text: tial realization for the deformation of the free Schr¨odinger equation at (cid:96) = 3 and the diﬀerential 2 realization for the coupled oscillator. The(cid:99)connection of the two diﬀerential realizations obtained by similarity transformations and change of the time coordinate is shown in Section 3. In Sec- tion 4 the most general solution of the cga -invariant oscillator is given. The symmetry of the 3 2 decoupled oscillator (with enhanced critical points at ω = 1 and ω = 3) is presented in Section → 2 2 5. The (cid:96) = 3 contraction algebra in the γ 0 limit is given in Section 6. The Hilbert space 2 for the oscillators and the relation with PT-symmetry is discussed in Section 7. In Section 8 (cid:99) the extension to the (cid:96) > 3 cases and the relation to Pais-Uhlenbeck oscillators are commented. 2 Generalizations of the present construction are discussed in the Conclusions. 2 Diﬀerential realizations of the Conformal Galilei Algebra cga (cid:99) 3 2 The d = 1 (cid:96) = 3 centrally extended Conformal Galilei algebra cga consists of eight genera- 2 3 2 tors (z , z±, w± , w± , c), obeying the following non-vanishing commutation relations 0 1 3 ± [z , z±] = 2iz±, 0 − [z , z−] = 4iz , + 0 [z , w ] = ikw , 0 k k ∓ [z±, w ] = i(k 3)w ± , k k 2 − | | [w| |, w−| |] = (3 2 k )16c. (1) k k We introduce in this Section two diﬀerential realizations of the above algebra. As it will be explained in the following, the ﬁrst diﬀerential realization corresponds to a symmetry of a deformed free Schr¨odinger equation in 1 + 1 dimensions, while the second diﬀerential realization corresponds to a symmetry of another system (possessing the same spectrum as two decoupled oscillators). (cid:54) The ﬁrst diﬀerential realization is a one-parameter (γ = 0) extension of the diﬀerential realization obtained in [1] via standard left action on the space of functions deﬁned on the coset (see also [13]). The presence of γ can be understood by the fact that the combined rescalings of the space and time coordinates which preserve the conformal Galilei algebra structure lead to just one free parameter. In this case we obtain ﬁrst-order diﬀerential operators acting on functions of τ, x, y. They are given by z = ∂ , + τ − − − − z = 2iτ∂ ix∂ 3iy∂ 2i, 0 τ x y − − − 3 − − − z− = 4τ2∂ 4(τx y)∂ 12τy∂ 8(τ ix2), τ x y γ w = ∂ , +3 y − 2i w = 2iτ∂ + ∂ , +1 y x γ − 8 − 8i w− = 4τ2∂ + τ∂ x, 1 y x γ γ − 24i − 1 1 w− = 8iτ3∂ τ2∂ 48( τx + y), 3 y γ x γ γ2 1 c = . (2) γ2 The second diﬀerential realization is the γ extension of the diﬀerential realization presented in 3 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: tial

text: realization

text: for

text: the

text: deformation

text: of

text: the

text: free

text: Schr¨odinger

text: equation

text: at

text: and

text: the

text: diﬀerential

text: realization

text: for

text: the

text: coupled

text: oscillator.

text: of

text: the

text: two

text: diﬀerential

text: realizations

text: obtained

text: by

text: similarity

text: transformations

text: and

text: change

text: of

text: the

text: time

text: coordinate

text: is

text: shown

text: in

text: Section

text: In

text: Sec-

text: tion

text: the

text: most

text: general

text: solution

text: of

text: the

text: cga

text: -invariant

text: oscillator

text: is

text: given.

text: The

text: symmetry

text: of

text: the

text: decoupled

text: oscillator

text: (with

text: enhanced

text: critical

text: points

text: at

text: ω

text: and

text: ω

text: is

text: presented

text: in

text: Section

text: The

text: contraction

text: algebra

text: in

text: the

text: γ

text: limit

text: is

text: given

text: in

text: Section

text: The

text: Hilbert

text: space

text: for

text: the

text: oscillators

text: and

text: the

text: relation

text: with

text: PT-symmetry

text: is

text: discussed

text: in

text: Section

text: In

text: Section

text: the

text: extension

text: to

text: the

text: cases

text: and

text: the

text: relation

text: to

text: Pais-Uhlenbeck

text: oscillators

text: are

text: commented.

text: Generalizations

text: of

text: the

text: present

text: construction

text: are

text: discussed

text: in

text: the

text: Conclusions.

text: Diﬀerential

text: realizations

text: of

text: the

text: Conformal

text: Galilei

text: Algebra

text: cga

text: The

text: d

text: centrally

text: extended

text: Conformal

text: Galilei

text: algebra

text: cga

text: consists

text: of

text: eight

text: genera-

text: tors

text: (z

text: z±,

text: w±

text: w±

text: c),

text: obeying

text: the

text: following

text: non-vanishing

text: commutation

text: relations

text: [z

text: z±]

text: [z

text: z−]

text: [z

text: w

text: ikw

text: k

text: k

text: [z±,

text: w

text: i(k

text: k

text: k

text: [w|

text: w−|

text: k

text: k

text: k

text: We

text: introduce

text: in

text: this

text: Section

text: two

text: diﬀerential

text: realizations

text: of

text: the

text: above

text: algebra.

text: As

text: it

text: will

text: be

text: explained

text: in

text: the

text: following,

text: the

text: ﬁrst

text: diﬀerential

text: realization

text: corresponds

text: to

text: a

text: symmetry

text: of

text: a

text: deformed

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text: Schr¨odinger

text: equation

text: in

text: dimensions,

text: while

text: the

text: second

text: diﬀerential

text: realization

text: corresponds

text: to

text: a

text: symmetry

text: of

text: another

text: system

text: (possessing

text: the

text: same

text: spectrum

text: as

text: two

text: decoupled

text: oscillators).

text: The

text: ﬁrst

text: diﬀerential

text: realization

text: is

text: a

text: one-parameter

text: (γ

text: extension

text: of

text: the

text: diﬀerential

text: realization

text: obtained

text: in

text: via

text: standard

text: left

text: action

text: on

text: the

text: space

text: of

text: functions

text: deﬁned

text: on

text: the

text: coset

text: (see

text: also

text: The

text: presence

text: of

text: γ

text: can

text: be

text: understood

text: by

text: the

text: fact

text: that

text: the

text: combined

text: rescalings

text: of

text: the

text: space

text: and

text: time

text: coordinates

text: which

text: preserve

text: the

text: conformal

text: Galilei

text: algebra

text: structure

text: lead

text: to

text: just

text: one

text: free

text: parameter.

text: In

text: this

text: case

text: we

text: obtain

text: ﬁrst-order

text: diﬀerential

text: operators

text: acting

text: on

text: functions

text: of

text: τ,

text: x,

text: y.

text: They

text: are

text: given

text: by

text: z

text: τ

text: z

text: 2iτ∂

text: ix∂

text: τ

text: x

text: y

text: z−

text: 4τ2∂

text: y)∂

text: τ

text: x

text: y

text: γ

text: w

text: y

text: w

text: 2iτ∂

text: y

text: x

text: γ

text: w−

text: 4τ2∂

text: τ∂

text: x,

text: y

text: x

text: γ

text: γ

text: w−

text: τ2∂

text: τx

text: y),

text: y

text: γ

text: x

text: γ

text: γ2

text: c

text: γ2

text: The

text: second

text: diﬀerential

text: realization

text: is

text: the

text: γ

text: extension

text: of

text: the

text: diﬀerential

text: realization

text: presented

text: in

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: ± The three invariant PDEs (at degree 0, 1) are mapped into each other. In the left part, the deformed Schr¨odinger invariant PDEs correspond to deg 1 and possess a continuous spectrum. In the right part the deformed Schr¨odinger invariant PDEs correspond to deg 0. They possess a real, discrete spectrum which, as shown in Section 7, coincides with the spectrum of two decoupled harmonic oscillators. We will call this system the (cid:96) = 3 oscillator. 2 The vertical arrows denote the mapping to the decoupled systems. This mapping can be reached in two ways: i) the singular similarity transformation (cid:55)→ − g R1gR1 1, with R1 = eαy∂y (24) → − → ∞ ∗ (such that γ e αγ) in the α limit. Despite the singularity of the limit, the invariant equations of the upper part of the diagram admits as non-singular limit the decoupled equations of the lower part of the diagram. This similarity transformation preserves the symmetry of the equations, mapping ﬁrst-order invariant operators into ﬁrst-order invariant operators; ii) the non-singular similarity transformation − g (cid:55)→ R2gR2−1, R2 = e(38iγx + 8i γ∂x 916γ2∂y)∂y. (25) This non-singular transformation does not preserve the symmetry of the equation because some of the transformed generators are no longer ﬁrst-order diﬀerential operators. The four Schr¨odinger equations associated with the commutative diagram, starting from the upper right corner and proceeding clockwise, are: (I) the (cid:96) = 3 oscillator (11), (II) the decoupled 2 (i.e. γ = 0) (cid:96) = 3 oscillator, (III) the free Schr¨odinger equation in 1 + 1 dimensions and, ﬁnally, 2 (IV) the deformed free Schr¨odinger equation (8). The three inequivalent (with constant, linear and quadratic potential, see [15, 14, 16, 17]) Schr¨odinger equations in 1+1 dimensions invariant under the Schr¨odinger algebra are recovered as restrictions of the (cid:96) = 3 invariant PDEs. Indeed, if we introduce the x, y separation of vari- 2 ables, the equation of the harmonic oscillator and the free Schr¨odinger equation are recovered ≡ by setting ∂ 0 from, respectively, equations (I) and (IV). The linear Schr¨odinger equa- y tion is recovered from equation (IV) after setting Ψ(τ, x, y) = ψ(τ, x)φ(y), with the restriction ∂ φ(y) = kφ(y). y 4 Th(cid:99)e general (cid:96) = 3 oscillator 2 (cid:54) The cga conformal Galilei invariance requires the coupling parameter γ = 0. Since a unitary 3 2 transformation changes its phase, we can assume without loss of generality that γ belongs to ∈ ∞ the fundamental domain γ ]0, + [. For γ real, the invariant PDEs in the left part of the commutative diagram (23) are hermitian. This is not the case for the invariant PDEs in the right part of the diagram. Under hermitian conjugation(cid:98), the (cid:96) = 3 oscillator equation is transformed into its conjugate 2 † ≡ 1 − 1 − 3 Ω (γ)Ψ(t, x, y) = 0 (i∂ + ∂2 x2 + 3y∂ iγx∂ + )Ψ(t, x, y). (26) 0 t 2 x 2 y y 2 ∗ For α real the transformation (24) is not unitary. The choice α = ln γ allows to set γ = 1. The free parameter ∈ ∞ γ ]0, + [ labels diﬀerent unitarily inequivalent theories with testable consequences. See, e.g., the probability decay to the vacuum state presented in (62). 7 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

label: paragraph

text: The

text: three

text: invariant

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text: degree

text: are

text: mapped

text: into

text: each

text: other.

text: In

text: the

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text: part,

text: the

text: deformed

text: Schr¨odinger

text: invariant

text: PDEs

text: correspond

text: to

text: deg

text: and

text: possess

text: a

text: continuous

text: spectrum.

text: In

text: the

text: right

text: part

text: the

text: deformed

text: Schr¨odinger

text: invariant

text: PDEs

text: correspond

text: to

text: deg

text: They

text: possess

text: a

text: real,

text: discrete

text: spectrum

text: which,

text: as

text: shown

text: in

text: Section

text: coincides

text: with

text: the

text: spectrum

text: of

text: two

text: decoupled

text: harmonic

text: oscillators.

text: We

text: will

text: call

text: this

text: system

text: the

text: oscillator.

text: The

text: vertical

text: arrows

text: denote

text: the

text: mapping

text: to

text: the

text: decoupled

text: systems.

text: This

text: mapping

text: can

text: be

text: reached

text: in

text: two

text: ways:

text: i)

text: the

text: singular

text: similarity

text: transformation

text: g

text: with

text: eαy∂y

text: (such

text: that

text: γ

text: e

text: αγ)

text: in

text: the

text: α

text: limit.

text: Despite

text: the

text: singularity

text: of

text: the

text: limit,

text: the

text: invariant

text: equations

text: of

text: the

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text: part

text: of

text: the

text: diagram

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text: as

text: non-singular

text: limit

text: the

text: decoupled

text: equations

text: of

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text: lower

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text: of

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text: diagram.

text: This

text: similarity

text: transformation

text: preserves

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text: of

text: the

text: equations,

text: mapping

text: ﬁrst-order

text: invariant

text: operators

text: into

text: ﬁrst-order

text: invariant

text: operators;

text: ii)

text: the

text: non-singular

text: similarity

text: transformation

text: g

text: γ∂x

text: This

text: non-singular

text: transformation

text: does

text: not

text: preserve

text: the

text: symmetry

text: of

text: the

text: equation

text: because

text: some

text: of

text: the

text: transformed

text: generators

text: are

text: no

text: longer

text: ﬁrst-order

text: diﬀerential

text: operators.

text: The

text: four

text: Schr¨odinger

text: equations

text: associated

text: with

text: the

text: commutative

text: diagram,

text: starting

text: from

text: the

text: upper

text: right

text: corner

text: and

text: proceeding

text: clockwise,

text: are:

text: (I)

text: the

text: oscillator

text: (II)

text: the

text: decoupled

text: (i.e.

text: γ

text: oscillator,

text: (III)

text: the

text: free

text: Schr¨odinger

text: equation

text: in

text: dimensions

text: and,

text: ﬁnally,

text: (IV)

text: the

text: deformed

text: free

text: Schr¨odinger

text: equation

text: The

text: three

text: inequivalent

text: (with

text: constant,

text: linear

text: and

text: quadratic

text: potential,

text: see

text: Schr¨odinger

text: equations

text: in

text: dimensions

text: invariant

text: under

text: the

text: Schr¨odinger

text: algebra

text: are

text: recovered

text: as

text: restrictions

text: of

text: the

text: invariant

text: PDEs.

text: Indeed,

text: if

text: we

text: introduce

text: the

text: x,

text: y

text: separation

text: of

text: vari-

text: ables,

text: the

text: equation

text: of

text: the

text: harmonic

text: oscillator

text: and

text: the

text: free

text: Schr¨odinger

text: equation

text: are

text: recovered

text: by

text: setting

text: from,

text: respectively,

text: equations

text: (I)

text: and

text: (IV).

text: The

text: linear

text: Schr¨odinger

text: equa-

text: y

text: tion

text: is

text: recovered

text: from

text: equation

text: (IV)

text: after

text: setting

text: Ψ(τ,

text: x,

text: y)

text: ψ(τ,

text: x)φ(y),

text: with

text: the

text: restriction

text: φ(y)

text: kφ(y).

text: y

text: general

text: oscillator

text: The

text: cga

text: conformal

text: Galilei

text: invariance

text: requires

text: the

text: coupling

text: parameter

text: γ

text: Since

text: a

text: unitary

text: transformation

text: changes

text: its

text: phase,

text: we

text: can

text: assume

text: without

text: loss

text: of

text: generality

text: that

text: γ

text: belongs

text: to

text: the

text: fundamental

text: domain

text: γ

text: For

text: γ

text: real,

text: the

text: invariant

text: PDEs

text: in

text: the

text: left

text: part

text: of

text: the

text: commutative

text: diagram

text: are

text: hermitian.

text: This

text: is

text: not

text: the

text: case

text: for

text: the

text: invariant

text: PDEs

text: in

text: the

text: right

text: part

text: of

text: the

text: diagram.

text: Under

text: hermitian

text: the

text: oscillator

text: equation

text: is

text: transformed

text: into

text: its

text: conjugate

text: Ω

text: (γ)Ψ(t,

text: x,

text: y)

text: (i∂

text: ∂2

text: iγx∂

text: )Ψ(t,

text: x,

text: y).

text: t

text: x

text: y

text: y

text: For

text: α

text: real

text: the

text: transformation

text: is

text: not

text: unitary.

text: The

text: choice

text: α

text: ln

text: γ

text: allows

text: to

text: set

text: γ

text: The

text: free

text: parameter

text: γ

text: labels

text: diﬀerent

text: unitarily

text: inequivalent

text: theories

text: with

text: testable

text: consequences.

text: See,

text: e.g.,

text: the

text: probability

text: decay

text: to

text: the

text: vacuum

text: state

text: presented

text: in

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##

text: ##LTLine##


text: All operators −1 1 − Θ = ∂2 + x2 + ωy∂ iγx∂ + C, (27) 2 x 2 y y (cid:54) for any arbitrary constant C and any γ = 0, induce a Schr¨odinger equation with (cid:96) = 3 Conformal 2 Galilei symmetry, if ω is restricted to the values ±1 ± ω = , 3. (28) 3 ↔ − The ω ω change of sign is explained by the hermitian conjugation. Understanding the ↔ ω 1 transformation is subtler. One should note at ﬁrst that in the γ = 0 decoupled case the ω role of the space coordinates x, y can be exchanged by performing the canonical transformation ↔ √1 − ↔ √1 y (x ∂ ), ∂ (x + ∂ ). x y x 2 2 Next, the coupling term is introduced in terms of the non-singular similarity transformation given by the inverse of equation (25). As it turns out, this procedure guarantees the conformal Galilei invariance of the result(cid:98)ing(cid:98)PDE. (cid:98) An explicit check of the symmetri(cid:98)es of this class of PDEs proves that, in order to have the · on-shell invariant equations [z±, Ω ] = f± Ω , with f± arbitrary functions of the coordinates 0 ±0 and symmetry generators of the form z± = e iλt(∂ +X±), (X± time-independent operators and (cid:54) t λ = 0), the following necessary and suﬃcient condition has to be satisﬁed: the two equations − 5 λ(ω2 + 1 λ2) = 0, 2 − − − 3λ2 + 3λ4 + 2λω + 4λ3ω λ2ω2 2λω3 = 0, (29) must be simultaneously solved. The only non-vanishing solutions for λ are encountered at ± ± ± ± ω = 3 and ω = 1. Therefore, the ω = 1, 3 critical values are special points of enhanced 3 3 symmetry. 5 Symmetry of the decoupled (cid:96) = 3 oscillator 2 By applying the same considerations as in Section 4, it is suﬃcient to analyze the symmetry of the decoupled (γ = 0) (cid:96) = 3 operator 2 1 − 1 Ω = i∂ + ∂2 x2 + ωy∂ (30) t 2 x 2 y ∈ ∞ in the range ω [1, [. ± ± ± For a generic ω the following invariant operators can be encountered at degree 0, 1, ω, 1: 2 2 ± ± ± z± = e 2it(∂ ix∂ + iωy∂ + ix2 i ), t x y 2 z = ∂ + iωy∂ , 0 t y − i d = ∂ , t 2 c = 1, w = eiωt∂ , ω y w = eit(∂ + x), 1 x − − w− = e it(∂ x), 1 x − w− = e iωty. (31) ω 8 ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine##

text: All

text: operators

text: −1

text: Θ

text: ∂2

text: ωy∂

text: iγx∂

text: C,

text: x

text: y

text: y

font: default

text: for

text: any

text: arbitrary

text: constant

text: C

text: and

text: any

text: γ

text: induce

text: a

text: Schr¨odinger

text: equation

text: with

text: Conformal

text: Galilei

text: symmetry,

text: if

text: ω

text: is

text: restricted

text: to

text: the

text: values

text: ±1

text: ω

text: The

text: ω

text: ω

text: change

text: of

text: sign

text: is

text: explained

text: by

text: the

text: hermitian

text: conjugation.

text: Understanding

text: the

text: ω

text: transformation

text: is

text: subtler.

text: One

text: should

text: note

text: at

text: ﬁrst

text: that

text: in

text: the

text: γ

text: decoupled

text: case

text: the

text: ω

text: role

text: of

text: the

text: space

text: coordinates

text: x,

text: y

text: can

text: be

text: exchanged

text: by

text: performing

text: the

text: canonical

text: transformation

text: √1

text: √1

text: y

text: (x

text: (x

text: x

text: y

text: x

text: Next,

text: the

text: coupling

text: term

text: is

text: introduced

text: in

text: terms

text: of

text: the

text: non-singular

text: similarity

text: transformation

text: given

text: by

text: the

text: inverse

text: of

text: equation

text: As

text: it

text: turns

text: out,

text: this

text: procedure

text: guarantees

text: the

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text: Galilei

text: invariance

text: of

text: the

text: An

text: explicit

text: check

text: of

text: the

text: of

text: this

text: class

text: of

text: PDEs

text: proves

text: that,

text: in

text: order

text: to

text: have

text: the

text: on-shell

text: invariant

text: equations

text: [z±,

text: Ω

text: f±

text: Ω

text: with

text: f±

text: arbitrary

text: functions

text: of

text: the

text: coordinates

text: ±0

text: and

text: symmetry

text: generators

text: of

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text: Determine the ﬁlament chirality 11 (a) 1 3 2 4 (b) 5 6 (c) Fig. 4 A ﬁlament observed at 16:43:32 UT on 2011 October 12, located in the northern hemi- sphere. (a) The extracted enhanced Hα image. (b) The skeleton of the ﬁlament, each barb is labeled with a unique number. (c) The spine of the ﬁlament. (d) The SDO/HMI magnetogram where the ﬁlament is located in. The yellow asterisks show the footpoints of the ﬁlament. The two footpoints are designated by P and N, respectively, meaning positive and negative polarities. The blue line shows the contour of the polarity inversion lines (PILs) around the footpoints. (e) The yellow asterisks show the footpoints of the ﬁlament as panel(d). The blue multiplication signs show the PIL. The red plus signs show the positive shift of the PIL and the black minus signs show the negative shift of the PIL. The shift direction is perpendicularly to the line (light blue dash-dotted line) that connected two footpoints of the ﬁlament. (f) The Hα ﬁlament image overlaid by PIL and its shift lines. The meaning of the signs are the same as that in panel (e). ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTFigure## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## ##LTLine## 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text: The

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text: ﬁlament.

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text: Determine the ﬁlament chirality 17 barbs of the two ﬁlaments in the northern hemisphere are mainly right-bearing and those of the other two in the southern hemisphere are mainly left-bearing. According to the paradigm in Chen et al. (2014), it implies that the magnetic structures of these ﬁlaments are mainly ﬂux ropes, which is consistent with the results on the ﬁlament magnetic structure obtained by previous authors (Rust & Kumar 1994; Low & Hundhausen 1995; Aulanier & Demoulin 1998). We agree that the deﬁnitions of the ﬁlament chirality and barb bearing by Martin et al. (1994) and Martin (1998) are reasonable and practical. We strictly follow their deﬁnitions to determine the chirality of the ﬁlament and the bearing of the barbs. However, we found that the helicity of a ﬁlament determined by magnetic polarities of the two footpoints of the ﬁlament, as proposed by Martin et al. (1994), may be the same as or opposite to that calculated from the vector magnetograms. There are several reasons for it. First, there might be no solid physical basis to claim that the footpoints of a ﬁlaments are the intersection points of the magnetic ﬁeld lines with the solar surface. Especially when the ﬁlament is of inverse polarity, the footpoints of an Hα ﬁlament are located on the opposite side of the PIL compared to the footpoints of the magnetic ﬁeld lines, as illustrated by panels (a) and (b) in Figure 7 of Chen et al. (2014). Second, the footpoints of some ﬁlaments are too weak to be detected accurately. Third, when the barbs are near the end of the spine, it is hard to distinguish whether it is the end of the spine or the barbs near the junction node. As the right end of the ﬁlament in Figure 7(a), the shortest path method determines it as a part of the spine, while empirically, we would recognize it as a barb. These cases are only found in the ends of the ﬁlament when the end junction node has more than one branch. Therefore, it does not affect the barb detection within the ﬁlament skeleton. In such a case, one way to determine which branch belonging to the spine is checking the curvature: if the branch connected with the spine have the smallest curvature, this branch and the spine will be determined as the whole spine, and the others will be determined as barbs. We will validate the method and improve our spine detection method in our future version. Hence, the method by measuring the magnetic ﬁled of the two footpoints to determine the ﬁlament chirality (i.e., the helicity), as proposed by Martin et al. (1994), may get wrong results without the help of vector magnetogram data. In the case that vector magnetograms are not available, it would be better to determine the helicity by the skewness of coronal loops or EUV dimmings (Jiang et al. 2011). Even when all these alternative choices are not available, we can still assume the ﬂux rope magnetic ﬁeld model as a tradeoff since a majority of ﬁlaments are of inverse-polarity type. Of course, the results of Guo et al. (2010) and Chen et al. (2014) imply that this approximation method may lead to errors sometimes. Therefore, a large amount of data are still needed to study the statistical results to validate these methods. In summary, we propose an efﬁcient method for automatically detecting the bearing of solar ﬁlament barbs. This method employs the unweighted undirected graph concept and the Dijkstra shortest-path algo- rithm to recognize the ﬁlament spine, and the connected components labeling method to identify the barbs. The results of the relatively high resolution data veriﬁed that the performance of our method is accurate and robust. Since our method is based on our previous automatic detection method for Hα ﬁlaments in full-disk images, it can process not only a given ﬁlament in the partial frame, but also multiple ﬁlaments in the full disk images. Four quiescent ﬁlaments are automatically detected and illustrated to show the re- sults. A ﬁlament with a unique chirality may have different barb bearings in its different parts. It infers

text: Determine

text: the

text: ﬁlament

text: chirality

text: barbs

text: of

text: the

text: two

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text: two

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text: are

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text: left-bearing.

text: According

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text: the

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text: as

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text: Martin

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text: There

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text: there

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text: of

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text: of

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text: when

text: the

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text: of

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text: Hα

text: ﬁlament

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text: on

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text: of

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text: panels

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text: Figure

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text: Chen

text: et

text: al.

text: Second,

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text: ﬁlaments

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text: accurately.

text: Third,

text: when

text: the

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text: are

text: near

text: the

text: end

text: of

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text: it

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text: the

text: spine

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text: near

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text: As

text: the

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text: of

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text: in

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text: the

text: shortest

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text: method

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text: while

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text: recognize

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text: cases

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text: only

text: found

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text: when

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text: than

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text: does

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text: a

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text: if

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text: this

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text: as

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text: as

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text: We

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text: and

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text: our

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text: in

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text: future

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text: Hence,

text: the

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text: of

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text: to

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text: the

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text: chirality

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text: the

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text: by

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text: are

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text: In

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text: method

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text: the

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text: The

text: results

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text: our

text: method

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text: previous

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text: method

text: for

text: Hα

text: ﬁlaments

text: in

text: full-disk

text: images,

text: it

text: can

text: process

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text: only

text: a

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text: ﬁlament

text: in

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text: but

text: also

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text: ﬁlaments

text: in

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text: sults.

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text: its

text: different

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text: It

text: infers