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Seungjun
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Korean-Olympiad-TDCS-3K

problem_ko large_stringlengths 11 2.85k	solution_ko large_stringlengths 35 10k	difficulty_level int64 1 5
101마리의 달마시안 중에서 왼쪽 귀에만 점이 있는 개는 29마리, 오른쪽 귀에만 점이 있는 개는 17마리, 그리고 귀에 점이 없는 개는 22마리입니다. 오른쪽 귀에만 점이 있는 달마시안은 몇 마리인가요?	1. 전체 달마시안의 수를 확인합니다: \[ \text{전체 달마시안의 수} = 101 \] 2. 주어진 조건에 따라 달마시안의 수를 분리합니다: - 왼쪽 귀에만 점이 있는 달마시안: $29$마리 - 오른쪽 귀에만 점이 있는 달마시안: $?$마리 (이 값을 구해야 합니다) - 귀에 점이 없는 달마시안: $22$마리 3. 왼쪽 귀나 오른쪽 귀에 점이 있는 달마시안의 수를 계산합니다: \[ \text{전체 달마시안} - \text{귀에 점이 없는 달마시안} = 101 - 22 = 79 ...	1
총 $ n $명의 사람들에게 설문 조사에서 질문을 했습니다. $ n $명 중 정확히 $ 76\% $가 "예"라고 응답했고, 정확히 $ 24\% $가 "아니오"라고 응답했습니다. $ n $의 가장 작은 값은 얼마인가요?	1. "예"라고 응답한 사람의 수를 $ Y $라고 하고, "아니오"라고 응답한 사람의 수를 $ N $이라고 합시다. 2. 정확히 $ 76\% $가 "예"라고 응답했으므로, 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다: \[ \frac{Y}{n} = \frac{76}{100} \] 3. 또한, 정확히 $ 24\% $가 "아니오"라고 응답했으므로, 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다: \[ \frac{N}{n} = \frac{24}{100} \] 4. "예"와 "아니오"로 응답한 사람들의 합은 전체 조사 대상자 수와 같아야 하므로, 다음과 같습니다: \[...	1
한 반에 20명의 학생이 있습니다. 그 중 일부는 짝을 이루어 앉는데, 남학생의 1/3이 여학생과 함께 앉고, 여학생의 1/2이 남학생과 함께 앉습니다. 이 반에 남학생은 몇 명인가요? A 9명 B 12명 C 15명 D 16명 E 18명	1. 반에 있는 남학생의 수를 $ x $라고 합시다. 2. 반에 있는 여학생의 수를 $ y $라고 합시다. 문제에서 주어진 정보에 따르면: - 남학생의 1/3이 여학생과 함께 앉습니다. - 여학생의 1/2이 남학생과 함께 앉습니다. 3. 따라서, 남학생이 여학생과 함께 앉는 수는 \[ \frac{1}{3}x \] 4. 여학생이 남학생과 함께 앉는 수는 \[ \frac{1}{2}y \] 남학생과 함께 앉는 여학생의 수는 남학생과 함께 앉는 여학생의 수와 같으므로, 식을 같게 놓을 수 있습니다: \[ \frac{1...	1
n+2명의 학생들이 토너먼트를 했습니다. 각 쌍은 한 번씩 경기를 했습니다. 한 선수는 승리하면 1점, 무승부하면 1/2점, 패배하면 0점을 받았습니다. 두 명의 학생이 총 8점을 받았고, 다른 선수들은 모두 동일한 총점을 받았습니다. n을 구하세요.	: 1. 총 경기 수와 총 점수: - 토너먼트에서 각 선수 쌍은 정확히 한 번 경기를 합니다. 따라서 $ n+2 $명의 선수가 있는 경우, 총 경기 수는 $ n+2 $명 중 2명을 선택하는 조합 공식 $ \binom{n+2}{2} $를 사용하여 계산됩니다. \[ \text{총 경기 수} = \binom{n+2}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2} \] - 각 경기에서 총 1점이 분배되므로 (승리: 1점, 무승부: 각각 0.5점, 패배: 0점), 모든 선수의 총 점수는 다음과 같습니다. \...	1
모든 두 선수는 한 번씩 경기를 합니다. 각 경기의 결과는 한 선수의 승리입니다. 선수 $ n $은 $ a_n $번의 경기에서 승리하고 $ b_n $번의 경기에서 패배합니다. $ \sum a_n^2 = \sum b_n^2 $를 증명하세요.	: $N$을 전체 선수의 수로 표기하겠습니다. 각 선수는 $N-1$번의 경기를 치르므로, 선수 $n$의 경우 $a_n$은 이긴 경기의 수를, $b_n$은 진 경기의 수를 나타냅니다. 1. 먼저, $a_n$과 $b_n$의 관계를 알아봅니다. 각 선수는 $N-1$번의 경기를 치르므로, 다음과 같습니다: \[ b_n = (N-1) - a_n. \] 2. 이제, $b_n$의 제곱의 합을 $a_n$으로 표현합니다: \[ \sum b_n^2 = \sum \left((N-1) - a_n\right)^2. \] 3. 제곱을 전개합니다: ...	1
A, B, C가 두 자리 숫자를 맞추고 있습니다. A는 말합니다: 그 숫자의 약수의 개수는 짝수이고, 50보다 큽니다. B는 말합니다: 그 숫자는 홀수이고, 60보다 큽니다. C는 말합니다: 그 숫자는 짝수이고, 70보다 큽니다. 만약 각각이 절반만 진실을 말했다면, 이 숫자는 무엇인가요?	이 문제는 甲, 乙, 丙 세 사람이 말한 내용을 바탕으로 숫자를 찾아야 합니다. 문제에 따르면, 각 사람은 절반만 진실을 말합니다. 우리는 각 진술을 분석하여 올바른 숫자를 찾습니다. 1. 甲의 진술: - $ \text{약수의 개수가 짝수이고 50보다 큽니다}$. - 甲은 절반만 진실을 말하기 때문에, 이 진술의 한 부분은 거짓입니다. 나중에 다시 살펴보겠습니다. 2. 乙의 진술: - $ \text{홀수이고 60보다 큽니다}$. - 乙은 절반만 진실을 말하기 때문에, 숫자는 홀수이거나 60보다 커야 합니다. 3...	1
삼나무에 두 개의 나무 구멍이 있습니다. 두 번째 구멍 앞에 앉아 있는 다람쥐가 말했습니다: 1) 다른 구멍에는 견과류가 없습니다, 2) 구멍 중 하나에는 적어도 하나의 견과류가 있습니다. 붉은 다람쥐는 항상 진실을 말하고, 회색 다람쥐는 항상 거짓말을 합니다. 이 다람쥐는 어떤 색인가요?	1. 다람쥐가 회색이라고 가정하면, 다람쥐가 하는 두 가지 진술은 모두 거짓이어야 합니다. 왜냐하면 회색 다람쥐는 항상 거짓말을 하기 때문입니다. 2. 두 번째 진술 분석: - 두 번째 진술: "구멍 중 하나에는 견과류가 있습니다." - 이 진술이 거짓이라면, 두 구멍 모두 견과류가 없습니다. - 두 번째 진술로부터의 결론: $\text{두 구멍 모두 견과류가 없습니다}.$ 3. 첫 번째 진술 분석: - 첫 번째 진술: "다른 구멍에는 견과류가 없습니다." - 이 진술이 거짓이고 반대가 되어야 한다면: "다른...	1
다섯 명의 소년과 세 명의 소녀가 원형 테이블에 앉습니다. 추가적인 요구사항이 없다면, $Q(8,8)=7!=5040$개의 배열이 있습니다. 소년 $B_{1}$이 소녀 $G_{1}$ 옆에 앉지 않는 경우, 몇 가지 배열이 있을까요? 세 명의 소녀가 서로 옆에 앉지 않는 경우, 몇 가지 배열이 있을까요?	#### Part 1: 특정 남성($B_1$)이 특정 여성($G_1$) 옆에 앉지 않는 경우의 수를 구하는 방법. 1. 먼저, 제한 없이 8명이 원형 테이블에 앉는 경우의 수를 계산합니다: \[ Q(8, 8) = 7! = 5040 \] 2. 방법 1: $G_1$을 처음에 제외하고, $B_1$ 옆에 앉지 않는 위치에 $G_1$을 삽입합니다. - $G_1$을 제외한 7명을 원형 테이블에 앉히는 경우의 수를 고려합니다. 이 경우의 수는 다음과 같습니다: \[ 6! \] - $G_1$은 $...	1
라운드 로빈 체스 토너먼트에 참가하는 $ n $명의 선수가 있으며, 각 선수는 다른 모든 선수와 정확히 한 번씩 경기를 합니다. 경기의 승자는 3점을 얻고, 무승부는 각 선수에게 1점을 주며, 패자는 0점을 얻습니다. 모든 선수의 점수의 총합이 120이라면, 토너먼트의 최대 참가자 수는 얼마인가요?	1. 무승부의 수를 $ a $라고 하고, 승리와 패배의 수를 $ b $라고 하면: \[ 2a + 3b = 120 \] 이 식은 무승부는 2점(각 선수에게 1점씩)을 얻고, 승리는 총 3점(승자에게 3점, 패자에게 0점)을 얻는다는 것을 반영합니다. 2. $ b $에 대한 제약 조건을 주목하세요: \[ 0 \leq b \leq 40 \] 이는 $ b $가 40을 초과하면 참가자 수와 경기 수에 따라 $ 2a + 3b $의 합이 120점을 초과하기 때문입니다. 3. 참가자 수가 $ n $이라고 가정하면...	1
이제 A, B, C, D 중에서 두 명을 뽑아 행사에 참여시키려고 합니다. 규칙은 다음과 같습니다: A가 가면 B도 가고, C가 가지 않으면 B도 가지 않으며, C가 가면 D는 가지 않습니다. 최종적으로 행사에 참여하는 두 명은 ( )입니다. (A) A와 B (B) B와 C (C) A와 C (D) B와 D	이 문제를 풀기 위해서는 주어진 조건을 분석하고, 활동에 참석할 수 있는 인물들의 조합을 추론해야 합니다. 논리적인 추론을 단계별로 진행해보겠습니다. 1. 조건 이해: - 甲(갑)이 가면 乙(을)도 간다. - 丙(병)이 가지 않으면 乙(을)도 가지 않는다. - 丙(병)이 가면 丁(정)은 가지 않는다. 2. 조건의 논리적 표현: - $ 甲 \rightarrow 乙 $ - $ \neg 丙 \rightarrow \neg 乙 \equiv 乙 \rightarrow 丙 $ - \( 丙 \rightarrow \n...	1
어떤 섬에는 마법의 양들이 살고 있습니다. 파란색 양은 22마리, 빨간색 양은 18마리, 초록색 양은 15마리입니다. 서로 다른 색의 양 두 마리가 만나면, 둘 다 세 번째 색으로 변합니다. 어떤 유한한 횟수의 만남 후에 모든 양이 같은 색이 될 수 있을까요? 만약 그렇다면, 이 색은 어떤 색일 수 있을까요?	1. 허용되는 변환 식별: 허용되는 변환은 다음과 같습니다: - $(b, r, v) \to (b-1, r-1, v+2)$ - $(b-1, r+2, v-1)$ - $(b+2, r-1, v-1)$ 2. 초기 조건 설정: 초기 개수는 다음과 같습니다: - $b = 22$ (파란색 양) - $r = 18$ (빨간색 양) - $v = 15$ (초록색 양) 3. 나머지 불변량 분석: 다음을 주목하세요: \[ r - v \ (\text{mod} \ 3) \] 이...	1
세 명의 학생, Anna, Vika, Masha는 문학, 역사, 생물학 학과에서 공부합니다. Anna가 문학 학생이라면 Masha는 역사 학생이 아닙니다. Vika가 역사 학생이 아니라면 Anna는 문학 학생입니다. Masha가 문학 학생이 아니라면 Vika는 생물학 학생입니다. 각 여학생은 어떤 학과에서 공부하나요?	1. Vika가 역사학자가 아니라고 가정: - 조건 2에 의해, Vika가 역사학자가 아니라면 Anna는 문학 학생입니다. 2. Anna가 문학 학생이라면: - 조건 1에 의해, Anna가 문학 학생이라면 Masha는 역사학자가 될 수 없습니다. 3. 이제 Masha가 역사학자가 아니므로: - 조건 3에 의해 Masha가 문학 학생이 아니라면 Vika는 생물학 학생이어야 한다는 모순이 발생합니다. 그러나 우리는 이전에 Vika가 역사학자가 아니라고 가정했으므로, 이는 우리의 초기 가정과 모순됩니다. 4. **따라서...	1
16개의 팀이 참가하는 축구 대회에서 각 팀은 다른 모든 팀과 정확히 한 번씩 경기를 했습니다. 경기에서 승리하면 3점, 무승부하면 1점, 패배하면 0점을 얻었습니다. 대회가 끝난 후, 각 팀은 적어도 1/3 이상의 경기에서 승리하고, 적어도 1/3 이상의 경기에서 패배했습니다. 어떤 두 팀이 같은 점수를 얻었음을 증명하세요.	각 팀이 다른 모든 팀과 정확히 한 번씩 경기를 하는 축구 대회에서, 16개의 팀이 참가합니다. 경기에서 승리하면 3점, 무승부하면 1점, 패배하면 0점을 얻습니다. 대회가 끝난 후, 각 팀은 적어도 1/3 이상의 경기에서 승리하고, 적어도 1/3 이상의 경기에서 패배했습니다. 어떤 두 팀이 같은 점수를 얻었음을 증명하세요. 1. 경기 수: - 각 팀은 15번의 경기를 합니다 (다른 15개 팀과 경기를 하기 때문입니다). 2. 점수 하한: - 각 팀은 적어도 $ \frac{1}{3} $ 이상의 경기에서 승리하고, 적어도 \( \f...	1
체스 선수들로 구성된 그룹이 $ n $명 있습니다. ($ n \geq 3 $) 이들은 대회를 위해 세 그룹으로 나뉘어야 합니다. 같은 그룹에 속한 선수들은 서로 경기를 하지 않고, 다른 그룹에 속한 선수들끼리는 모두 경기를 해야 합니다. 총 경기 수를 최대화하기 위해서는 두 그룹의 선수 수가 최대 1명 차이 나야 함을 증명하세요.	1. 문제 재진술 및 목표 명확화: 체스 선수들로 구성된 그룹이 $n$명 있습니다. ($n \geq 3$) 이들은 대회를 위해 세 그룹으로 나뉘어야 합니다. 같은 그룹에 속한 선수들은 서로 경기를 하지 않고, 다른 그룹에 속한 선수들끼리는 모두 경기를 해야 합니다. 총 경기 수를 최대화하기 위해서는 두 그룹의 선수 수가 최대 1명 차이 나야 함을 증명하는 것이 목표입니다. 2. 가설: 경기 수를 최대화하는 그룹 구성이 세 그룹의 크기가 각각 $r$, $s$, $t$라고 가정합니다. 이때: \[ r + s + t = n. \] ...	1
앨리스, 밥, 캐롤은 각각 일관된 진실 말하기 또는 일관된 거짓말쟁이입니다. 앨리스는 다음과 같이 말합니다: "밥 또는 캐롤 중 적어도 한 명은 진실 말하기입니다." 밥은 다음과 같이 말합니다: "앨리스와 캐롤은 모두 진실 말하기입니다." 캐롤은 다음과 같이 말합니다: "앨리스가 진실 말하기라면, 밥도 진실 말하기입니다." 그들은 모두 진실 말하기여야 합니까?	1. 가정 및 초기 분석: - 다음과 같이 표기합니다: - 앨리스가 진실 말하기인 경우 $ A_T $이고 거짓말쟁이인 경우 $ A_L $입니다. - 밥이 진실 말하기인 경우 $ B_T $이고 거짓말쟁이인 경우 $ B_L $입니다. - 캐롤이 진실 말하기인 경우 $ C_T $이고 거짓말쟁이인 경우 $ C_L $입니다. - 이러한 정의에 따라 앨리스, 밥, 캐롤이 한 말을 평가합니다. 2. 앨리스의 말 평가: - 앨리스는 다음과 같이 말합니다: "밥 또는 캐롤 중 적어도...	1
7학년 "E"반에서 실시한 조사에 따르면, 수학에 관심이 있는 학생들 중 $20\%$가 물리학에도 관심이 있고, 물리학에 관심이 있는 학생들 중 $25\%$가 수학에도 관심이 있습니다. 이 두 과목에 관심이 없는 학생은 Petya와 Vasya뿐입니다. 7학년 "E"반에 20명 이상 30명 미만의 학생이 있다는 것이 알려져 있다면, 이 반의 학생 수는 몇 명인가요?	1. 변수 정의 및 주어진 비율 해석: - 수학에 관심이 있는 학생들 중 물리학에도 관심이 있는 학생 수를 $ n $이라고 합시다. - 수학에 관심이 있는 학생들 중 $20\%$가 물리학에도 관심이 있고, 물리학에 관심이 있는 학생들 중 $25\%$가 수학에도 관심이 있다는 것을 알고 있습니다. 2. 수학과 물리학에 관심이 있는 학생 수 표현: - 수학에 관심이 있는 학생 수를 $ M $이라고 합시다. - 물리학에 관심이 있는 학생 수를 $ F $라고 합시다. - 주어진 비율 정보를 사용하여: ...	1
시험에서 총 6개의 객관식 문제가 출제됩니다. 채점 방식은 다음과 같습니다. 각 사람은 6점으로 시작합니다. 정답을 맞히면 4점이 추가됩니다. 오답을 선택하면 1점이 감점됩니다. 미응답 문제는 점수가 추가되거나 감점되지 않습니다. 51명의 학생이 시험을 치르고 있다고 가정할 때, 적어도 ( )명의 학생이 동일한 점수를 가지고 있습니다. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6	1. 가능한 점수 범위 결정: - 각 참가자는 초기 점수 6점을 받습니다. - 정답을 맞히면 4점이 추가됩니다. - 오답을 선택하면 1점이 감점됩니다. - 미응답 문제는 점수가 변경되지 않습니다. 2. 가능한 최대 점수와 최소 점수 계산: - 최대 점수: 참가자가 6개의 문제를 모두 맞히면: \[ 6 + (6 \times 4) = 6 + 24 = 30 \text{ 점} \] - 최소 점수: 참가자가 6개의 문제를 모두 틀리면: \[ 6 - (6 \times 1) = 6 - ...	1
다섯 명의 사람들이 다음과 같은 특징을 가지고 있다고 알려져 있습니다: - 레샤는 알렉세예프보다 1살 더 많습니다. - 보리사는 보리소프보다 2살 더 많습니다. - 바샤는 바실리예프보다 3살 더 많습니다. - 그리고리는 그리고리예프보다 4살 더 많습니다. 그리고 이 그룹에는 디마와 드미트리예프도 있습니다. 디마와 드미트리예프 중 누가 더 나이가 많고, 얼마나 더 나이가 많나요?	1. 알렉세이, 보리스, 바샤, 그리고리, 디마로 구성된 그룹의 나이에 대한 주어진 문제를 분석해봅시다. 우리는 다음과 같은 정보를 가지고 있습니다: - 알렉세이는 알렉세예프보다 1살 더 많습니다. - 보리사는 보리소프보다 2살 더 많습니다. - 바샤는 바실리예프보다 3살 더 많습니다. - 그리고리는 그리고리예프보다 4살 더 많습니다. 2. 또한 이 그룹에는 드미트리예프라는 다른 사람이 있으며, 디마와 드미트리예프 중 누가 더 나이가 많고, 얼마나 더 나이가 많은지 결정해야 합니다. 3. 나이 관계를 요약하면: - 알렉세이 = 알렉세...	1
국군의 날 퍼레이드에서 100명의 대열이 있습니다. 대열에서 각 사람의 왼손에는 빨간 꽃 또는 노란 꽃을 들고 있습니다. 각 사람의 오른손에는 빨간 풍선 또는 초록 풍선을 들고 있습니다. 빨간 꽃을 든 사람은 42명, 빨간 풍선을 든 사람은 63명, 왼손에 노란 꽃을 들고 오른손에 초록 풍선을 든 사람은 28명입니다. 왼손에 빨간 꽃을 들고 오른손에 빨간 풍선을 든 사람은 몇 명인가요?	1. 초록 풍선을 든 사람의 수 구하기: 전체 인원은 100명으로 주어졌습니다. 이 중 빨간 풍선을 든 사람은 63명입니다. 따라서, 나머지 사람들은 초록 풍선을 들고 있어야 합니다: \[ 100 - 63 = 37 \text{ (명)} \] 2. 빨간 꽃과 초록 풍선을 든 사람: 노란 꽃과 초록 풍선을 든 사람이 28명이라고 주어졌습니다. 빨간 꽃과 초록 풍선을 든 사람을 구하기 위해, 초록 풍선을 든 사람 중 이 28명을 제외하면 됩니다: \[ 37 - 28 = 9 \text{ (명)} \] 3. **빨...	1
다섯 명의 친구들이 서로 여러 번의 탁구 경기를 했습니다(반드시 같은 횟수는 아닙니다). 경기 후, 첫 번째는 자신이 패배보다 4번 더 많이 이겼다고 언급했고, 두 번째와 세 번째는 각각 승리보다 5번 더 많이 졌다고 언급했습니다. 네 번째는 자신이 승리와 패배가 같다고 언급했고, 다섯 번째는 다른 사람들과 각각 같은 횟수로 경기를 했다고 언급했습니다. 다섯 번째가 모든 경기에서 이겼을 수 있을까요?	1. 다섯 번째 선수가 자신이 한 모든 경기에서 이겼다고 가정해봅시다. 2. 어떤 경기에서든 한 선수는 이기고, 다른 선수는 진다는 것을 유의하세요. 따라서, 총 승리 횟수는 총 패배 횟수와 같아야 합니다. 3. 첫 번째부터 네 번째 선수의 언급을 통해, 그들의 승패 기록을 다음과 같이 설정할 수 있습니다: - 첫 번째 선수: 승리 = 패배 + 4 - 두 번째 선수: 패배 = 승리 + 5 - 세 번째 선수: 패배 = 승리 + 5 - 네 번째 선수: 승리 = 패배 4. 위의 내용을 종합하면, 총 승리와 패배를 표현할 수 있습니다. 다음...	1
어떤 야구 리그에서 두 그룹이 있고, 각 그룹에는 네 개의 팀이 있습니다. 각 팀은 자신의 그룹에 있는 각 팀과 $n$ 경기를 하고, 다른 그룹에 있는 각 팀과 $m$ 경기를 합니다. 여기서 $n > 2m$이고 $m > 4$입니다. 한 팀이 총 76경기를 했다는 것을 알고 있을 때, 그 팀이 자신의 그룹에 있는 팀들과 몇 경기를 했나요? (A) 36 (B) 48 (C) 54 (D) 60 (E) 72	1. 초기 설정: ``` 야구 리그에서 두 그룹이 있고, 각 그룹에는 네 개의 팀이 있습니다. 각 팀은 자신의 그룹에 있는 다른 팀과 $n$ 경기를 하고, 다른 그룹에 있는 각 팀과 $m$ 경기를 합니다. 특정 팀이 참여하는 총 경기 수가 76경기라는 것을 알고 있을 때, 그 팀이 자신의 그룹 내에서 몇 경기를 하는지 구하세요. ``` 2. 방정식 구성: - 각 팀은 자신의 그룹에 있는 3개의 팀과 $n$ 경기를 합니다. - 각 팀은 다른 그룹에 있는 4개의 팀과 $m$ 경기를 합니다. 따라서, 한 팀이 참여하...	1
한 반에 40명의 학생이 있습니다. 이 중 22명은 체육 동아리에 참여하고, 16명은 수학 동아리에 참여하고, 20명은 예술 공연 동아리에 참여하고 있습니다. 또한, 8명은 체육 동아리와 수학 동아리에 모두 참여하고, 6명은 예술 공연 동아리와 수학 동아리에 모두 참여하고, 10명은 체육 동아리와 예술 공연 동아리에 모두 참여하고, 2명은 체육 동아리, 예술 공연 동아리, 수학 동아리에 모두 참여하고 있습니다. 한 동아리에만 참여하는 학생은 몇 명인가요? 어떤 동아리에도 참여하지 않는 학생은 몇 명인가요?	다음 두 가지를 구해야 합니다: 1. 정확히 한 가지 활동에 참여하는 학생 수. 2. 어떤 활동에도 참여하지 않는 학생 수. 이 문제를 해결하기 위해 집합 표기법을 사용하겠습니다. 집합을 다음과 같이 정의합니다: - $ A $를 체육 동아리에 참여하는 학생들로 정의합니다. - $ B $를 수학 동아리에 참여하는 학생들로 정의합니다. - $ C $를 예술 공연 동아리에 참여하는 학생들로 정의합니다. 다음과 같은 정보가 주어졌습니다: \[ \|A\| = 22, \quad \|B\| = 16, \quad \|C\| = 20 \] \[ \|A \cap B\| = 8, \q...	1
한 게임에서 $ N $명의 사람들이 한 방에 있습니다. 그들 각각은 0부터 100까지의 정수 중 하나를 동시에 적습니다. 한 사람이 이 게임에서 이기려면, 그들이 적은 수가 모든 수의 평균의 정확히 2/3가 되어야 합니다. 이 게임에서는 여러 명의 승자가 있을 수도 있고, 승자가 없을 수도 있습니다. $ m $이 $ m $을 적어서 이 게임에서 이길 수 있는 최대 가능한 수라고 합시다. $ N $명의 사람들이 있는 방에서 $ m $을 적어서 이 게임에서 이길 수 있는 가장 작은 가능한 값을 구하세요.	1. 승리 조건 파악: 한 사람이 이 게임에서 이기려면, 그들이 선택한 수 $ m $이 모든 수의 평균의 정확히 2/3가 되어야 합니다. 2. 평균과 승리 수의 식: 적힌 수의 평균을 $ A $라고 합시다. 한 사람이 이기려면, $ m = \frac{2}{3}A $입니다. 3. 최대 승리 수 결정: 모든 사람이 0부터 100까지의 정수 중 하나를 적으므로, 평균 $ A $도 이 범위 내에 있을 것입니다. 따라서 규칙을 따르면서 선택할 수 있는 최대 $ m $은 다음과 같습니다: \[ m \leq \frac{2...	1
기사와 거짓말쟁이(기사는 항상 진실을 말하고, 거짓말쟁이는 항상 거짓말을 합니다)가 사는 나라에서, 10명의 사람들에게 1부터 10까지의 서로 다른 숫자를 주었습니다. 그리고 각 사람에게 "당신의 숫자가 2로 나누어 떨어지나요?"라는 질문을 했습니다. 세 명의 사람들이 긍정적으로 대답했습니다. "당신의 숫자가 4로 나누어 떨어지나요?"라는 질문에는 여섯 명의 사람들이 긍정적으로 대답했습니다. "당신의 숫자가 5로 나누어 떨어지나요?"라는 질문에는 두 명의 사람들이 긍정적으로 대답했습니다. 거짓말쟁이들은 어떤 숫자를 받았을까요?	1. 주어진 답변에 대한 응답자 집합을 결정합니다: - 10명의 사람들이 있으며, 각각 1부터 10까지의 고유한 숫자를 받았습니다. - 질문 1: "당신의 숫자가 2로 나누어 떨어지나요?" - 3명의 사람들이 "예"라고 말했습니다. - 질문 2: "당신의 숫자가 4로 나누어 떨어지나요?" - 6명의 사람들이 "예"라고 말했습니다. - 질문 3: "당신의 숫자가 5로 나누어 떨어지나요?" - 2명의 사람들이 "예"라고 말했습니다. 2. **나누어 떨어짐에 해당하는 가능한 숫자를 식별합니다:...	1
$A, B, C, D,$ 그리고 $E$로 구성된 5명의 위원회는 투표를 통해 결정을 내리며, 결의안은 다수결로 받아들여집니다. 가장 똑똑한 위원 $A$는 5\%의 경우에만 잘못된 결정을 내립니다. (간단하게, 모든 결의안은 옳거나 틀린 것으로 가정합니다.) $B, C,$ 그리고 $D$는 10\%의 경우에서 오류를 범하고, $E$는 20\%의 경우에서 실수를 범합니다. a) 위원회가 잘못된 결정을 내리는 경우는 몇 퍼센트인가요? b) 위원회의 "가장 덜 똑똑한" 위원인 $E$는 앞으로 항상 $A$와 같은 방식으로 투표하기로 결정했습니다. 이 결정이 잘못된 결정의 비...	#### Part (a): 1. 필요한 조건을 확인합니다: - 다수결(5명 중 3명 이상)이 필요합니다. - 위원회가 잘못된 결정을 내리는 경우는 3명 이상이 잘못된 결정을 내리는 경우입니다. 2. 잘못된 결정이 내려지는 경우의 수: - 5명 모두가 잘못된 결정을 내리는 경우. - 4명이 잘못된 결정을 내리고, 1명이 올바른 결정을 내리는 경우. - 3명이 잘못된 결정을 내리고, 2명이 올바른 결정을 내리는 경우. 3. 각 경우의 확률을 정의하고 합산합니다: - Case 1: 5명 모두가 잘못된 결정을 내리는 경우: ...	1
세계 하키 선수권 대회 이후, 세 명의 기자가 독일 팀에 대한 기사를 썼습니다 - 각각 자신의 신문에. - 첫 번째는 다음과 같이 썼습니다: "독일 팀은 선수권 대회 동안 10개 이상의 골을 넣었지만 17개 미만의 골을 넣었습니다." - 두 번째는 다음과 같이 썼습니다: "독일 팀은 선수권 대회 동안 11개 이상의 골을 넣었지만 18개 미만의 골을 넣었습니다." - 세 번째는 다음과 같이 썼습니다: "독일 팀은 선수권 대회 동안 홀수의 골을 넣었습니다." 결국, 두 명의 기자만 옳았습니다. 독일 팀이 선수권 대회에서 몇 개의 골을 넣을 수 있었습니까? 가능한 ...	세 명의 기자가 제공한 정보를 바탕으로 독일 국가대표팀이 넣은 골의 수를 확인해야 합니다. 각 기자는 골의 수에 대한 사실적인 주장을 합니다: 1. 첫 번째 기자: "독일 팀은 10개 이상의 골을 넣었지만 17개 미만의 골을 넣었습니다." \[ 10 < x < 17 \] 2. 두 번째 기자: "독일 팀은 11개 이상의 골을 넣었지만 18개 미만의 골을 넣었습니다." \[ 11 < x < 18 \] 3. 세 번째 기자: "독일 팀은 홀수의 골을 넣었습니다." 마지막으로, 세 명의 기자 중 두 명만 옳다는 ...	1
한 섬에는 기사, 거짓말쟁이, 추종자가 살고 있으며, 각 사람은 누가 누구인지 알고 있습니다. 2018명의 섬 주민이 모두 줄을 서서 "섬에 기사가 거짓말쟁이보다 많습니까?"라는 질문에 "예" 또는 "아니오"로 대답하도록 요청받았습니다. 주민들은 다른 사람들이 들을 수 있도록 한 명씩 응답했습니다. 기사는 항상 진실을 말했고, 거짓말쟁이는 항상 거짓말을 했습니다. 각 추종자는 이전 응답자의 대다수와 동일하게 대답했으며, "예"와 "아니오" 답변이 균등하게 분할된 경우 어느 쪽이든 대답할 수 있었습니다. 결과적으로 "예" 답변이 정확히 1009개 있었습니다. 섬 주민 ...	#### 단계 1: 참가자 정의 우리는 섬의 주민을 세 가지 유형으로 분류합니다. - 항상 진실을 말하는 기사. - 항상 거짓말을 하는 거짓말쟁이. - 지금까지 들은 대다수의 응답에 따라 응답하는 추종자. #### 단계 2: 초기 및 최종 잔액 분석 기사가 거짓말쟁이보다 많은지에 대한 주민의 응답을 다룰 때 잔액을 정의합니다. - 잔액 = "예" 응답 수 - "아니오" 응답 수. - 처음에는 이 잔액이 0입니다. - 마지막으로, "예" 응답 수가 1009이고 총 주민 수가 2018이므로 잔액은 0이어야 합니다. (2018 - 1009 = 1009) "아니오...	1
진실의 섬에는 항상 진실을 말하는 기사들과 항상 거짓말을 하는 거짓말쟁이들만 살고 있습니다. 한 관광객이 A, B, C, D라는 네 명의 섬 주민을 만났습니다. 섬 주민 A는 관광객에게 "우리 네 명 중 정확히 한 명은 거짓말쟁이입니다."라고 말했습니다. B는 "우리는 모두 거짓말쟁이입니다."라고 말했습니다. 그런 다음 관광객은 C에게 "A가 거짓말쟁이라는 것이 사실인가요?"라고 물었습니다. 관광객이 C의 대답("예" 또는 "아니오")을 들었을 때, A가 거짓말쟁이인지 아닌지를 확실히 알 수 있었습니다. 어떤 섬 주민이 거짓말쟁이일 수 있을까요? - A, B, D만...	문제의 단계별 분석을 통해 주민들 중 누가 거짓말쟁이일 수 있는지 추론해봅시다. 1. 주어진 정보: - A는 말합니다: "우리 네 명 중 정확히 한 명은 거짓말쟁이입니다." - B는 말합니다: "우리는 모두 거짓말쟁이입니다." - 관광객은 C에게 "A가 거짓말쟁이인가요?"라고 묻고, 대답("예" 또는 "아니오")을 받습니다. 2. 주장 분석: - B가 "우리는 모두 거짓말쟁이입니다."라고 주장하므로, B가 거짓말을 하거나 진실을 말할 수 있다는 것을 알고 있습니다: - B가 진실을 말하고 있다면, 네 명의 주민(A,...	1
한 섬에는 항상 진실을 말하는 기사들과 항상 거짓말을 하는 거짓말쟁이들이 있습니다. 네 명의 섬 주민들이 서로 1미터 간격으로 일렬로 서 있습니다. - 일렬의 가장 왼쪽에 있는 사람은 다음과 같이 말했습니다: "이 일렬의 동료 부족원은 나와 2미터 떨어져 서 있습니다." - 일렬의 가장 오른쪽에 있는 사람은 다음과 같이 말했습니다: "이 일렬의 동료 부족원은 나와 2미터 떨어져 서 있습니다." 일렬에는 정확히 두 명의 기사와 두 명의 거짓말쟁이가 있다는 것이 알려져 있습니다. 왼쪽에서 두 번째와 세 번째 섬 주민이 언급할 수 있는 거리는 무엇일까요? 가능한 모든...	1. 섬 주민들을 왼쪽에서 오른쪽으로 1, 2, 3, 4로 번호를 매깁니다. 2. 첫 번째 섬 주민(Player 1이라고 부르겠습니다)이 기사라고 가정합니다. Player 1의 말에 따르면, 그들의 동료 부족원은 2미터 떨어져 서 있습니다. 따라서 Player 1은 Player 3을 가리키고 있어야 합니다. 왜냐하면 Player 1과 Player 3 사이의 거리는 2미터이기 때문입니다. 3. 기사는 항상 진실을 말하므로, Player 3도 기사입니다. 4. 정확히 두 명의 기사와 두 명의 거짓말쟁이가 있다는 것을 고려하면, Player 2와 Player 4는 거짓말...	1
국제 수학 올림피아드에서 2019명의 참가자가 있었습니다. 그 중 1009명은 1010명의 친구를 가지고 있었고, 1010명은 1009명의 친구를 가지고 있었으며, 친구 관계는 상호적이었습니다. 친구를 만들고 끊는 기술에 능한 장난꾸러기 테오도르는 다음과 같이 이벤트를 시작하기로 결정합니다: 그는 세 명의 참가자 $ A, B $, 그리고 $ C $를 선택합니다. 이때, $ A $는 $ B $와 $ C $와 모두 친구이지만, $ B $는 $ C $와 친구가 아닙니다. 그런 다음, $ B $와 $ C $는 친구가 되지만, $ A $와...	문제를 해결하기 위해 참가자 집합을 정점으로, 친구 관계를 간선으로 나타내는 그래프로 모델링하겠습니다. 불변량을 분석하고 테오도르가 친구 관계를 원하는 상태로 줄일 수 있는 방법을 증명해보겠습니다. 1. 문제 모델링: - 1009개의 정점이 1010개의 간선을 가지고, 1010개의 정점이 1009개의 간선을 가지는 2019개의 정점을 포함하는 그래프 $ G $로 시작합니다. - 즉, 각 정점은 참가자를 나타내고, 두 정점 사이의 간선은 친구 관계를 나타냅니다. 2. 테오도르가 일으키는 이벤트 분석: - 테오도르는 세 명의 ...	1
200명의 그룹에서 여성은 $1 \%$에 불과합니다. 남은 사람들의 $98 \%$가 남성이 되도록 그룹에서 떠나야 하는 남성의 수를 결정하세요.	1. 그룹의 초기 인원 수는 $200$으로 주어졌습니다. 이 중 $1\%$가 여성이라고 합니다. 2. 여성의 수를 구하기 위해 다음 공식을 사용합니다: \[ \text{여성 수} = 200 \times \frac{1}{100} = 2 \] 따라서, 그룹에는 $2$명의 여성이 있습니다. 3. 일부 남성이 그룹을 떠난 후의 새로운 총 인원 수를 $x$라고 합시다. 여성은 이 새로운 총 인원 수의 $2\%$를 차지해야 합니다: \[ \frac{2}{x} = \frac{2}{100} \] 4. $x$를 구하기 위...	2
러시아 축구 선수권 대회에서는 16개 팀이 참가합니다. 각 팀은 다른 팀과 2번씩 경기를 합니다. a) "우랄란"은 시즌 동안 몇 번의 경기를 해야 하나요? b) 한 시즌 동안 총 몇 번의 경기가 열리나요?	#### (a) 부분 1. "우랄란"은 리그의 다른 15개 팀과 각각 2번씩 경기를 해야 합니다. 2. 따라서, "우랄란"이 해야 하는 총 경기 수는 다음과 같습니다: \[ 2 \cdot 15 = 30 \] ### 결론: $\boxed{30 \text{ 경기}}$ #### (b) 부분 첫 번째 방법: 1. 16개 팀은 총 30번의 경기를 해야 합니다. 2. 각 경기를 두 번씩 계산한 경우(각 팀당 한 번씩)를 고려하여 총 경기 수를 계산합니다: \[ 16 \cdot 30 = 480 \] 3. 각 경기는 두 번씩 ...	2
어떤 회사에서 주주 100명이 있고, 그 중 66명이 모여서 회사의 주식 중 최소 50%를 소유하고 있습니다. 한 주주가 소유할 수 있는 모든 주식의 최대 비율은 얼마인가요? (주주가 소유한 회사의 주식 비율은 정수가 아닐 수 있습니다.)	1. 임의의 주주 $A$를 고려해보겠습니다. 나머지 99명의 주주를 각각 33명씩 $B$, $C$, $D$ 세 그룹으로 나눕니다. 2. 문제의 조건에 따라, 어떤 66명의 주주는 회사의 주식 중 최소 $50\%$를 누적적으로 소유해야 합니다. 따라서: - 그룹 $B$와 $C$가 소유한 주식의 합은 최소 $50\%$입니다. - 그룹 $C$와 $D$가 소유한 주식의 합은 최소 $50\%$입니다. - 그룹 $B$와 $D$가 소유한 주식의 합은 최소 $50\%$입니다. 3. 이 세 조건을 합하면: \[ \text{그룹 } B \text{의 주...	2
Petya는 여러 개의 숫자를 더했는데, 그 중 $N$개는 짝수이고 $M$개는 홀수입니다. Petya에게 $N$ 또는 $M$ 중 하나의 숫자가 짝수인지 물어볼 수 있습니다. Petya가 얻은 합이 짝수인지 홀수인지 결정하는 데 충분합니까?	1. Petya가 여러 개의 숫자를 더해서 얻은 합 $S$를 고려합니다. 이 중 $N$개는 짝수이고 $M$개는 홀수입니다. 2. 먼저, 짝수와 홀수의 성질을 이해합니다: - 두 개의 짝수를 더하면 짝수가 됩니다. - 두 개의 홀수를 더하면 짝수가 됩니다. - 짝수와 홀수를 더하면 홀수가 됩니다. 3. $N$개의 숫자가 짝수이므로, 이들의 합인 $E$는 짝수로 유지됩니다 (짝수의 합은 짝수이기 때문입니다). 4. 이제 $M$개의 홀수의 합인 $O$를 고려합니다: - 홀수의 짝수 개수를 더할 때, 결과는 짝수가 됩니다. - 홀수...	2
친구 A, B, C, D 네 명이 체스 대회에 참가하여 각 쌍이 한 경기를 치릅니다. 승자는 3점을 얻고, 무승부는 각 선수에게 1점을 부여하며, 패자는 0점을 얻습니다. D는 6점, B는 4점, C는 2점을 얻었습니다. A는 몇 점을 얻었을까요?	1. 경기 수 결정: - 대회에 참가하는 어린이가 4명(甲, 乙, 丙, 丁)이므로, 두 명씩 한 경기를 치르게 됩니다. 따라서 총 경기 수는 다음과 같습니다: \[ \binom{4}{2} = 6 \text{ 경기} \] 2. 각 어린이가 치르는 경기 수 결정: - 각 어린이는 다른 3명의 어린이와 한 번씩 경기를 치르므로, 각 어린이는 3번의 경기를 치르게 됩니다. 3. 丁의 점수 분석: - 丁은 총 6점을 얻었습니다. 이는 각 승리가 3점을 주므로, 2번의 승리와 1번의 패배로 나눌 수 있습니다: ...	2
어떤 어린이 그룹에서, 그 그룹의 어린이들 중 세 명씩 모이면 반드시 아담이라는 이름의 소년이 있고, 네 명씩 모이면 반드시 베아타라는 이름의 소녀가 있습니다. 이러한 그룹에 있을 수 있는 어린이의 최대 수는 몇 명이며, 그들의 이름은 무엇인가요?	이 문제를 해결하기 위해서는 주어진 제약 조건을 이용하여 그룹에 있을 수 있는 어린이의 최대 수와 그들의 이름을 구해야 합니다. 1. 제약 조건 분석: - 어린이들 중 세 명씩 모이면 반드시 아담이라는 이름의 소년이 있습니다. - 어린이들 중 네 명씩 모이면 반드시 베아타라는 이름의 소녀가 있습니다. 2. 소녀(Dívky)의 수 분석: - 소녀가 두 명 이상인 경우, 소녀를 포함하지 않는 세 명씩의 그룹을 몇 개 만들 수 있는지 고려합니다. - 어떤 세 명씩의 그룹도 아담이라는 이름의 소년을 포함해야 합니다. - 소녀가 세...	2
원형 테이블 주위에 1001명의 사람들이 앉아 있으며, 각각은 기사(항상 진실을 말하는 사람)이거나 거짓말쟁이(항상 거짓말을 하는 사람)입니다. 각 기사 옆에는 정확히 한 명의 거짓말쟁이가 있고, 각 거짓말쟁이 옆에는 정확히 한 명의 기사가 있다는 것이 밝혀졌습니다. 테이블에 앉을 수 있는 최소 기사 수는 얼마인가요?	1001명의 사람들이 있는 원형 테이블을 고려해보자. 각 사람은 기사(항상 진실을 말하는 사람)이거나 거짓말쟁이(항상 거짓말을 하는 사람)이다. 1. 초기 관찰: - 각 기사는 정확히 한 명의 거짓말쟁이 옆에 앉아야 한다. - 각 거짓말쟁이는 적어도 한 명의 기사 옆에 있어야 한다. 이는 테이블 주위에 기사와 거짓말쟁이 사이의 순환적인 교대를 의미한다. 2. 표현 및 제약 조건: - 기사를 $K$로, 거짓말쟁이를 $L$로 표시하면, 우리의 목표는 가장 작은 기사 수를 찾는 것이다. - \( K \,...	2
모스크바에서 테니스 대회가 열리고 있습니다. 각 팀은 3명의 선수로 구성됩니다. 모든 팀은 다른 모든 팀과 경기를 치르며, 한 팀의 참가자는 다른 팀의 참가자와 정확히 한 번의 경기를 치릅니다. 시간 제약으로 인해 대회에서는 최대 150경기를 치를 수 있습니다. 모든 경기를 완료할 수 있는 팀의 최대 수는 얼마인가요?	1. 문제 이해: 모스크바에서 테니스 대회가 열리고 있습니다. 각 팀은 3명의 선수로 구성됩니다. 한 팀의 각 선수는 다른 팀의 각 선수와 정확히 한 번의 경기를 치릅니다. 대회에서 치를 수 있는 최대 경기 수는 150경기입니다. 대회에 참가할 수 있는 팀의 최대 수를 구해야 합니다. 2. 두 팀 간의 경기 계산: 두 팀이 경기를 치를 때, 첫 번째 팀의 모든 선수는 두 번째 팀의 모든 선수와 경기를 치릅니다: \[ 3 \text{ 선수} \times 3 \text{ 선수} = 9 \text{ 경기} \] 3. **최대 ...	2
교통 체증으로 인해 5대의 버스가 서로 붙어 서 있고, 각 버스에는 서로 다른 0이 아닌 수의 승객이 타고 있습니다. 우리는 두 사람이 같은 버스에 있거나 이웃하는 버스에 있는 경우를 동료로 정의합니다. 각 승객은 정확히 20명 또는 정확히 30명의 동료를 가지고 있다는 것이 밝혀졌습니다. 이것이 어떻게 가능한지 예를 들어 설명하세요.	1. 문제의 주요 포인트를 파악해봅시다: - 5대의 버스가 있고, 각 버스에는 서로 다른 0이 아닌 수의 승객이 있습니다. - 두 승객이 같은 버스에 있거나 이웃하는 버스에 있는 경우를 동료로 정의합니다. - 각 승객은 정확히 20명 또는 30명의 동료를 가지고 있습니다. 2. 다섯 대의 버스에 있는 승객의 총 수는 $ n_1, n_2, n_3, n_4, n_5 $이며, $ n_i $는 버스 $ i $에 있는 승객의 수를 나타냅니다. 다양한 가능성을 검사하여 주어진 예시를 평가해봅시다. 3. 버스에 있는 승객의 수가 다음과 같은 경우를...	2
체스 클럽에 90명의 아이들이 있습니다. 한 세션 동안, 그들은 3명씩 30개의 그룹으로 나뉘었고, 각 그룹에서 모든 사람이 다른 모든 사람과 한 게임을 했습니다. 다른 게임은 하지 않았습니다. 총 30개의 "남자 대 남자" 게임과 14개의 "여자 대 여자" 게임이 진행되었습니다. "혼성" 그룹, 즉 남자와 여자가 모두 포함된 그룹은 몇 개였나요?	1. 총 게임 수와 분류: - 총 게임 수: $ 90 $ - 남자 대 남자 게임: $ 30 $ - 여자 대 여자 게임: $ 14 $ 따라서, 혼성 게임(남자 + 여자)의 수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다: \[ \text{혼성 게임} = \text{총 게임 수} - \text{남자 게임 수} - \text{여자 게임 수} = 90 - 30 - 14 = 46 \] 2. 그룹 내 게임 구조 파악: - 각 그룹은 3명의 아이로 구성됩니다. - 각 아이는 그룹 내에서 2개의 게임을 합니다....	2
매사추세츠 애비뉴는 열 개의 블록으로 이루어져 있습니다. 각 블록에는 한 명의 소년과 한 명의 소녀가 살고 있습니다. 그들은 각 소년이 정확히 한 명의 소녀와 친구가 되고 그 반대도 마찬가지인 친구 관계를 형성하려고 합니다. 아무도 한 블록 이상 떨어진 친구를 원하지 않습니다(하지만 같은 블록에 있을 수 있습니다). 가능한 짝짓기 수는 몇 가지인가요?	: 1. 재귀적으로 문제 정의: $a_n$을 $n$개의 블록이 있을 때 가능한 짝짓기 수라고 합시다. 각 소년은 정확히 한 명의 소녀와 짝을 이루고 그 반대도 마찬가지이며, 한 블록 이상 떨어진 사람과 짝을 이루지 않는다는 제약이 있습니다. 2. 기본 사례: - $n = 1$일 때, 블록이 1개뿐이므로 블록 1의 소년은 블록 1의 소녀와 짝을 이루어야 합니다. 따라서, \[ a_1 = 1 \] - $n = 2$일 때, 블록이 2개 있습니다. 가능한 짝짓기는 다음과 같습니다: - 블록 1의 소년이 블록...	2
우리에게는 A, B, C 세 명의 인물이 있습니다. 이 중 한 명은 기사(항상 진실을 말함), 다른 한 명은 거짓말쟁이(항상 거짓말을 함), 그리고 세 번째는 일반인(거짓말이나 진실을 말할 수 있음)입니다. 우리의 지인들이 한 말은 다음과 같습니다: A: 나는 일반인이다. B: 그것은 사실이다. C: 나는 일반인이 아니다. A, B, C는 누구인가요?	1. 주어진 제약 조건과 함께 $A$, $B$, $C$가 한 말을 분석해봅시다. - $A$: "나는 일반인이다." - $B$: "그것은 사실이다." - $C$: "나는 일반인이 아니다." 2. 우리는 그들 중 한 명은 기사(항상 진실을 말함), 한 명은 거짓말쟁이(항상 거짓말을 함), 그리고 한 명은 일반인(거짓말이나 진실을 말할 수 있음)임을 알고 있습니다. 3. 먼저 $A$의 말을 분석해봅시다. $A$가 기사라고 가정해봅시다: - $A$가 기사라면, $A$는 항상 진실을 말합니다. - $A$는 다음과 같이 말합니다: "나는 일반인...	2
리그에 90명의 선수가 있습니다. 90명의 선수 각각은 다른 89명의 선수와 정확히 한 번의 경기를 합니다. 각 경기는 한 선수의 승리와 다른 선수의 패배, 또는 두 선수의 무승부로 끝납니다. 각 선수는 승리 시 1점, 패배 시 0점, 무승부 시 0.5점을 얻습니다. 모든 경기가 끝난 후, 각 선수가 얻은 점수를 합산합니다. 총점이 최소 54점 이상인 선수의 최대 수는 얼마인가요?	1. 총 경기 수 계산: 각 선수가 다른 모든 선수와 정확히 한 번씩 경기를 하는 리그에서 총 경기 수는 조합 공식 $ \binom{n}{2} $을 사용하여 구할 수 있습니다. 여기서 $ n $은 선수 수입니다. 90명의 선수의 경우: \[ \text{총 경기 수} = \binom{90}{2} = \frac{90 \times 89}{2} = 4005 \] 2. 총 점수 계산: 각 경기는 승자에게 1점, 패자에게 0점, 무승부 시 양 선수에게 0.5점을 부여합니다. 따라서 모든 경기에서 부여되는 총 점수는 총 경기...	2
기사(항상 진실을 말하는 사람)와 거짓말쟁이(항상 거짓말을 하는 사람)가 섞여 있는 6명이 원형 테이블에 앉았습니다. 그들 각각은 동전을 하나씩 받았습니다. 그런 다음, 각 사람은 자신의 동전을 두 이웃 중 한 명에게 전달했습니다. 그 후, 3명은 "나는 동전 하나를 가지고 있다"고 말했고, 나머지 3명은 "나는 동전이 없다"고 말했습니다. 테이블에 앉을 수 있는 기사의 최대 수는 얼마인가요?	1. 원형 테이블에 거짓말쟁이 또는 기사가 앉아 있는 6명이 있다고 가정합니다. 거짓말쟁이는 항상 거짓말을 하고, 기사는 항상 진실을 말합니다. 각 사람은 처음에 동전 하나를 가지고 있습니다. 2. 각 사람은 자신의 동전을 두 이웃 중 한 명에게 전달합니다. 3. 동전을 전달한 후, 3명은 "나는 동전 하나를 가지고 있다"고 말하고, 나머지 3명은 "나는 동전이 없다"고 말합니다. 4. 분포와 가능한 최대 기사 수를 결정합니다. ### 분석: 1. 총 동전 수 모든 사람이 동전을 전달한 후, 동전 수는 동전이 손실되지 않으므로 여전히 6개입니다. 2....	2
어떤 댄스에서 어떤 소년도 모든 소녀와 춤을 추지 않았지만, 각 소녀는 적어도 한 명의 소년과 춤을 추었습니다. 두 소년 $ g $와 $ g' $ 그리고 두 소녀 $ f $와 $ f' $를 찾을 수 있음을 보여주세요. 이때 $ g $는 $ f $와 춤을 추었지만 $ f' $와는 춤을 추지 않았고, $ g' $는 $ f' $와 춤을 추었지만 $ f $와는 춤을 추지 않았습니다.	1. 주요 전제 식별: - 어떤 소년도 모든 소녀와 춤을 추지 않았습니다. - 모든 소녀는 적어도 한 명의 소년과 춤을 추었습니다. 2. 최대 수의 소녀와 춤을 춘 소년 $ g $를 고려: - 그가 춤을 춘 소녀들의 집합을 $ S $라고 표기합니다. 3. *소년 $ g $가 춤을 추지 않은* 소녀 $ f' $를 선택: - 어떤 소년도 모든 소녀와 춤을 추지 않았다는 것이 주어졌으므로, 이러한 소녀 $ f' $가 존재해야 합니다. 4. 소녀 $ f' $와 춤을 춘 다른 소년 $ g' $를 식...	2
유치원에서 읽기를 위한 플래시카드를 받았습니다. 일부는 "MA"라고 말하고, 나머지는 "NYA"라고 말합니다. 각 아이는 단어를 형성하기 위해 세 장의 카드를 가져갔습니다. 20명의 아이들이 자신의 카드로 "MAMA"라는 단어를 형성할 수 있고, 30명의 아이들이 "NYANYA"라는 단어를 형성할 수 있으며, 40명의 아이들이 "MANYA"라는 단어를 형성할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 세 장의 카드가 모두 같은 아이는 몇 명입니까?	1. 문제 이해: - 아이들에게 "МА"와 "НЯ"라는 두 가지 유형의 문구가 있는 플래시카드 세트가 있습니다. - 각 아이는 3장의 카드를 가지고 있으며, 이를 통해 단어를 형성하려고 합니다. - 목표는 세 장의 카드가 모두 같은 유형인 아이의 수를 결정하는 것입니다. 2. 주어진 데이터: - 20명의 아이들이 "МАМА"라는 단어를 만들 수 있습니다. - 30명의 아이들이 "НЯНЯ"라는 단어를 만들 수 있습니다. - 40명의 아이들이 "МАНЯ"라는 단어를 만들 수 있습니다. 3. **제약 조건 ...	2
원형으로 배치된 회전목마에 100개의 좌석이 균등하게 배치되어 있습니다. 각 좌석은 노란색, 파란색 또는 빨간색으로 칠해져 있습니다. 같은 색의 좌석은 연속적으로 배치되어 있으며, 시계 방향으로 $1,2,3, \ldots$로 번호가 매겨져 있습니다. 파란색 좌석 번호 7은 빨간색 좌석 번호 3과 반대편에 있으며, 노란색 좌석 번호 7은 빨간색 좌석 번호 23과 반대편에 있습니다. 회전목마에 있는 노란색, 파란색, 빨간색 좌석의 수를 구하세요.	1. 좌석 배치를 확인합니다: 좌석은 1부터 100까지 번호가 매겨져 있으며, 회전목마에 균등하게 분포되어 있습니다. 2. 위치를 확인합니다: 파란색 좌석 \#7은 빨간색 좌석 \#3과 반대편에 있으며, 노란색 좌석 \#7은 빨간색 좌석 \#23과 반대편에 있습니다. 3. 주어진 빨간색 좌석 사이의 좌석 수를 계산합니다: - 빨간색 좌석 \#3과 \#23 사이에는: \[ 23 - 3 - 1 = 19 \text{ 좌석} \] 4. 파란색 좌석 \#7과 노란색 좌석 \#7 사이에도 동일한 19개의 좌석이 존재합니다 (원의 성질과 대...	2
파이프 위에 여러 개의 A와 여러 개의 B가 앉아 있었습니다. 일부 A가 떨어지고 일부 B가 사라진 후, 파이프 위에는 세 개의 글자만 남았고, 그들 사이에서 다음과 같은 대화가 이루어졌습니다: 첫 번째 글자: "나는 여기서 나 같은 유일한 글자야." 두 번째 글자: "여기에는 A가 두 개보다 적어." 세 번째 글자: "우리 중에는 B가 하나 있어." 각 글자는 A인 경우 진실을 말하고, B인 경우 거짓말을 하는 것으로 밝혀졌습니다. 각 글자의 정체를 결정하세요.	1. 세 번째 글자를 $ A $로 가정: - 문제 설명에 따르면, 글자 $ A $가 무언가를 말하면 진실을 말합니다. 세 번째 글자의 발언은 다음과 같습니다: "우리 중에는 B가 하나뿐이야." - 이 발언에 따르면, 실제로 B가 하나만 있을 것입니다. 2. 첫 번째 글자의 정체성 결정: - 첫 번째 글자가 $ A $라고 가정하고, 첫 번째 글자의 발언을 고려하면 다음과 같습니다: "나는 여기서 나 같은 유일한 글자야." - 세 번째 글자가 $ A $라고 가정하고, $ A $가 하나만 있다는 진실이 이 발...	2
기린 미인 대회의 결승전에서 Tall과 Spotted라는 두 기린이 이 단계에 진출했습니다. 105명의 투표자가 5개의 지구로 나뉘어져 있으며, 각 지구는 7개의 구역으로 나뉘어져 있고, 각 구역에는 3명의 투표자가 있습니다. 투표자들은 자신의 구역에서 다수결로 우승자를 선정합니다. 지구에서는 다수결로 우승한 기린이 지구에서 우승합니다. 마지막으로, 다수결로 우승한 기린이 대회 우승자로 선언됩니다. Tall이라는 기린이 우승했습니다. 그가 받을 수 있는 최소 투표자 수는 얼마인가요?	1. 투표 구조 이해: - 총 투표자 수: 105명. - 105명의 투표자는 5개의 지구로 나뉘어져 있습니다: \[ \text{지구당 투표자 수} = \frac{105}{5} = 21 \] - 각 지구는 7개의 구역으로 나뉘어져 있습니다: \[ \text{구역당 투표자 수} = \frac{21}{7} = 3 \] 2. 우승 요건 파악: - 결승전에서 우승하기 위해서는 기린 "Vyisokiy"가 지구 중 다수결로 우승해야 합니다. 즉, 5개 지구 중 최소 3개...	2
3층으로 이루어진 상점에서 층간 이동은 엘리베이터를 통해서만 가능합니다. 상점 오픈부터 마감까지의 층별 방문자 수를 조사한 결과 다음과 같습니다. 1) 2층에서 엘리베이터에 탑승하는 고객 중 절반은 1층으로, 절반은 3층으로 이동합니다. 2) 엘리베이터에서 하차하는 고객 중 3분의 1 미만은 3층에서 하차합니다. 1층에서 2층과 3층 중 어느 층으로 더 많은 고객이 이동하나요? 참고: 오픈 전과 마감 후에는 상점에 고객이 없습니다. 고객은 엘리베이터를 통해서만 층간 이동을 합니다.	1. 문제 소개 및 초기 가정: 세 층으로 이루어진 상점을 고려해보겠습니다. 층간 이동은 엘리베이터를 통해서만 가능합니다. 다음과 같은 정보가 주어집니다. - 2층에서 절반의 사람들은 1층으로, 나머지 절반은 3층으로 이동합니다. - 엘리베이터에서 하차하는 사람들 중 3분의 1 미만은 3층에서 하차합니다. 2. 변수 정의: - $x$를 하루 동안 1층에서 엘리베이터에 탑승한 총 인원 수라고 합시다. - $y$를 하루 동안 2층에서 엘리베이터에 탑승한 총 인원 수라고 합시다. - $z$를 하루 동안 3층에서 엘리베이...	2
섬의 주민은 모두 진실을 말하는 기사(knight)이거나, 거짓말을 하는 거짓말쟁이(liar)입니다. 어느 날, 50명의 섬 주민이 원형 테이블에 둘러앉아, 각자 자신의 오른쪽에 앉은 사람에 대해 기사인지 거짓말쟁이인지 말했습니다. 1번째, 3번째,..., 49번째 자리에 앉은 주민들은 "기사"라고 말했고, 2번째, 4번째,..., 48번째 자리에 앉은 주민들은 "거짓말쟁이"라고 말했습니다. 50번째 자리에 앉은 주민은 어떤 말을 할 수 있을까요? (자리는 어떤 지점에서 시작하여 원형으로 번호가 매겨져 있습니다.)	이 문제는 원형 테이블에서 50번째 자리에 앉은 섬 주민이, 주기적으로 진술을 하는 성격(기사 또는 거짓말쟁이)이 번갈아 나타나는 경우, 자신의 오른쪽에 앉은 사람에 대해 어떤 말을 할 수 있는지를 파악하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 단계별로 진행해보겠습니다: 1. 섬 주민들의 역할 파악: 각 섬 주민은 항상 진실을 말하는 기사(knight)이거나, 항상 거짓말을 하는 거짓말쟁이(liar)입니다. 2. 섬 주민들의 발언 파악: - 홀수 번째 자리에 앉은 섬 주민들은 자신의 이웃에 대해 "기사"라고 말합니다. - 짝수 번째 ...	2
지휘관의 호출에 55명의 병사가 왔습니다: 궁수와 검객입니다. 그들 모두는 황금색 또는 검은색 갑옷을 입고 있었습니다. 검객은 검은색 갑옷을 입을 때 진실을 말하고 황금색 갑옷을 입을 때 거짓말을 하며, 궁수는 그 반대입니다. - "당신은 황금색 갑옷을 입고 있습니까?"라는 질문에 44명이 긍정적으로 대답했습니다. - "당신은 궁수입니까?"라는 질문에 33명이 긍정적으로 대답했습니다. - "오늘은 월요일입니까?"라는 질문에 22명이 긍정적으로 대답했습니다. 지휘관의 호출에 황금색 갑옷을 입은 궁수는 몇 명 왔나요?	1. 주어진 정보와 필요한 변환을 파악합니다: - 궁수와 검객으로 구성된 55명의 병사가 있습니다. - 병사들은 황금색 또는 검은색 갑옷을 입고 있습니다. - 검객은 검은색 갑옷을 입을 때 진실을 말하고 황금색 갑옷을 입을 때 거짓말을 합니다. - 궁수는 검은색 갑옷을 입을 때 거짓말을 하고 황금색 갑옷을 입을 때 진실을 말합니다. - 44명의 병사가 "당신은 황금색 갑옷을 입고 있습니까?"라는 질문에 긍정적으로 대답했습니다. - 33명의 병사가 "당신은 궁수입니까?"라는 질문에 긍정적으로 대답했습니다. - 22명의 병사...	2
크로시, 요직, 뉘샤, 바라쉬가 사탕 한 봉지를 먹었습니다. 그러자 소브니야가 물었습니다. "그래서, 너희들은 각각 몇 개의 사탕을 먹었니?" 그들이 대답한 내용은 다음과 같습니다. 크로시: "요직, 뉘샤, 그리고 나는 총 120개의 사탕을 먹었어." 요직: "뉘샤와 바라쉬는 103개의 사탕을 먹었어 (나는 그들을 계속 지켜봤어)." 뉘샤: "남자 아이들은 152개의 사탕을 먹었어!" 그리고 바라쉬는 아무 말도 하지 않았습니다 (그의 입술은 붙어 있었습니다). "그럴 리가 없어!" - 소브니야가 외쳤습니다. 왜 그럴까요?	크로시, 요직, 뉘샤의 진술과 바라쉬가 아무 말도 하지 않았다는 사실을 알 수 있습니다. 이들의 진술을 비판적으로 분석하고, 그 일관성을 검증해야 합니다. 1. 진술 분석: - 크로시: "나, 요직, 뉘샤는 함께 120개의 사탕을 먹었어." \[ K + Y + N = 120 \] - 요직: "뉘샤와 바라쉬는 103개의 사탕을 먹었어." \[ N + B = 103 \] - 뉘샤: "남자 아이들은 152개의 사탕을 먹었어." \[ K + Y + B = ...	2
$ n \in \mathbb{N}^{*} $라고 합시다. 1부터 $ n $까지 번호가 매겨진 $ n $명의 학생들 중에서 일부는 친구이고 일부는 친구가 아닙니다(친구 관계는 상호적이며, 자신과 친구이거나 친구가 될 수 없습니다). 정수 $ N \geqslant 1 $과 각 학생에게 정수를 할당하는 방법(학생 $ i $에 대해 $ a_{i} $로 표시)이 존재하여 $ i $와 $ j $가 친구인 경우 $ N $이 $ a_{i} a_{j} $를 나누는 경우에만 $ i $와 $ j $가 친구인 경우가 있을까요?	1. 그래프 구성: - 정점 $1$부터 $n$까지 번호가 매겨진 $n$명의 학생들을 나타내는 그래프 $G$를 고려합니다. - 정점 $i$와 $j$가 친구인 경우, $i$와 $j$를 연결하는 간선이 있습니다. 2. 보완 그래프: - $G$의 보완 그래프 $G'$를 정의합니다. 즉, $G'$에서 정점 $i$와 $j$가 연결되어 있으면 $G$에서 $i$와 $j$가 친구가 아닙니다. - $G'$의 간선을 $e_1, e_2, \ldots, e_k$로 나타냅니다. ...	2
선생님은 Alekseev, Vasiliev, Sergeev 세 학생의 시험지를 채점했습니다. 학생들이 길에서 선생님을 만났을 때, 그들은 어떤 성적을 받았는지 물었습니다. 선생님은 "나는 너희의 시험지를 가져오지 않았지만, 너희 모두가 3, 4, 5의 다른 성적을 받았다는 것을 기억한다. Sergeev는 5를 받지 않았고, Vasiliev는 4를 받지 않았으며, Alekseev는 4를 받았다."라고 대답했습니다. 집에서 선생님은 학생들의 시험지를 확인하고, 두 명의 학생에게 잘못된 성적을 주었다는 것을 깨달았습니다. 학생들은 실제로 어떤 성적을 받았을까요?	1. 초기 정보 파악: - 선생님은 세 학생이 3, 4, 5의 다른 성적을 받았다고 언급했습니다. - 구체적으로: - Sergeev는 5를 받지 않았습니다. - Vasiliev는 4를 받지 않았습니다. - Alekseev는 4를 받았습니다. 2. 주어진 제약 조건 분석: - \[ \text{Alekseev} \] $ = 4 $ - \[ \text{Sergeev} \neq 5 \) - \[ \text{Vasiliev} \neq 4 \) 3. **주어진 $4$를 Alekseev에게 할당:...	2
한 반에 $ n $명의 남학생과 $ n $명의 여학생이 있습니다 ($ n \geq 3 $). 이들은 원형 테이블 주위에 앉아서 두 명의 남학생과 두 명의 여학생이 서로 옆에 앉지 않도록 합니다. 선생님은 숫자 $ 1, 2, 3, \ldots, 2n $이 각각 한 번씩 나타나는 $ 2n $장의 카드를 가지고 있습니다. 그는 각 학생에게 한 장의 카드를 나눠주어 모든 여학생의 숫자가 모든 남학생의 숫자보다 크도록 합니다. 그런 다음 각 여학생은 자신의 카드와 옆에 앉은 두 남학생의 카드의 숫자를 더하여 그 합을 기록합니다. 이 $ n $개의 합이 모...	1. 먼저, 주어진 좌석 및 카드 분배 조건을 분석합니다: - 원형 테이블 주위에 $ n $명의 남학생과 $ n $명의 여학생이 앉아 있습니다. - 각 남학생은 $ 1 $부터 $ n $까지의 번호가 매겨진 카드를 받습니다. - 각 여학생은 $ n+1 $부터 $ 2n $까지의 번호가 매겨진 카드를 받습니다. - 남학생과 여학생은 서로 옆에 앉지 않도록 배치됩니다. 2. 문제를 더 명확하게 정의해 봅시다. 각 여학생은 자신의 카드와 옆에 앉은 두 남학생의 카드의 숫자를 더합니다. 모든 여학생이 같은 숫자 \( m \...	2
한 테이블 위에 2020개의 상자가 있습니다. 그 중 일부는 사탕이 들어있고, 나머지는 비어있습니다. 첫 번째 상자에는 다음과 같은 라벨이 붙어있습니다: "모든 상자는 비어있습니다." 두 번째 상자에는 다음과 같은 라벨이 붙어있습니다: "적어도 2019개의 상자는 비어있습니다." 세 번째 상자에는 다음과 같은 라벨이 붙어있습니다: "적어도 2018개의 상자는 비어있습니다." 이와 같은 방식으로, 2020번째 상자에는 다음과 같은 라벨이 붙어있습니다: "적어도 하나의 상자는 비어있습니다." 빈 상자의 라벨은 거짓이고, 사탕이 들어있는 상자의 라벨은 참이라고 알려져 있습...	1. 상자에 대한 첫 번째 참인 문장이 시작되는 숫자를 $N$이라고 표기하겠습니다. 이는 $N$부터 $2020$까지의 모든 라벨이 참이라는 것을 의미합니다. 2. 적어도 $A$개의 상자가 비어있고, $A$에 대한 문장이 참이라면, $A$보다 크거나 같은 모든 개수에 대해서도 참이어야 합니다. 따라서, 참인 문장은 어떤 $N$부터 연속적으로 나타납니다. 3. 사탕이 들어있는 상자의 개수를 $k$라고 합시다. 만약 $N$-번째 상자의 문장이 "\textit{적어도 $2021-N$개의 상자가 비어있습니다}"라고 적혀있다면, $N$-번째 상자는 사탕이 들어있는 첫 번째...	2
동물 왕국에서 호랑이는 항상 진실을 말하고, 여우는 항상 거짓말을 하며, 원숭이는 때때로 진실을 말하고 때때로 거짓말을 합니다. 이 세 종류의 동물은 각각 100마리씩 있으며, 100개의 그룹으로 나뉘어져 있습니다. 각 그룹은 정확히 3마리의 동물로 구성되어 있으며, 한 종류의 동물은 정확히 2마리이고 다른 종류의 동물은 1마리입니다. 그룹이 형성된 후, 쿵푸 팬더는 각 동물에게 "당신의 그룹에 호랑이가 있나요?"라고 물었고, 138마리의 동물이 "예"라고 대답했습니다. 그 후 쿵푸 팬더는 각 동물에게 "당신의 그룹에 여우가 있나요?"라고 물었고, 188마리의 동물...	주어진 정보: - 호랑이, 여우, 원숭이가 각각 100마리씩 있으며, 각 그룹은 정확히 3마리의 동물로 구성되어 있습니다. 한 종류의 동물은 정확히 2마리이고 다른 종류의 동물은 1마리입니다. - 쿵푸 팬더의 질문에 대한 답변: - "당신의 그룹에 호랑이가 있나요?" - 138마리의 동물이 "예"라고 대답했습니다. - "당신의 그룹에 여우가 있나요?" - 188마리의 동물이 "예"라고 대답했습니다. 다음과 같이 정의합니다: - $ x $는 호랑이와 섞인 원숭이의 수입니다. - $ y $는 호랑이와 섞인 여우의 수입니다. - $ z $는 원숭이와 섞...	2
숲길을 여행하던 이반 차레비치는 곰, 여우, 늑대를 만났습니다. 곰은 항상 진실을 말하고, 여우는 항상 거짓말을 하며, 늑대는 진실을 말한 후 거짓말을 번갈아 가며 합니다. 동물들은 각각 이반 차레비치에게 두 가지 진술을 했습니다. 첫 번째는 다음과 같이 말했습니다: "당신은 말을 구할 것입니다. 그러나 당신은 죽을 것입니다." 두 번째는 다음과 같이 말했습니다: "당신은 무사히 남을 것입니다. 그리고 당신은 말을 구할 것입니다." 세 번째는 다음과 같이 말했습니다: "당신은 살아남을 것입니다. 그러나 당신은 말을 잃을 것입니다." 각 동물이 어떤 진술을 했는지, 그...	1. 진술 식별: 세 동물은 각각 두 가지 진술을 했으며, 우리는 그들의 진실 말하기 습관에 따라 누가 어떤 진술을 했는지 결정해야 합니다. 다음은 요약입니다: - 첫 번째 진술: "당신은 말을 구할 것입니다. 그러나 당신은 죽을 것입니다." - 두 번째 진술: "당신은 무사히 남을 것입니다. 그리고 당신은 말을 구할 것입니다." - 세 번째 진술: "당신은 살아남을 것입니다. 그러나 당신은 말을 잃을 것입니다." 2. 캐릭터 행동 분석: - 곰은 항상 진실을 말합니다. - 여우는 항상 거짓말을 합니다. ...	2
두 개의 이웃한 섬의 인구는 기사(knight)와 거짓말쟁이(liar)로만 구성되어 있습니다(일반인은 없습니다). 한 섬에는 기사의 수가 짝수이고, 다른 섬에는 기사의 수가 홀수라고 합니다. 또한, 기사의 수가 짝수인 섬에는 보물이 묻혀 있고, 기사의 수가 홀수인 섬에는 보물이 없다고 합니다. 당신은 무작위로 한 섬을 선택하고 그곳으로 여행합니다. 섬의 모든 주민들은 그들 사이에 기사와 거짓말쟁이가 몇 명 있는지 알고 있습니다. 당신은 A, B, C라는 세 명의 주민과 대화하고 다음과 같은 진술을 받습니다: A: 이 섬의 거짓말쟁이 수는 짝수입니다. B: 우리 ...	섬에 보물이 있는지 확인하기 위해, 우리는 섬 주민들인 A, B, C가 한 진술을 논리적으로 분석해야 합니다. 1. 가정 및 설정: - 두 섬의 인구는 기사(항상 진실을 말하는 사람)와 거짓말쟁이(항상 거짓말을 하는 사람)로만 구성되어 있습니다. - 한 섬에는 기사의 수가 짝수이고, 다른 섬에는 기사의 수가 홀수입니다. - 기사의 수가 짝수인 섬에는 보물이 묻혀 있습니다. - 우리는 A, B, C라는 주민이 있는 섬에 있습니다. 우리는 그 섬에 다른 손님이 없다고 가정합니다. 2. 진술 분석: - A: "이...	2
A: 우리는 둘 다 원숭이입니다. B: 우리는 둘 다 거짓말쟁이입니다. A와 B는 누구인가요?	1. $ A $와 $ B $가 한 말을 분석해봅시다. - $ A $는 말합니다: "우리는 둘 다 원숭이입니다." - $ B $는 말합니다: "우리는 둘 다 거짓말쟁이입니다." 2. $ B $의 말이 참일 가능성을 판단합니다. - 만약 $ B $가 참말을 하고 둘 다 거짓말쟁이라면, 거짓말쟁이는 자신이 거짓말쟁이라고 참말을 할 수 없으므로 모순이 발생합니다. - 따라서, $ B $의 말 "우리는 둘 다 거짓말쟁이입니다"는 거짓이어야 하며, 이는 $ B $가 거짓말쟁이라는 것을 의미합니다. 3. $ B $가 거짓...	3
일곱 명의 친구들이 각각 다른 수의 버섯을 수집하여 총 100개의 버섯을 모았습니다. 이 중 세 명이 적어도 50개의 버섯을 모았음을 보여주세요.	일곱 명의 친구들 중 세 명이 적어도 50개의 버섯을 모았음을 증명해보겠습니다. 1. 버섯을 수집한 수에 따라 친구들을 내림차순으로 정렬합니다: \[ a_1 > a_2 > \cdots > a_7 \] 여기서 $a_i$는 $i$-번째 친구가 수집한 버섯의 수를 나타냅니다. 2. $a_4 \geq 15$인 경우를 고려합니다: - 이 경우, 가장 큰 세 개의 값은 적어도 15, 16, 17이 될 것입니다. 이들의 합을 계산해봅시다: \[ a_3 + a_2 + a_1 \geq 16 + 17 + 18 = 51 \]...	3
무도회에서 어떤 소년도 모든 소녀와 춤을 추지 않았지만, 각 소녀는 적어도 한 명의 소년과 춤을 추었습니다. 춤 파트너의 두 쌍 $ f, g $와 $ f', g' $가 존재함을 보여주세요...	1. 무도회에서 어떤 소년도 모든 소녀와 춤을 추지 않았지만, 각 소녀는 적어도 한 명의 소년과 춤을 추었습니다. 2. 모순을 이용하여 춤 파트너의 두 쌍 $(f, g)$와 $(f', g')$가 존재함을 보일 것입니다. 이때 $g \neq g'$이고 $f \neq f'$입니다. 3. 모순을 가정하여 이러한 쌍이 존재하지 않는다고 가정하면, 모든 쌍 $(f, g)$가 소녀와 소년의 고유한 조합이어야 함을 의미합니다. 이는 각 소년이 한 명의 소녀와만 짝을 이룰 수 있음을 의미하며, 따라서 소녀와 소년의 매핑은 일대일 대응입니다. 4. 주어진 조건에서 각 ...	3
처음에는 서로 모르는 $5 \cdot 12$명의 사람들 중에서, 어떤 3명의 사람들이 이 그룹 내에서 서로 알고 있는 사람들의 수가 모두 같지 않도록, 그들 중 일부가 서로 알게 되는 것이 항상 가능하다는 것을 증명하세요.	1. 수학적 귀납법 기본 사례: - $ n = 2 $일 때, 서로 모르는 2명의 사람들로 인해 각 사람의 알려진 수는 $ 0 $이므로 조건이 충족됩니다. 2. 귀납법 가설: - 어떤 정수 $ n = k $에 대해, $ k $명의 사람들이 서로 알고 있는 방법이 있어서 어떤 3명의 그룹에 대해서도 그들이 알고 있는 지인의 수가 모두 같지 않다고 가정합니다. 3. 귀납법 단계: - 이제 $ n = k + 1 $을 고려합니다. - 귀납법 가설에 따라, $ k $명의 사람들에 대해 적합한 배열이 있...	3

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Korean Olympiad TDCS 3K

A balanced Korean Olympiad mathematics reasoning dataset derived from ChuGyouk/AI-MO-NuminaMath-CoT-Ko.

Splits

train: 3,000 rows (30 from every cluster × difficulty cell)
validation: 300 rows (3 from every cluster × difficulty cell)

Construction

Filtered source: olympiads
Problem embeddings: Qwen/Qwen3-Embedding-4B, 1,024 dimensions
Problem-type clusters: 20 spherical k-means clusters
Difficulty proxy: per-cluster quintiles of mean normalized next-token entropy from LGAI-EXAONE/EXAONE-4.0-1.2B over up to 512 generated reasoning tokens
Benchmark decontamination: rows with at least 95% fuzzy similarity to OlympiadBench-Math-Ko were excluded before sampling
Random seed: 42

Important limitations

Difficulty is model-relative uncertainty, not a human difficulty annotation.
Most uncertainty generations reached the 512-token limit, so entropy measures the first 512 reasoning tokens rather than final-answer confidence.
The upstream solutions are machine-generated translations/reasoning traces and may contain mathematical errors.
Fuzzy matching reduces benchmark leakage but cannot guarantee complete decontamination.

License

This derivative follows the upstream CC BY-NC 4.0 license.

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