text: ]zH[ dˆf ESMR ]zH[ dˆf ESMR ]zH[ dˆf ESMR ]zH[ dˆf ESMR ]zH[ dˆf ESMR ]sn[ φˆ ESMR ]sn[ ˆφ ESMR ]sn[ φˆ ESMR ]sn[ φˆ ESMR ]mc[ ˆρ ESMR ]mc[ ˆρ ESMR ]mc[ ˆρ ESMR ]mc[ ˆρ ESMR ULS PCP WLS 5 104 10 102 102 102 0 101 10 101 100 100 −5 10 0 5 10 15 20 25 30 10−2 10−1 SNR [dB] 100 0 10 20 30 0 10 c 20 30 0 10 20 30 SNRc [dB] SNRc [dB] SNRc [dB] (a) (b) (c) 104 102 102 102 101 101 100 100 10−2 10−1 100 10 20 30 40 10 20 30 40 10 20 30 40 SNRj [dB] SNRj [dB] SNRj [dB] (d) (e) (f) 102 101 102 100 101 100 10−2 100 10−4 10−1 101 102 103 101 102 103 101 102 103 number of samples N number of samples N number of samples N (g) (h) (i) 105 102 102 104 103 102 100 100 101 100 10−2 10−1 100 10−2 10−1 100 10−2 10−1 100 fraction of outliers fraction of outliers fraction of outliers (j) (k) (l) Fig. 6. Simulation results, averaged over 1000 Monte Carlo iterations. (a)-(c) varying SNRc, with SNRj = 40dB. (d)-(f) varying SNRj, with SNRc = 30dB. (g)-(i) varying the number of samples N, with SNRj = SNRc = 40dB. (j)-(l) in the presence of outliers, varying the fraction of randomly-inserted outliers, with SNRj = SNRc = 40dB. ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: 2 ALAN CAREY, HARALD GROSSE, AND JENS KAAD 8. Second approximation of the homological index 25 9. Integration over the ﬂow parameter 27 10. The integral trace formula for the homological index 31 Appendix A. Holomorphic families of pseudodiﬀerential operators 33 Appendix B. Trace norm holomorphy 37 Appendix C. Factorization of operator traces 40 References 41 1. Introduction The issue of the relationship between spectral ﬂow and the Fredholm index was ﬁrst raised in [APS76] and settled in the most deﬁnitive fashion for certain fam- ilies of selfadjoint unbounded operators with compact resolvent in [RoSa95]. For diﬀerential operators on noncompact manifolds it is typically the case that they possess some essential spectrum. An extension of the result of [RoSa95] to this situation and its relationship to scattering theory was initiated in [GLM+11] fol- lowing [Pus08]. However the key assumption in [GLM+11] is that they consider spectral ﬂow between selfadjoint operators that diﬀer by a relatively trace class per- turbation. This latter assumption is violated in general for diﬀerential operators (although not for pseudodiﬀerential operators). Indeed, there is comparatively little work available in the way of index formulas for operators with essential spectrum except for [BGG+87], [BMS88] and previous work by the authors and their collab- orators. This history is referenced in [CGP+13] which also contains results on an index theory for certain non-Fredholm operators using the model operator formalism of [GLM+11]. More generally, the model operators of [RoSa95] provide prototypes for various applications such as those arising in connection with the Maslov index, Morse the- ory, Floer homology, Sturm oscillation theory, etc. The principle aim in [Pus08] and [GLM+11] was to extend the results in [RoSa95] (albeit subject to a relatively trace class perturbation condition), in a fashion permitting essential spectra. This work has motivated the current investigation where we provide evidence that the relationship between the Fredholm index and spectral ﬂow is a special case of an operator trace identity that holds without any Fredholm assumptions. The fun- damental trace formula of [GLM+11] ﬁts into the general form of the identity we prove here. The prototype of our formula also appears implicitly in [BCP+06] where it is proved in the context of an L2 index theorem for covering spaces. To simplify the discussion and to explain the formula we now describe only the special case of [BCP+06] that applies to compact manifolds. We use the notation of [BCP+06] as the setting diﬀers from that considered in this current paper. Assume that we have an odd dimensional closed manifold M. The analysis of spectral ﬂow of a path of Dirac-type operators on sections of × × bundles over M traditionally proceeds by replacing M by M S1 or M [0, 1] and considering the Dirac operator on this even dimensional manifold.

label: paragraph

text: ALAN

text: CAREY,

text: HARALD

text: GROSSE,

text: AND

text: JENS

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text: Second

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text: of

text: the

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text: index

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text: over

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text: parameter

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text: for

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text: homological

text: index

text: Appendix

text: A.

text: Holomorphic

text: families

text: of

text: pseudodiﬀerential

text: operators

text: Appendix

text: B.

text: Trace

text: norm

text: holomorphy

text: Appendix

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text: Factorization

text: of

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label: section

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text: issue

text: of

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text: between

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text: and

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text: Fredholm

text: index

text: was

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text: in

text: and

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text: the

text: most

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text: fashion

text: for

text: certain

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text: ilies

text: of

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text: unbounded

text: operators

text: with

text: compact

text: resolvent

text: in

text: For

text: diﬀerential

text: operators

text: on

text: noncompact

text: manifolds

text: it

text: is

text: typically

text: the

text: case

text: that

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text: of

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text: of

text: to

text: this

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text: and

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text: relationship

text: to

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text: was

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text: lowing

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text: that

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text: ﬂow

text: between

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text: by

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text: is

text: violated

text: in

text: general

text: for

text: diﬀerential

text: operators

text: (although

text: not

text: for

text: pseudodiﬀerential

text: operators).

text: Indeed,

text: there

text: is

text: comparatively

text: little

text: work

text: available

text: in

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text: of

text: index

text: formulas

text: for

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text: with

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text: and

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text: by

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text: and

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text: This

text: history

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text: in

text: which

text: also

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text: results

text: on

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text: index

text: theory

text: for

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text: operators

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text: of

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text: generally,

text: the

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text: of

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text: for

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text: applications

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text: as

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text: in

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text: with

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text: Maslov

text: index,

text: Morse

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text: etc.

text: The

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text: in

text: and

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text: to

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text: subject

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text: class

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text: in

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text: This

text: work

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text: where

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text: provide

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text: that

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text: Fredholm

text: index

text: and

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text: is

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text: case

text: of

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text: without

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text: Fredholm

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text: of

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text: into

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text: we

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text: here.

text: The

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text: of

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text: formula

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text: is

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text: for

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text: To

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text: the

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text: and

text: to

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text: the

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text: now

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text: only

text: the

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text: case

text: of

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text: to

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text: use

text: the

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text: of

text: as

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text: setting

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text: from

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text: in

text: this

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text: paper.

text: Assume

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text: have

text: an

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text: analysis

text: of

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text: of

text: a

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text: of

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text: traditionally

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text: by

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text: M

text: by

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text: or

text: M

text: and

text: considering

text: the

text: Dirac

text: operator

text: on

text: this

text: even

text: dimensional

text: manifold.


text: ON A SPECTRAL FLOW FORMULA FOR THE HOMOLOGICAL INDEX 3 The argument in [BCP+06] uses an adiabatic limiting process, which leads to the formula for the leading term in the expansion of the (diﬀerence of) heat kernels. In this paper we also use an analogous adiabatic limiting process to establish our main result. ∞ → ∞ Let B : C (M; S) C (M; S) denote a Dirac-type operator acting on sections of a bundle of Cliﬀord modules S over a closed, odd-dimensional manifold M as in [BBWo93]. Introduce an auxiliary hermitian vector bundle E with hermitian ∇ ⊗ → connection , and the operator B = B ∇ Id . Let g : E E denote a unitary 0 E bundle automorphism, then we can introduce the operator − ⊗ ⊗ ⊗ − B = gB g 1 = (Id g)(B ∇ Id )(Id g 1) 1 0 E − − The diﬀerence C = B B = [g, B]g 1 is a bundle endomorphism and we want to 1 0 present a formula for the spectral ﬂow along a path joining B and B . 0 1 Spectral ﬂow is a homotopy invariant and the space of bounded perturbations of B is aﬃne. So in this example we may restrict ourselves to the study of the spectral 0 ﬂow of a smooth family of selfadjoin(cid:40)t operators parametrised by S1. We introduce R → R a smooth cut-oﬀ function α : , such that ≤ 0 if s 1/4 (cid:12) (cid:12) α(s) = ≤ (cid:12) (cid:12) 1 if 3/4 s (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ · We also assume that there exists a positive constant c, such that dkα c s for dsk ≤ ≤ 0 s 1 , k = 0, 1, 2. Now we consider the family { } B = B + α(s)C (1.1) s 0 which in an obvious way provides us with a family of operators on S1. We may D × also consider the corresponding operator = ∂ +B on the closed manifold S1 M s sD where B is given by the formula (1.1). The operator acts on sections of the bundle × s ⊗ [0, 1] S E/∼, where the identiﬁcation is given by = ∼ ∈ ⊗ (1, y; g(y)w) = (0, y; w) where w S E y y → By rescaling the variable s s/δ in the part of the Schwartz kernel for the heat → operators that arises from ∂ and taking the (adiabatic) limit δ 0, [BCP+06] s establishes that the following formula holds, (cid:114) (cid:90) D − D∗D − − DD∗ { } (cid:15) 1 − index = TrM×S1(e (cid:15) e (cid:15) ) = sf Bs = π TrM(B˙ se (cid:15)Bs2) ds (1.2) 0 where as usual B˙ = dB . (cid:82) s ds As we remarked above the equality index=spectral ﬂow in (1.2) goes back to the { } original Atiyah-Patodi-Singer paper(cid:114)[AP(cid:90)S76]. They also proved a formula sf Bs = 1 η ds, where η denotes the η-invariant of the operator B . The equality 0 s s s { } (cid:15) 1 − sf B = Tr B˙ e (cid:15)Bs2 ds s M s π 0 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: ON

text: A

text: SPECTRAL

text: FLOW

text: FORMULA

text: FOR

text: THE

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text: in

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text: which

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text: to

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text: in

text: the

text: expansion

text: of

text: the

text: (diﬀerence

text: of)

text: heat

text: kernels.

text: In

text: this

text: paper

text: we

text: also

text: use

text: an

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text: main

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text: Let

text: B

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text: S)

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text: denote

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text: of

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text: bundle

text: of

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text: modules

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text: over

text: a

text: closed,

text: odd-dimensional

text: manifold

text: M

text: as

text: in

text: Introduce

text: an

text: auxiliary

text: hermitian

text: vector

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text: with

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text: and

text: the

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text: B

text: B

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text: E

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text: denote

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text: bundle

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text: then

text: we

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text: introduce

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text: B

text: gB

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text: diﬀerence

text: C

text: B

text: B

text: [g,

text: B]g

text: is

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text: and

text: we

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text: to

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text: for

text: the

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text: along

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text: B

text: and

text: B

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text: is

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text: and

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text: of

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text: of

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text: is

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text: So

text: in

text: this

text: example

text: we

text: may

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text: ourselves

text: to

text: the

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text: of

text: the

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text: of

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text: of

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text: by

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text: introduce

text: R

text: R

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text: cut-oﬀ

text: function

text: α

text: such

text: that

text: if

text: s

text: α(s)

text: if

text: s

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text: also

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text: there

text: exists

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text: s

text: for

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text: s

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text: we

text: consider

text: the

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text: B

text: B

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text: s

text: which

text: in

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text: way

text: provides

text: us

text: with

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text: of

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text: on

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text: may

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text: the

text: corresponding

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text: on

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text: M

text: s

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text: where

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text: given

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text: The

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text: of

text: the

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text: s

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text: where

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text: is

text: given

text: by

text: y;

text: g(y)w)

text: y;

text: w)

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text: y

text: y

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text: the

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text: s

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text: in

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text: of

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text: for

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text: from

text: and

text: taking

text: the

text: (adiabatic)

text: limit

text: δ

text: s

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text: that

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text: formula

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text: D

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text: index

text: e

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text: se

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text: where

text: as

text: usual

text: B˙

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text: we

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text: above

text: the

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text: in

text: goes

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text: to

text: the

text: original

text: Atiyah-Patodi-Singer

text: They

text: also

text: proved

text: a

text: formula

text: sf

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text: η

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text: where

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text: the

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text: of

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text: B

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text: s

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text: s

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text: B

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text: M

text: s

text: π

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

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text: ON A SPECTRAL FLOW FORMULA FOR THE HOMOLOGICAL INDEX 23 It is now our intention to estimate the size of the right-hand side of the identity in Lemma 7.3. We therefore analyze the general size of the pseudodiﬀerential op- erators appearing in Deﬁnition 7.2. Recall the introduction of the automorphism → σ : OP0(∆/ ) OP0(∆/ ) after Theorem 5.1. ∈ N ∈ N ∈ Lemma 7.4. Let m , j , and let y , . . . , y OP2(∆/ ) be given. Then we 0 1 j have the norm (cid:18)estimat(cid:19)e (cid:16) (cid:107) (cid:104) (cid:105)(cid:107) (∆/ + 1)m+1 y , . . . , y 1 j ≤ j + m · (cid:107) − (cid:107) (cid:17) sup σi1((∆/ + λ ) 1y ) j ∈N ≤ ≤ ≤ ≤ 0 1 I j ,1 ij ... i1 m+1 · · (cid:107) − (cid:107) . . . σij((∆/ + λ ) 1y ) 0 j − (cid:107) (cid:107) ≤ Proof. Deﬁne the bounded operator F := (∆/ +1)(∆/ +λ ) 1 and notice that F 1 ≥ 0 since λ 1 by deﬁnition. 0 ∈ ∞ Let ξ H . (cid:88)We may compute as follows: (cid:104) (cid:105) (∆/ + 1)m+1 y , . . . , y (ξ) 1 j − · − = ( 1)j (∆/ + 1)m+1(∆/ + λ ) m1y 0 1 M∈Nj+1,(cid:88)|M|=m+j+1 · · − · − . . . (∆/ + λ ) mjy (∆/ + λ ) mj+1(ξ) 0 j 0 − · − − − = ( 1)j F m1 1σm+2 m1((∆/ + λ ) 1y ) 0 1 ∈N | | M j+1, M =m+j+1 · · − − − − − . . . F mj 1σm+j+1 m1 ... mj((∆/ + λ ) 1y ) 0 j · F mj+1(ξ) We can thus (cid:88)estimate the operator norm in the following way: (cid:107) (cid:104) (cid:105)(cid:107) (∆/ + 1)m+1 y , . . . , y 1 j ≤ (cid:107) − − (cid:107) σm+2 m1((∆/ + λ ) 1y ) 0 1 M∈Nj+1,(cid:88)|M|=m+j+1 (cid:16) · · (cid:107) − − − − (cid:107) . . . σm+j+1 m1 ... mj((∆/ + λ ) 1y ) 0 j ≤ (cid:107) − (cid:107) (cid:17) sup σi1((∆/ + λ ) 1y ) M∈Nj+1,|M|=m+j+1 I∈Nj,1≤ij≤...≤i1≤m+1 0 1 (cid:18) (cid:19) · · (cid:107) − (cid:107) . . . σij((∆/ + λ ) 1y ) 0 j j + m (cid:107) − (cid:107) · · (cid:107) − (cid:107) = sup σi1((∆/ + λ ) 1y ) . . . σij((∆/ + λ ) 1y ) j ∈N ≤ ≤ ≤ ≤ 0 1 0 j I j,1 ij ... i1 m+1 (cid:3) This proves the lemma. (cid:13) (cid:0) (cid:1)(cid:13) ∈ (cid:13) (cid:13) For each ε (0, 1], we deﬁne − Θ(ε) := sup σi (∆/ + 1) 1[∆/ , h ] ∈{ } ε i 1,...,m+1

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text: N

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text: y

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text: y

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text: j

text: j

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text: sup

text: λ

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text: I

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text: Deﬁne

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text: F

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text: Let

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text: y

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text: ∈N

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text: mj

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text: y

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text: j

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text: sup

text: λ

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text: sup

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text: λ

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text: j

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text: Θ(ε)

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