1 − − C 3 3 3 0 2D 1 2 2 2 2 ± − C 3 3 6 0 1D 2 3 − − C 3 3 0 0 2D -1 4 − − C 3 3 0 0 2D -1 5 C 0 3 3 0 No stable manifold 2 6 − − C 3 3 3 0 2D 1 7 2 2 2 1. Critical points and their properties for Scenario 1: The critical points of the above ASODE (23) and the eigenvalues of the corresponding Jacobian matrix are listed in Table 1 and Table 2 respectively. Here we see that all the critical points are non hyperbolic in nature. So linear stability theory cannot be used to study the stability of the system. But using centre manifold theorem we can ﬁnd dimension of stable manifold in this case [blue37]. It may be noted that the ﬁve dimensional eﬀects (cid:54) are presented when z = 1 so C , C and C only reﬂects the brane eﬀects. 1 5 6 We note that the point C = (0, 0, 0, 0) is a critical point of the ASODE (23). But at this point the ﬁrst 1 two equations of ASODE (23) are undeﬁned. To study the nature of the critical point C , we can apply a 1 secure approach as reported in [blue14] and expand ASODE (23) in the neighbourhood of C = (0, 0, 0, 0) by → → → → 1 putting x 0 + (cid:15) , y 0 + (cid:15) , z 0 + (cid:15) and s 0 + (cid:15) in the above ASODE (23). If we neglect x y z s (cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48) higher order terms, then the ASODE (23) reduces to following system (cid:15) = 0 , (cid:15) = 3(cid:15) , (cid:15) = 3(cid:15) and (cid:15) = 0. x y y z z s So, the point C is non hyperbolic critical point. We can only say in this case is that the point (0, 0, 0, 0) is 1 unstable as perturbations will grow exponentially. So this critical point will behave as past time attractor and is characterised by vanishing matter content and we have empty (Misner-RS) universe. In braneworld, existence of empty universe is a distinctive feature. Furthermore, we have a decelerating solution with (q = 2) (limiting case) at this point. The behaviour of C is same as C and C is not interesting from physical point of view. 6 1 3 In what follows we summarise the remaining critical points of scenario 1 and their properties. • As seen from Tables 1 and 2, the saddle critical points C and C indicate that universe is completely 2 7 dominated by dark matter (Ω = 1) and expansion of the universe around these points is decelerated m (q = 1) having 2D stable manifolds. These points are saddle in nature. 2 • At the critical point C , we see that the universe is completely dominated by the scalar ﬁeld, at this point 4 − expansion of the universe is accelerated (q = 1) having two negative eigenvalues and two zero eigenvalues. Since this point is non-hyperbolic, we numerically perturbed the solutions near this critical point and check the stability. To this end we plot the projections of perturbations on x, y, z and s axes separately in FIG.(1) to FIG.(4). From FIG.(1) and FIG.(4) we see that the projection of perturbations solutions asymptotically approach x = 0 and s = 0 respectively as U approaches to inﬁnity. Similarly, from FIG.(2) and FIG.(3), y and z approach to 1 as U approaches to inﬁnity, so that the whole system asymptotically approach the critical point C = (0, 1, 1, 0) as U approaches to inﬁnity. From this perturbation plots we can conclude 4 that the point C = (0, 1, 1, 0) is a stable critical point of the ASODE (23). 4 √ • For the critical point C , we have (x, y, z, s) = (0, z, z, 0). This implies z = y2 (x = 0 , s = 0), so that (cid:16) (cid:17) 5 this point is a curves of critical points. If we compare C and C , we see that C is a particular case of 4 5 4 C . At this point ρ = 0 and ρ = V , so that the above Eq.(5) reduces to 5 m T 3H2 = V 1+ V . It represents the slow-roll Friedmann equation where the Hubble parameter is related 2λ ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: Table

text: Scenario

text: Exponential

text: potential

text: and

text: exponential

text: coupling

text: function.

text: Eigenvalues

text: of

text: the

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text: for

text: the

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text: points

text: ASODE

text: and

text: corresponding

text: values

text: of

text: dimension

text: of

text: Stable

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text: and

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text: parameters.

text: Critical

text: point

text: λ

text: λ

text: λ

text: λ

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text: manifold

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text: C

text: No

text: stable

text: manifold

text: C

text: C

text: C

text: C

text: C

text: No

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text: manifold

text: C

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text: points

text: and

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text: properties

text: for

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text: The

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text: of

text: the

text: above

text: ASODE

text: and

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text: of

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text: corresponding

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text: are

text: listed

text: in

text: Table

text: and

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text: respectively.

text: Here

text: we

text: see

text: that

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text: points

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text: in

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text: So

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text: theory

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text: be

text: used

text: to

text: study

text: the

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text: of

text: the

text: system.

text: But

text: using

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text: we

text: can

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text: dimension

text: of

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text: manifold

text: in

text: this

text: case

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text: may

text: be

text: noted

text: that

text: the

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text: dimensional

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text: are

text: presented

text: when

text: z

text: so

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text: C

text: and

text: C

text: only

text: reﬂects

text: the

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text: eﬀects.

text: We

text: note

text: that

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text: point

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text: point

text: of

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text: But

text: at

text: this

text: point

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text: ﬁrst

text: two

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text: of

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text: are

text: undeﬁned.

text: To

text: study

text: the

text: nature

text: of

text: the

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text: point

text: C

text: we

text: can

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text: a

text: secure

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text: reported

text: in

text: and

text: expand

text: ASODE

text: in

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text: of

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text: by

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text: x

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text: and

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text: in

text: the

text: above

text: ASODE

text: If

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text: x

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text: the

text: ASODE

text: reduces

text: to

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text: system

text: and

text: x

text: y

text: y

text: z

text: z

text: s

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text: the

text: point

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text: is

text: non

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text: critical

text: point.

text: We

text: can

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text: in

text: this

text: case

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text: that

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text: point

text: is

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text: as

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text: will

text: grow

text: exponentially.

text: So

text: this

text: critical

text: point

text: will

text: behave

text: as

text: past

text: time

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text: and

text: is

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text: by

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text: matter

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text: and

text: we

text: have

text: empty

text: (Misner-RS)

text: universe.

text: In

text: braneworld,

text: existence

text: of

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text: universe

text: is

text: a

text: distinctive

text: feature.

text: Furthermore,

text: we

text: have

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text: solution

text: with

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text: (limiting

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text: at

text: this

text: point.

text: The

text: behaviour

text: of

text: C

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text: same

text: as

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text: and

text: C

text: is

text: not

text: interesting

text: from

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text: point

text: of

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text: In

text: what

text: follows

text: we

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text: the

text: remaining

text: critical

text: points

text: of

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text: and

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text: properties.

text: As

text: seen

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text: and

text: the

text: saddle

text: critical

text: points

text: C

text: and

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text: indicate

text: that

text: universe

text: is

text: completely

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text: by

text: dark

text: matter

text: (Ω

text: and

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text: of

text: the

text: universe

text: around

text: these

text: points

text: is

text: decelerated

text: m

text: (q

text: having

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text: manifolds.

text: These

text: points

text: are

text: saddle

text: in

text: nature.

text: At

text: the

text: critical

text: point

text: C

text: we

text: see

text: that

text: the

text: universe

text: is

text: completely

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text: by

text: the

text: scalar

text: ﬁeld,

text: at

text: this

text: point

text: expansion

text: of

text: the

text: universe

text: is

text: accelerated

text: (q

text: having

text: two

text: negative

text: eigenvalues

text: and

text: two

text: zero

text: eigenvalues.

text: Since

text: this

text: point

text: is

text: non-hyperbolic,

text: we

text: numerically

text: perturbed

text: the

text: solutions

text: near

text: this

text: critical

text: point

text: and

text: check

text: the

text: stability.

text: To

text: this

text: end

text: we

text: plot

text: the

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text: of

text: perturbations

text: on

text: x,

text: y,

text: z

text: and

text: s

text: axes

text: separately

text: in

text: to

text: From

text: and

text: we

text: see

text: that

text: the

text: projection

text: of

text: perturbations

text: solutions

text: asymptotically

text: approach

text: x

text: and

text: s

text: respectively

text: as

text: U

text: approaches

text: to

text: inﬁnity.

text: Similarly,

text: from

text: and

text: y

text: and

text: z

text: approach

text: to

text: as

text: U

text: approaches

text: to

text: inﬁnity,

text: so

text: that

text: the

text: whole

text: system

text: asymptotically

text: approach

text: the

text: critical

text: point

text: C

text: as

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text: approaches

text: to

text: inﬁnity.

text: From

text: this

text: perturbation

text: plots

text: we

text: can

text: conclude

text: that

text: the

text: point

text: C

text: is

text: a

text: stable

text: critical

text: point

text: of

text: the

text: ASODE

text: For

text: the

text: critical

text: point

text: C

text: we

text: have

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text: y,

text: z,

text: s)

text: z,

text: z,

text: This

text: implies

text: z

text: (x

text: s

text: so

text: that

text: this

text: point

text: is

text: a

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text: of

text: critical

text: points.

text: If

text: we

text: compare

text: C

text: and

text: C

text: we

text: see

text: that

text: C

text: is

text: a

text: particular

text: case

text: of

text: C

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text: this

text: point

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text: and

text: ρ

text: V

text: so

text: that

text: the

text: above

text: reduces

text: to

text: m

text: T

text: V

text: V

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text: represents

text: the

text: slow-roll

text: Friedmann

text: equation

text: where

text: the

text: Hubble

text: parameter

text: is

text: related

text: 2λ

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: 8 (cid:113) to the potential of the inﬂation ﬁeld having 2D stable manifolds. When potential is much larger than ⇒ the brane tension V >> λ H = √V , so that at early time expansion rate H get enhanced with RS RS 6λ respect to the HGR ( GR rate of expansion) in the RS2 model and we have HHGRRS = 2Vλ. Thus in this way brane eﬀects fuel early inﬂation in RS2 model. FIG.(5) shows that the nature of curves of critical points of C 5 FIG. 1: The plot of X against U for Scenario 1 near the critical point C 4 . FIG. 2: The plot of Y against U for Scenario 1 near the critical point C 4 . B. Scenario 2 : Exponential potential and power law coupling parameter ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

label: list

text: to

text: the

text: potential

text: of

text: the

text: inﬂation

text: ﬁeld

text: having

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text: When

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text: is

text: much

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text: than

text: the

text: brane

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text: λ

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text: √V

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text: at

text: early

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text: expansion

text: rate

text: H

text: get

text: enhanced

text: with

text: RS

text: RS

text: 6λ

text: respect

text: to

text: the

text: HGR

text: GR

text: rate

text: of

text: expansion)

text: in

text: the

text: model

text: and

text: we

text: have

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text: Thus

text: in

text: this

text: way

text: brane

text: eﬀects

text: fuel

text: early

text: inﬂation

text: in

text: model.

text: shows

text: that

text: the

text: nature

text: of

text: curves

text: of

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text: points

text: of

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text: FIG.

text: The

text: plot

text: of

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text: against

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text: for

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text: near

text: the

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text: C

text: FIG.

text: The

text: plot

text: of

text: Y

text: against

text: U

text: for

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text: near

text: the

text: critical

text: point

text: C

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text: Scenario

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text: and

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text: law

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text: parameter

text: ##LTFigure##

text: ##LTFigure##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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