problem_ko large_stringlengths 11 2.85k | solution_ko large_stringlengths 35 10k | difficulty_level int64 1 5 |
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삼각형 \(ABC\)에 내접하는 반지름이 2인 원이 변 \(BC\)에 접하는 점 \(D\)가 있습니다. 반지름이 4인 원이 변 \(AB\)와 \(AC\)의 연장선과 변 \(BC\)에 접하는 점 \(E\)가 있습니다. 각 \(ACB\)의 크기가 \(120^\circ\)일 때, 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하세요. |
1. **기하학적 설정 식별:**
- 삼각형 \( ABC \)와 두 개의 원이 있습니다:
- 첫 번째 내접원 (반지름 \( r = 2 \))은 변 \( BC \)에 점 \( D \)에서 접합니다.
- 두 번째 외접원 (반지름 \( R = 4 \))은 변 \( AB \)와 \( AC \)의 연장선과 변 \( BC \)에 점 \( E \)에서 접합니다.
- 각 \( \angle ACB = 120^\circ \).
2. **기하학적 성질 사용:**
- 내접원과 외접원의 중심 \( O_1 \)과 \( O_2 \)는 각의 이등분선에 위치합... | 2 |
C는 반원 지름 AB의 점으로, A와 B 사이에 있습니다. D는 C에서 AB에 내린 수선의 발입니다. 원 K1은 삼각형 ABC의 내접원이고, 원 K2는 선분 CD, DA와 반원에 접하며, 원 K3는 선분 CD, DB와 반원에 접합니다. K1, K2, K3가 AB를 제외한 다른 공통 접선을 가진다는 것을 증명하세요. | 1. **문제 설정:**
- \(C\)를 반원 지름 \(AB\)의 점으로 두고, \(C\)는 \(A\)와 \(B\) 사이에 있습니다.
- \(D\)를 \(C\)에서 \(AB\)에 내린 수선의 발이라고 합시다.
- \(\triangle ABC\)의 내접원을 \(K_1\), \(CD\), \(DA\)와 반원에 접하는 원을 \(K_2\), \(CD\), \(DB\)와 반원에 접하는 원을 \(K_3\)라고 표기합니다.
2. **주요 점과 거리:**
- 원 \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\)의 반지름을 각각 \(r_1\), \(r_2\), \... | 2 |
삼각형 \( \triangle ABC \)의 내접원 \( O \)가 \( BC \)에 접하고, 내접원의 반지름이 \( r \)입니다. 만약 \( AD = 2\sqrt{3} \), \( DB = \sqrt{3} \), 그리고 \( \angle A > 60^\circ \)일 때, \( r \)의 값의 범위는 무엇인가요? |
삼각형 \( \triangle ABC \)의 내접원 \( O \)가 \( BC \)에 접하고, 내접원의 반지름이 \( r \)입니다. 다음과 같은 데이터가 주어졌습니다:
- \( AD = 2 \sqrt{3} \)
- \( DB = \sqrt{3} \)
- \( \angle A > 60^\circ \)
이때, \( r \)의 값의 범위를 구해야 합니다.
#### 단계별 해결:
1. **주어진 길이를 삼각형 변과 관련시키기:**
다음과 같습니다:
\[
AD = 2\sqrt{3}, \quad DB = \sqrt{3}
\]
\( DC... | 2 |
반지름이 \(R\)인 원에 대해, 선분이 원과 점 \(A\)와 \(B\)에서 만나고, \(\angle AOB = 45^\circ\)입니다. 또한, 선분은 원의 중심을 지나고, 원의 지름 \(AM\)에 수직인 다른 선분과 점 \(K\)에서 만납니다. 점 \(B\)를 지나고, \(AM\)에 수직인 선분은 \(AM\)과 점 \(C\)에서 만납니다. 사다리꼴 \(OCBK\)의 넓이를 구하세요. |
1. 먼저, $BC$, $OC$, $AC$의 길이를 구해야 합니다. 문제에서 $\angle BOC = 45^\circ$입니다. $OB = OC = R$이므로, $\triangle BOC$는 $45^\circ$ 각을 가진 이등변 삼각형이므로, 45°-45°-90° 삼각형입니다. 이 삼각형의 변의 길이는 다음과 같습니다:
\[
BC = OC = \frac{R}{\sqrt{2}}
\]
2. 다음으로, $AC$를 계산합니다. $A$와 $B$는 원과 선분이 만나는 점이고, 호 $\overset{\frown}{AB}$가 중심 $O$에서 $45^\circ... | 2 |
한 변의 길이가 \( 20 \text{ cm} \)보다 큰 정사각형 \( PQRS \) 안에 정사각형 안에 접하는 가장 큰 원 \( O \)가 있습니다. 원 \( O \)의 둘레에 있는 점 \( T \)가 변 \( PS \)에서 \( 8 \text{ cm} \) 떨어져 있고, 변 \( PQ \)에서 \( 9 \text{ cm} \) 떨어져 있다면, 원 \( O \)의 반지름은 몇 cm인가요? |
1. **주어진 매개변수를 정의하고 도형을 그립니다:**
정사각형 $PQRS$에서 가장 큰 접하는 원의 중심이 $O$라고 가정합니다. 정사각형의 한 변의 길이가 $20\ \text{cm}$보다 크고, 점 $T$가 원 $O$의 둘레에 위치한다고 가정합니다. 점 $T$에서 변 $PS$까지의 거리는 $8\ \text{cm}$이고, 변 $PQ$까지의 거리는 $9\ \text{cm}$입니다.
2. **변수를 사용하여 문제를 설정합니다:**
원 $O$의 반지름을 $x$라고 가정합니다. 이때 $x > 10$입니다.
3. **거리를 $x$로 표현합니다:**
... | 2 |
a) 원 밖에 위치한 점 $A$에서 이 원과 교차하는 광선 $A B$와 $A C$를 그립니다. 각 $B A C$의 크기가 이 각 안에 포함된 원의 호의 각도의 절반과 같다는 것을 증명하세요.
b) 각 $B A C$의 꼭지점은 원 안에 위치합니다. 각 $B A C$의 크기가 각 $B A C$ 안에 포함된 원의 호의 각도와 꼭지점 $A$를 기준으로 대칭인 각 안에 포함된 원의 호의 각도의 절반과 같다는 것을 증명하세요. |
#### 부분 (a):
1. **주어진 조건**:
- 점 $A$는 원 밖에 위치합니다.
- 광선 $AB$와 $AC$는 각각 원과 교차하는 점 $B$와 $C$를 만듭니다.
2. **목표**:
- 각 $BAC$의 크기가 원 안에 포함된 호의 각도의 절반과 같다는 것을 증명합니다.
3. **개념**:
- 원에 대한 **외부 각의 정리**를 기억하세요. 이 정리에 따르면, 두 개의 현, 현과 접선, 또는 두 개의 접선이 원 밖에서 교차할 때, 형성된 각의 크기는 교차하는 호의 각도의 절반과 같습니다.
4. **단계별 증명**:
- 교차하는... | 2 |
다음 근사적인 구성을 계산기를 사용하여 정확성을 검토하세요. 원 $k$가 $AB$를 지름으로 가지고, $A$에서 두 번째 삼등분점이 $C$라고 가정합니다(즉, $AC = 2CB$). 또한, $D$는 $C$에서 $AB$에 수직인 현의 한쪽 끝점이고, $E$는 $A$를 중심으로 하고 반지름이 $AD$인 원의 선분 $AB$ 상의 교점입니다. 그러면 $BE$는 원 $k$에 내접하는 정17각형의 한 변의 길이와 거의 같습니다. |
1. **가정 및 내접 정17각형의 한 변의 길이 계산:**
우리는 원 \( k \)의 반지름이 1 단위라고 가정합니다. 따라서 내접 정17각형의 한 변의 길이는 다음과 같습니다:
\[\begin{aligned}
a_{17} &= 2 \sin \left( \frac{180^\circ}{17} \right) \\
&\approx 2 \sin(10.588^\circ) \quad \text{(삼각함수 표를 사용하여)} \\
&\approx 2 \cdot 0.1838 \quad \text{(삼각함수 표에서 보간하여)} \\
&\appro... | 2 |
그림과 같이 두 원이 외접하고 있습니다. 선분 $PAB$와 $PA'B'$는 원에 대한 공통 외접선이며, 작은 원에 $A$와 $A'$에서, 큰 원에 $B$와 $B'$에서 접합니다. 만약 $PA = AB = 4$일 때, 작은 원의 넓이는 얼마인가요?
(A) $1.44 \pi$
(B) $2 \pi$
(C) $2.56 \pi$
(D) $\sqrt{8} \pi$
(E) $4 \pi$
(1991년 제42회 미국 수학 경시대회 문제) |
1. **주어진 양과 관계 정의:**
- 큰 원의 반지름을 \( R \)이라고 하고, 중심을 \( O \)라고 합시다.
- 작은 원의 반지름을 \( r \)이라고 하고, 중심을 \( O' \)라고 합시다.
원들은 외접하고 있으므로, 반지름의 관계를 알 수 있습니다. \( PA = AB = 4 \)이므로, 점 \( P \)는 점 \( A \)와 \( B \)를 지나는 근축의 접점입니다.
2. **반지름 간의 관계 설정:**
- \( O' \)가 \( PO \)에 위치하므로, \( O' \)는 \( PO \)의 중점입니다. 따라서 다음과 같이 ... | 2 |
그림과 같이 반지름이 $9 \text{ cm}$, $3 \text{ cm}$, $1 \text{ cm}$인 서로 다른 크기의 세 개의 인접한 원이 있습니다. 가운데 원은 큰 원의 안쪽을 따라 시계 방향으로 아래로 굴러가고, 작은 원은 가운데 원의 안쪽을 따라 반시계 방향으로 위로 굴러가며, 둘 다 둘레를 따라 초당 1 cm의 속도로 움직입니다. 고정된 화살표가 작은 원 위에 있다면, 가운데 원이 한 바퀴를 완전히 돌고 다시 시작점으로 돌아올 때 화살표의 회전 각도(작은 원의 중심을 기준으로)는 얼마인가요? 답을 도 단위로 제공하세요. |
1. **반지름의 비율 결정:**
- 큰 원($R_L$), 중간 원($R_M$), 작은 원($R_S$)의 반지름이 각각 $9 \text{ cm}$, $3 \text{ cm}$, $1 \text{ cm}$로 주어졌습니다.
- 큰 원의 반지름과 중간 원의 반지름의 비율을 계산합니다:
\[
\frac{R_L}{R_M} = \frac{9 \text{ cm}}{3 \text{ cm}} = 3
\]
이는 큰 원의 둘레가 중간 원의 둘레의 $3$배임을 나타냅니다.
2. **둘레와 회전:**
- 중간 원은 큰 원의 안... | 2 |
그림과 같이 두 마리 개미 A와 B가 다음 원주를 따라 움직입니다. \( AC \)는 큰 원의 지름입니다. 점 \( B \)는 \( AC \) 위에 있으며, \( AB \)와 \( BC \)는 각각 두 개의 작은 원의 지름입니다. 개미 A는 큰 원을 시계 방향으로 움직이고, 개미 B는 화살표가 가리키는 방향으로 두 개의 작은 원을 따라 "8"자 모양으로 움직입니다(A → B → C → B → A). 두 개미는 동시에 점 \( A \)에서 출발하여 계속 움직입니다. 개미 A의 속도와 개미 B의 속도 비율은 \( v_{\text{A}} : v_{\text{B}} = 3 ... |
먼저, 개미 지아와 이가 이동하는 경로와 속도 비율을 이해합니다.
1. **경로와 속도**:
- 지아는 큰 원의 둘레를 따라 이동합니다.
- 이는 $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$를 포함하는 8자 모양의 경로를 따라 이동합니다.
- 두 개미의 한 바퀴에 대한 경로 길이는 동일하므로, 둘 다 $\pi \times AC$를 이동합니다.
- 속도 비율: $v_{\text{Jia}} : v_{\text{Yi}} = 3 : 2$는 각 시간 단위에 대해 지아가 3 단위를 이... | 2 |
삼각형의 내접원이 한 내각을 세 등분합니다. 다른 두 내각을 어떤 비율로 나누나요? |
주어진 삼각형을 \( ABC \)라고 하고, 내접원이 세 등분하는 내각을 \( AD \)라고 합시다. \( AD \)의 1/3이 1 단위 길이가 되도록 길이의 단위를 선택합니다. 이 설정에서 삼각형은 내접원 \( k \)를 가지며, \( AD \)와 교차하는 점은 \( G \)와 \( S \)입니다. 여기서 \( S \)는 삼각형의 무게중심입니다.
1. **주요 점 식별 및 표시:**
- \( B \)를 \( AD \)의 한 변에 있는 꼭짓점으로 하고, \( AB = x \)라고 합시다.
- 내접원이 변 \( BC \), \( CA \), \( AB \... | 3 |
주어진 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서, 변의 길이의 제곱의 합이 최대가 되는 삼각형을 찾으세요. | 주어진 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서, 변의 길이의 제곱의 합이 최대가 되는 삼각형을 찾으세요. | 3 |
삼각형 내부의 임의의 한 점에서 삼각형의 세 변까지의 거리의 합이 $6r$보다 작지 않음을 증명하세요. |
삼각형 내부의 임의의 한 점에서 삼각형의 세 변까지의 거리의 합이 $6r$보다 작지 않음을 증명해 보겠습니다.
1. **Case 1: \(\angle C \geq 120^\circ\)**
- 문제 12.21에 따르면, \(\angle C \geq 120^\circ\)인 경우, 삼각형 내부의 임의의 한 점에서 삼각형의 세 변까지의 거리의 합은 \(a + b\)보다 작지 않습니다. 여기서 \(a\)와 \(b\)는 삼각형의 세 변 중 두 변의 길이입니다.
따라서,
\[
d_A + d_B + d_C \geq a + b.
... | 3 |
삼각형에 내접하는 원이 있습니다. 원에 외접하는 정사각형이 있습니다. 정사각형의 둘레의 절반 이하가 삼각형 밖에 있음을 증명하세요. |
1. **접점 식별**:
삼각형은 내접하는 원에 세 점에서 접하고, 외접하는 정사각형은 원에 네 점에서 접합니다. 이는 삼각형-외접하는 원의 경계에서 삼각형의 세 접점 사이에 정사각형의 네 접점이 존재해야 함을 의미합니다.
2. **접점 분석**:
정사각형이 원에 네 점에서 접하고, 원이 삼각형 안에 내접하므로, 삼각형 안에 정사각형의 한 점(정사각형의 "모서리")이 반드시 존재합니다. 이는 삼각형의 두 접점 사이에 정사각형의 접점이 존재하기 때문입니다.
3. **둘레 고려**:
정사각형의 이러한 "모서리" 중 하나가 삼각형 안에 있다면,... | 3 |
두 개의 주어진 동심원에 세 개의 꼭짓점이 위치하고, 두 개의 주어진 직선에 평행한 변을 가진 직사각형의 네 번째 꼭짓점의 궤적을 구하세요. |
두 개의 주어진 동심원에 세 개의 꼭짓점이 위치하고, 두 개의 주어진 직선에 평행한 변을 가진 직사각형의 네 번째 꼭짓점의 기하학적 위치를 구하는 문제가 주어졌습니다.
1. **주어진 개체의 식별:**
- 반지름이 \( r \)과 \( R \)인 두 개의 동심원이 점 \( O \)를 중심으로 있다고 가정합니다. (\(R > r\))
- 직사각형이 \( ABCD \)이고, 이 두 동심원에 꼭짓점 \( A, B, \) 그리고 \( D \)가 위치한다고 가정합니다.
2. **꼭짓점의 위치 분석:**
- 꼭짓점 \( B \)와 \( D \)는 모두 작... | 3 |
이등변 삼각형의 같은 변 중 하나에 원을 지름으로 하여 다른 같은 변을 \(a\)와 \(b\)의 길이로 나눕니다.
삼각형의 밑변을 구하세요. |
이등변 삼각형 $ABC$에서 $AB = AC$이고, 원 $\Omega$가 $AB$를 지름으로 하여 그려집니다. 이 원은 변 $AC$와 점 $K$에서 만나며, $AC$를 $CK = a$, $AK = b$로 나눕니다.
삼각형의 밑변 $BC$를 구해야 합니다.
1. **직각 삼각형 성질 이용**:
- 원 $\Omega$가 $AB$를 지름으로 하여 그려졌으므로, $\angle AKB$는 직각입니다 (내접각의 성질).
- 피타고라스 정리에 따라, 삼각형 $AKB$에서:
\[
BK^2 = AB^2 - AK^2 = (a + b)^2 - ... | 3 |
삼각형 ABC가 원에 내접합니다. 점 P가 호 ACB를 따라 움직입니다. 모든 가능한 삼각형 ABP의 내접원의 중심들의 기하학적 위치를 구하세요. |
1. **주요 점과 선분 정의:**
- \( I \)를 삼각형 \( \triangle ABR \)의 내접원의 중심이라고 합시다.
- \( I \)가 내접원의 중심이므로, \( \angle AIR \)와 \( \angle BIR \)은 각각 각 \( \angle ARB \)와 \( \angle BAR \)의 이등분선입니다.
2. **이등분선 구성:**
- \( \angle ARB \)의 이등분선 \( RI \)를 고려합니다.
- \( RI \)를 연장하여 \( \triangle ABR \)의 외접원과 교차하는 점 \( M \)을 찾습니다... | 3 |
이등변 사다리꼴에서 반지름이 $R$인 두 개의 동심원이 있으며, 각 원은 두 밑변과 한 개의 옆변에 접하고, 원의 중심은 대각선에 위치합니다. 사다리꼴의 변을 구하세요. |
#### 단계 1:
반지름이 \( R \)인 두 개의 동심원이 있으며, 각 원은 두 밑변과 한 개의 옆변에 접하고, 원의 중심은 대각선에 위치하는 이등변 사다리꼴을 고려합니다.
#### 단계 2:
사다리꼴의 꼭짓점을 \( A, B, C, \) 및 \( D \)로 표시하고, \( AD \)와 \( BC \)는 사다리꼴의 밑변이고, \( AB \)와 \( CD \)는 평행하지 않은 옆변입니다. 원의 중심을 각각 \( O_1 \)과 \( O_2 \)로 표시합니다.
#### 단계 3:
사다리꼴의 대각선 \( AC \)와 \( BD \)는 한 점에서 교차하고, 대칭성으로... | 3 |
원과 같은 길이의 두 현: \( AB \)와 \( AC \)가 주어집니다. \( AB \)와 \( AC \)에 의해 세 개의 동일한 세그먼트로 분할되는 원의 현을 구성하세요. |
1. **대칭적인 해와 구성**
중심 \( O \)와 현 \( AB \)와 \( AC \)가 같은 길이의 원을 고려합니다. 하나의 해를 찾으면, 그 해의 \( AO \)에 대한 반사도 해가 됩니다. 특히, 원하는 현이 \( AO \)에 수직이고 따라서 \( BC \)에 평행한 해인 자기 반사가 존재할 수 있습니다.
- 이러한 현을 구성하려면, 점 \( B \)를 \( C \)에 대해 반사하여 \( B^* \)를 얻고, 선분 \( AB^* \)와 원의 두 번째 교차점을 \( E \)라고 합시다. 이제 \( E \)는 원하는 현 \( DE \)의 한쪽 끝... | 3 |
컴퍼스와 직선을 사용하여 주어진 선분 $a$에서 다음과 같은 선분 $b$를 구성하세요:
a) $a=\sqrt{5}$, $b=1$;
b) $a=7$, $b=\sqrt{7}$. |
주어진 작업은 컴퍼스와 직선을 사용하여 \( a \)에서 \( b \)를 구하는 구성입니다.
1. **Part a:**
- 주어진: \( a = \sqrt{5} \), \( b = 1 \).
이를 위해 다음 단계를 따르세요:
1. 직각 삼각형을 구성하고, 변(catheti)을 \( \sqrt{5} \)와 \( 2\sqrt{5} \)로 만듭니다.
2. 이 직각 삼각형의 빗변의 길이 \( c \)는 피타고라스의 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다:
\[
c = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 2... | 3 |
정사각형 다트판에 원이 내접해 있습니다. 다트판에 다트를 던져서 다트판에 임의의 위치에서 다트가 맞을 때, 모든 위치가 같은 확률로 맞을 때, 원 안에 맞을 확률은 얼마인가요? | 정사각형 다트판에 내접한 원 안에 다트가 맞을 확률을 구하기 위해서는 원의 넓이와 정사각형의 넓이를 비교해야 합니다. 아래는 단계별 풀이입니다:
1. **정사각형의 한 변의 길이 구하기**:
- 정사각형의 한 변의 길이를 \( s \)라고 가정합니다.
2. **원의 반지름 구하기**:
- 원이 정사각형에 내접하므로, 원의 지름은 정사각형의 한 변의 길이와 같습니다. 따라서 원의 반지름 \( r \)은 다음과 같습니다:
\[
r = \frac{s}{2}
\]
3. **정사각형의 넓이 계산**:
- 정사각형의 넓이 \( A... | 3 |
주어진 원에서 서로 수직인 두 지름을 그립니다. 원의 둘레에 있는 임의의 점 $P$에서 이 지름들에 수직인 선을 그립니다. 수직선의 길이의 합이 최대가 되는 $P$의 위치를 결정하세요. | ## 문제:
주어진 원에서 서로 수직인 두 지름을 그립니다. 원의 둘레에 있는 임의의 점 $P$에서 이 지름들에 수직인 선을 그립니다. 수직선의 길이의 합이 최대가 되는 $P$의 위치를 결정하세요.
## 풀이:
1. 원의 반지름을 $r$이라고 하고, 원의 둘레에 있는 점 $P$에서 두 수직선을 그립니다. 이 수직선들과 원의 중심을 지나는 선이 이루는 각을 $\alpha$라고 합시다.
2. 구하고자 하는 값은 수직선의 길이의 합으로, 이를 $s$라고 합시다.
\[ s = r (\sin \alpha + \cos \alpha) \]
3. $s$의 값을 최대화하는... | 3 |
직선 \( l \)과 직선 \( l \)에 평행한 선분 \( OA \)가 주어졌을 때, 양면자만을 사용하여 직선 \( l \)과 반지름이 \( OA \)인 원 \( O \)의 교점을 구하세요. |
1. **평행선 $l_1$ 그리기**:
주어진 선분 $OA$와 평행하고, $OA$와 $a$만큼 떨어진 선 $l_{1}$을 그립니다.
2. **임의의 점 $B$ 선택**:
주어진 직선 $l$ 위에 임의의 점 $B$를 선택합니다.
3. **교점 $B_1$**:
점 $O$와 $B$를 지나는 선을 그리고, 이 선이 선 $l_{1}$과 교차하는 점을 $B_1$이라고 합니다.
4. **$B_1$을 통한 평행선**:
점 $B_1$을 지나는 선분 $AB$와 평행한 선을 그립니다. 이 새로운 선은 선분 $OA$와 교차하는 점을 $A_1$이라고 합... | 3 |
두 원의 근축을 구성하는 방법을 찾으세요: 어떤 주목할만한 점을 통과하나요? 이미 알려진 객체와 관련하여 어떤 특성을 가지고 있나요? 세 원에 대해 동일한 힘을 가지는 점이 있는 경우는 언제인가요? 이러한 점을 어떻게 찾을 수 있나요? | 두 원의 근축을 결정하기 위해, 우리는 그 특성과 다른 주목할만한 점과의 교차점을 탐구할 것입니다.
1. **기하학적 위치**:
- 두 원에 대해 동일한 힘을 가지는 점들의 기하학적 위치는 근축이라고 하는 직선입니다.
2. **근축 결정**:
- 한 원이 다른 원 안에 완전히 포함되지 않는 경우, 근축은 두 원의 공통 접선의 중점을 통과합니다.
- 원이 교차하는 경우, 근축은 두 교차점을 통과합니다.
3. **수직성 특성**:
- 근축은 두 원의 중심을 연결하는 선분과 수직입니다. 이는 점의 힘과 수직 이등분선 정리를 사용하여 증명할 수 있... | 3 |
원과 직선이 점 \( M \)에서 만납니다. 이 원 위의 점 \( A \)와 \( B \)에서 직선에 수직인 선을 그으면, 각각 길이 \( a \)와 \( b \)가 됩니다. 점 \( M \)에서 선분 \( A B \)까지의 거리를 구하세요. | 원과 직선이 점 \(M\)에서 만납니다. 이 원 위의 점 \(A\)와 \(B\)에서 직선에 수직인 선을 그으면, 각각 길이 \(a\)와 \(b\)가 됩니다. 점 \(M\)에서 선분 \(AB\)까지의 거리를 구해야 합니다.
1. **접선-현의 정리 적용:**
이 정리는 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선과 현이 만나는 경우, 접선의 길이의 제곱은 현의 전체 길이와 외접선의 길이의 곱과 같다는 것을 말합니다.
2. **기하학적 설정 분석:**
- \(P\)를 원 \(M\)에서 접하는 접선 위에 있는 점이라고 합시다.
- \(C\)를 \(A\)와 \(... | 3 |
원호 \( A M B \)에 대해, \( A C D B \)가 내접하는 사다리꼴이 있습니다. 여기서 \( A C = C D \)이고 \( \angle C A B = 51^\circ 20^\circ \)입니다. 원호 \( A M B \)의 각도를 구하세요. |
주어진 정보:
- 원호 \(AMB\)에 대해, \(ACDB\)가 내접하는 사다리꼴이 있습니다.
- 사다리꼴 \(ACDB\)는 이등변 사다리꼴입니다 (\(AC = CD\)).
- \(\angle CAB = 51^\circ 20'\).
원호 \(AMB\)의 각도를 구하는 단계:
1. **이등변 사다리꼴의 성질:**
\(ACDB\)가 원에 내접하는 이등변 사다리꼴이므로, \(AC = CD\)를 의미합니다. 원에 내접하는 이등변 사다리꼴에서, 같은 변을 이등분하는 호의 각도도 같습니다.
2. **원주각:**
사각형 \(ACDB\)는 원주각이므로, \( \a... | 3 |
점 $A, B, C$가 원점 $O$를 중심으로 하는 원 위에 있고, $AB$가 내접하는 정육각형의 한 변이며, $BD$가 내접하는 정사각형 $(AC)$의 한 변과 같을 때, $OA$의 연장선에 있는 $AD$가 내접하는 십각형의 한 변의 길이임을 증명하세요. |
1. **주어진 정보 파악:**
다음과 같은 정보가 주어졌습니다:
- \( A, B, C \)는 원점 \( O \)를 중심으로 하는 원 위에 있습니다.
- \( AB \)는 원에 내접하는 정육각형의 한 변입니다.
- \( BD \)는 원에 내접하는 정사각형의 한 변과 같으며, 이는 \( AC \)와 같습니다.
2. **반지름 \( r \)로 변의 길이 표현:**
\( AB \)가 내접하는 정육각형의 한 변이므로,
\[
AB = r
\]
그리고 \( BD \ \)가 내접하는 정사각형의 한 변이므로,
\[
B... | 3 |
원의 현이 중심에서 거리 $h$만큼 떨어져 있습니다. 현이 이루는 각 세그먼트에서, 정사각형이 현에 접하도록 내접합니다. 이때, 정사각형의 두 인접한 꼭짓점은 호에, 다른 두 꼭짓점은 현 또는 그 연장선에 위치합니다. 이 정사각형의 변의 길이의 차이는 얼마인가요? |
1. 그림과 같이 정사각형의 꼭짓점을 표기하여 특정 지점을 쉽게 참조할 수 있도록 합니다:
- $O$를 원의 중심으로 두겠습니다.
- $H$를 주어진 현의 중점이라고 하겠습니다.
- $K$를 세그먼트 $AA_1$의 중점이라고 하겠습니다.
2. $\triangle AOH$와 $\triangle DAO$는 $OA = OB = R$이므로 이등변 직각삼각형입니다. 여기서 $R$은 원의 반지름입니다. 따라서, 각 $\alpha$ ($\alpha = \angle AHB = \angle A_1HD_1$)의 탄젠트를 표현할 수 있습니다. $\tan(\alp... | 3 |
그림은 변의 길이가 3, 4, 6인 삼각형을 보여줍니다. 삼각형의 각 꼭짓점에 반지름이 1인 원을 그립니다. 전체 음영 영역은 얼마입니까?
A) \(2 \pi\)
B) \(\frac{9 \pi}{4}\)
C) \(\frac{5 \pi}{2}\)
D) \(\frac{11 \pi}{4}\)
E) \(3 \pi\) |
1. **문제 이해:**
변의 길이가 3, 4, 6인 삼각형이 주어졌습니다. 삼각형의 각 꼭짓점에 반지름이 1인 원이 그려져 있습니다. 삼각형 내부의 부분을 제외한 원의 면적을 모두 더한 값을 구해야 합니다.
2. **내각의 합:**
삼각형의 내각의 합은 $180^\circ$입니다. 따라서:
\[
\text{모든 내각의 합} = 180^\circ
\]
3. **원의 면적:**
각 원의 반지름은 1입니다. 원의 면적 공식은 $A = \pi r^2$입니다. 반지름이 1인 경우:
\[
A_{\text{ci... | 3 |
한 정사각형이 원 안에 내접하고, 정사각형 안에 직사각형이 내접합니다. 직사각형 주위에 다른 원이 외접하고, 더 작은 원이 직사각형의 세 변에 접합니다. 두 개의 큰 원 사이의 음영 처리된 영역은 가장 작은 원의 면적의 8배이며, 이 원도 음영 처리되어 있습니다. 가장 큰 원의 음영 처리된 부분은 전체 원의 몇 분의 1인가요? |
1. **문제 설명 이해:**
- 한 정사각형이 더 큰 원 안에 내접합니다.
- 정사각형 안에 직사각형이 내접합니다.
- 이 직사각형 주위에 다른 원이 외접합니다.
- 더 작은 원이 직사각형의 세 변에 접합니다.
- 두 개의 큰 원 사이의 음영 처리된 영역은 가장 작은 원의 면적의 8배이며, 이 원도 음영 처리되어 있습니다.
2. **기하학적 관계 정의:**
- 정사각형의 한 변의 길이를 \( s \)라고 합시다.
- 첫 번째 원의 지름은 정사각형의 한 변의 길이인 \( s \)와 같으므로, 가장 큰 원의 반지름 \( R ... | 3 |
반지름이 6인 원에서 한 변의 길이가 \(\theta\)인 예각인 중심각 \(\theta\)를 이루는 부채꼴을 잘라냅니다. 이 부채꼴의 외접원의 반지름은:
(A) \(3 \cos \theta\).
(B) \(3 \sec \theta\).
(C) \(3 \cos \frac{1}{2} \theta\).
(D) \(3 \sec \frac{1}{2} \theta\).
(E) 3 . |
1. 주어진 문제는 반지름이 \( 6 \)인 원의 부채꼴 \( POQ \)를 포함하며, 이 부채꼴을 외접하는 원의 반지름을 구해야 합니다. 부채꼴은 중심 \( O \)에서 각 \( \theta \)를 이룹니다.
2. 관련된 기하학을 식별합니다: \( R \)과 \( C \)가 \( \theta/2 \)에서 수직선이 만나는 점인 삼각형 \( \triangle ORC \).
3. \( S \)를 \( \theta \)에서 절단된 호의 중점이라고 하면, \( \angle ROS = \frac{\theta}{2} \)가 됩니다.
4. 외접원의 반지름 \( OC ... | 3 |
제트 엔진이 장착된 작은 수레가 레일 위에 위치합니다. 레일은 반지름이 \( R = 5 \) 미터인 원 모양으로 놓여 있습니다. 수레는 정지 상태에서 출발하며, 제트 힘은 일정한 값을 가집니다. 이 시간 동안 수레의 가속도가 \( a = 1 \, \mathrm{m/s}^2 \)를 초과하지 않아야 할 때, 수레가 한 바퀴를 완전히 돌고 난 후 도달할 수 있는 최대 속도는 얼마인가요? |
1. 주어진 문제에 대해 먼저 생각해봅시다. 로켓 엔진이 장착된 작은 수레가 반지름이 \( R = 5 \) 미터인 원형 레일 위에 있습니다. 수레는 최대 가속도인 \( a = 1 \, \mathrm{m/s}^2 \)를 가지며, 한 바퀴를 완전히 돌고 난 후 도달할 수 있는 최대 속도를 구하는 것이 목표입니다.
2. 먼저, 총 가속도는 엔진에 의한 접선 가속도와 수레가 원형 경로를 따라 움직이는 것에 의한 원심 가속도로 구성됩니다. 접선 가속도인 \( a_1 \)은 다음과 같이 설명할 수 있습니다:
\[
a_1 = \frac{v^2}{2S}
\]
여기서 \( S \... | 3 |
반지름이 5인 구의 표면에 있는 두 점 $A$와 $B$가 있고, $AB = 8$입니다. 평면 $O_1AB$와 $O_2AB$는 서로 수직이며 $AB$를 지나갑니다. 이 평면들이 구와 교차하여 생성된 단면을 $\odot O_1$과 $\odot O_2$라고 합시다. $\odot O_1$과 $\odot O_2$의 면적을 각각 $S_1$과 $S_2$라고 할 때, $S_1 + S_2$를 구하세요. |
주어진 정보:
- 점 $A$와 $B$는 반지름이 5인 구의 표면에 있습니다.
- 거리 $AB = 8$입니다.
구의 중심을 $O$라고 하고, 선분 $AB$의 중점을 $M$이라고 합시다.
단면 $\odot O_1$과 $\odot O_2$의 면적 $S_1$과 $S_2$를 구해야 합니다.
1. 길이 $AM$과 $BM$을 구합니다:
$M$이 $AB$의 중점이기 때문에:
\[
AM = BM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4
\]
2. $O$, $A$, $B$와 구의 반지름 사이의 관계를 구합니다:
구의 반지름 ... | 3 |
지름이 \( d \)와 \( D \)인 두 원 (\( d < D \))이 반원의 호와 지름, 그리고 다른 원에 모두 접하도록 반원 안에 배치되어 있습니다. 원의 중심을 지나는 선분이 반원의 지름의 연장선과 점 \( M \)에서 만나도록 그립니다. 점 \( M \)에서 반원의 호에 접하는 접선을 그으면, 이 접선이 반원의 호와 만나는 점을 \( N \)이라고 할 때, \( MN \)을 구하세요. |
1. 주어진 원의 중심을 각각 \( O_1 \)과 \( O_2 \)라고 하고, 반지름을 각각 \( r \)과 \( R \)이라고 할 때, \( r < R \)입니다. 반원과 접하는 점을 각각 \( A \)와 \( B \)라고 하고, 선분 \( AB \)가 첫 번째 원과 두 번째 원에 접하는 점을 각각 \( C \)와 \( K \)라고 합니다. 반원의 지름과 접하는 점을 각각 \( P \)와 \( Q \)라고 하고, 반원의 중심을 \( H \)라고 합니다.
2. 삼각형 \( A H B \), \( K O_2 B \), \( A O_1 C \)는 이등변 삼각형이므로,... | 3 |
사다리꼴 \(K L M N\)이 중심 \(O\)를 가진 원에 내접하고, \(K L\)은 \(M N\)에 평행하며, \(K L = 8\), \(M N = 2\), 그리고 각 \(\angle N K L\)은 \(45^{\circ}\)입니다. 원의 현 \(M A\)는 선분 \(K L\)과 점 \(B\)에서 만나며, \(K B = 3\)입니다. 점 \(O\)에서 선분 \(A K\)까지의 거리를 구하세요. | ### 문제:
주어진 문제에서 중심 \( O \)를 가진 원이 있습니다. 이 원에 내접하는 사다리꼴 \( KLMN \)이 있으며, \( KL \parallel MN \), \( KL = 8 \), \( MN = 2 \), 그리고 \(\angle NKL = 45^\circ \)입니다. 원의 현 \( MA \)는 선분 \( KL \)과 점 \( B \)에서 만나며, \( KB = 3 \)입니다. 점 \( O \)에서 선분 \( AK \)까지의 거리를 구하는 것이 과제입니다.
1. **사다리꼴의 높이 식별:**
- \( KLMN \)이 등변 사다리꼴이므로 (원에... | 3 |
삼각형 \( ABC \)에서 \( \angle BAC = 90^\circ \)입니다. 원이 변 \( AB \)와 \( AC \)에 접하고, 원 위의 점 \( X \)와 \( Y \)가 각각 변 \( BC \)에 접합니다. 이때, 원 위의 점 \( X \)와 \( Y \)가 서로 대칭인 점을 \( P \)라고 할 때, \( AB = 6 \)일 때, 원 위의 점 \( P \)를 지나는 원의 넓이를 구하세요. |
1. **문제 이해**:
- 직각삼각형 \( \triangle ABC \)에서 \( \angle BAC = 90^\circ \)입니다.
- 원이 변 \( AB \)에 접하고, 원 위의 점 \( X \)와 \( Y \)가 각각 변 \( BC \)에 접합니다.
- 원 위의 점 \( X \)와 \( Y \)가 서로 대칭인 점을 \( P \)라고 할 때, \( AB = 6 \)일 때, 원 위의 점 \( P \)를 지나는 원의 넓이를 구하세요.
2. **반지름 \( r \) 구하기**:
- 원의 중심을 \( O \), 원 위의 점 \( X \)... | 3 |
밑변의 길이가 각각 \(BC = a\)와 \(AD = b\)인 이등변 사다리꼴 \(ABCD\)에 원이 내접합니다. 점 \(H\)는 꼭짓점 \(B\)를 \(AD\)에 내분한 점이고, 점 \(P\)는 점 \(H\)를 \(AB\)에 내분한 점이며, 점 \(F\)는 선분 \(BH\) 위에 있고 \(FH = AH\)입니다. \(AB\), \(BH\), \(BP\), \(DF\)를 구하고 이 값들을 오름차순으로 나열하세요. | 1. **\( a < b \)라고 가정합니다:**
- 밑변의 길이가 각각 \(BC = a\)와 \(AD = b\)인 이등변 사다리꼴 \(ABCD\)가 주어집니다.
- 또한 \(AB = CD\)가 주어집니다.
2. **사각형 내접원 성질:**
- 사각형이 내접원을 가지려면 대각선의 길이의 합이 같아야 합니다. 따라서,
\[
AB + CD = BC + AD = a + b.
\]
- \(AB = CD\)가 주어졌으므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[
AB = CD = \frac{a + b}{... | 3 |
세 개의 원 \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\), \(\Gamma_3\)이 모서리에 내접하고, \(\Gamma_1\)의 반지름이 가장 작습니다.
\(\ell\)을 \(\Gamma_1\)의 점 \(A\)에서의 접선이라고 합시다. \(\Gamma_1\)과 \(\ell\)에 모두 접하는 모든 원 \(\omega\)를 고려합니다. 원 \(\omega\)와 \(\Gamma_3\)의 쌍에 대한 공통 내부 접선의 교점의 위치를 구하세요. |
세 개의 원 \( \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3 \)이 모서리에 내접하고, \( \Gamma_1 \)의 반지름이 가장 작습니다. 다음과 같이 표기합시다:
- \( \ell \)은 \( \Gamma_1 \)의 점 \( A \)에서의 접선입니다.
- \( \Gamma_1 \)과 \( \ell \)에 모두 접하는 모든 원 \( \omega \)를 고려합니다.
원 \( \omega \)와 \( \Gamma_3 \)의 쌍에 대한 공통 내부 접선의 교점의 위치를 구하세요.
# 개요:
1. **기하학 이해:**
- \( \Gamma_1, \Ga... | 3 |
두 개의 동심원으로 둘러싸인 그림의 음영 처리된 영역을 고리(annulus)라고 합니다. 이 원들의 반지름은 \(2 \text{ cm}\)와 \(14 \text{ cm}\)입니다.
점선 원은 이 고리의 면적을 두 개의 동일한 면적으로 나눕니다. 이 원의 반지름은 얼마인가요?
A \(9 \text{ cm}\) B \(10 \text{ cm}\) C \(11 \text{ cm}\) D \(12 \text{ cm}\) E \(13 \text{ cm}\) | 1. 점선 원의 반지름을 \( r \mathrm{~cm} \)라고 합시다. 이 반지름을 구하여 고리의 면적이 점선 원으로 두 개의 동일한 면적으로 나뉘도록 해야 합니다.
2. 고리의 전체 면적은 큰 원의 면적에서 작은 원의 면적을 뺀 값입니다. 면적 \(A\)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
\[
A = \pi \times 14^{2} - \pi \times 2^{2} = \pi (14^{2} - 2^{2}) = \pi (196 - 4) = \pi \times 192
\]
3. 점선 원이 고리를 두 개의 동일한 면적으로 나누므로, 각 부분의 면... | 3 |
$2b$를 필드의 너비, $2a$를 골대의 너비, $c$를 사이드라인까지의 거리라고 합시다. 두 골대(점 $A_{1}$과 $A_{2}$)를 지나는 원을 그리면, 이 원은 선수가 달리는 선과 접합니다(접점은 $B$입니다). 그러면 각 $A_{1} B A_{2}$는 최대값입니다(다른 각은 원에 내접하는 해당 각에서 어떤 양을 뺀 값과 같습니다). 이 원의 반지름은 $b - c$입니다.
피타고라스의 정리에 따라:
$$(b - c)^{2} = a^{2} + x^{2}$$
여기서 $x$는 원하는 거리입니다. 따라서:
$$x = \sqrt{(b - c)^{2} - a^{2}}... |
1. **변수 정의:**
- 필드의 너비를 \(2b\)라고 합시다.
- 골대의 너비를 \(2a\)라고 합시다.
- 사이드라인까지의 거리를 \(c\)라고 합시다.
- 주어진 조건을 만족하는 거리 \(x\)를 구해야 합니다.
2. **기하학적 맥락 소개:**
- 문제에서는 골대의 두 점 \(A_1\)과 \(A_2\)를 지나는 원을 고려하고, 이 원이 축구 선수가 따라가는 선과 접하는 점 \(B\)를 언급합니다. 이 맥락에서 \(B\)는 접점이며, \(A_1B\)와 \(A_2B\)는 최대값을 가지는 각을 형성합니다.
3. **원의 반지름:*... | 3 |
지름, 현, 이등분선 |
1. **가정 및 도형**:
우리가 구성해야 하는 현 \( AB \)를 고려합니다. 주어진 원의 반지름 \( OP \)와 \( OQ \)가 이를 세 개의 세그먼트로 분할한다고 가정합니다: \( AM = MN = NB \).
2. **중점의 성질**:
- 현 \( AB \)의 중점 \( F \)는 세그먼트 \( MN \)의 중점이기도 합니다.
- 따라서, 원이 광선 \( OF \)와 교차하는 점 \( K \)는 호 \( PQ \)의 중점입니다.
3. **세그먼트 및 호의 성질**:
- \( K \)가 \( PQ \)의 중점이므로, 호 \(... | 4 |
주어진 반원과 그 지름에 접하는 원의 중심들의 집합을 결정하세요. |
주어진 반원과 그 지름에 접하는 원의 중심들의 집합을 결정하기 위해, 이 집합이 반원 안에 있는 포물선의 호의 일부임을 보이려고 합니다. 이 포물선의 초점은 반원의 중심 \( O \)이고, 직선은 지름에 평행한 선 \( e \)입니다. 다음 기하학적 설정을 고려하여 시작하세요:
1. **주어진 요소 정의**:
- 반원의 중심을 \( O \)로, 반지름을 \( R \)로 두겠습니다.
- 지름을 \( AB \)로 표기합니다.
- 반원의 중심 \( O \)와 지름 \( AB \)에 접하는 원의 중심을 \( K \)로 두겠습니다.
2. **접선의 성질*... | 4 |
같은 꼭짓점에서 내린 수선과 중선, 그리고 외접원의 반지름을 이용하여 삼각형을 구성하세요. |
높이 \( AH \), 꼭짓점 \(A\)에서 내린 중선 \( AM \), 그리고 외접원의 반지름 \(R\)을 이용하여 삼각형 \( \triangle ABC \)를 구성해야 합니다. 단계는 다음과 같습니다:
1. **기호 및 사전 정보**:
- 필요한 삼각형을 \( \triangle ABC \)라고 합시다.
- \( AH \)는 꼭짓점 \( A \)에서 변 \(BC\)까지의 높이를 나타냅니다.
- \( AM \)은 꼭짓점 \( A \)에서 변 \( BC \)의 중점 \( M \)까지의 중선을 나타냅니다.
- \( R \)은 \( \tri... | 4 |
각과 그 안에 있는 두 점을 주면, 이 점들을 지나고 각의 변에 대해 동일한 세그먼트를 자르는 원을 구성하세요. | 각과 그 안에 있는 두 점을 지나고 각의 변에 대해 동일한 세그먼트를 자르는 원을 구성하려면:
1. **주어진 요소 식별**:
- 각을 $\angle XOY$로 표기합니다.
- 각 안에 있는 두 점을 $A$와 $B$로 표기합니다.
2. **원 성질에 대한 관찰**:
- 원이 각의 변에 대해 동일한 세그먼트를 자르면, 원의 중심은 각의 양변으로부터 동일한 거리에 있어야 합니다. 즉, 중심은 각의 이등분선에 위치합니다.
3. **기하학적 구성**:
- $\angle XOY$의 이등분선을 구성합니다. 이등분선은 각의 양변으로부터 동일한 거리에 있... | 4 |
주어진 원에 대해 주어진 지름과 평행한 현을 그려서, 이 현과 지름이 최대 둘레를 가지는 사다리꼴의 밑변이 되도록 하세요. |
1. **문제 설정**:
원에 내접하는 사다리꼴 \( ABCD \)를 고려하고, 그 밑변 중 하나가 원의 지름이라고 가정하고, 원의 반지름 \( R \)과 사다리꼴의 다리 길이를 나타내는 \( x \)에 대한 둘레의 식을 구하세요.
2. **사다리꼴과 중요한 선분 표시**:
사다리꼴의 다리를 \( AB \)와 \( CD \)로, 밑변을 \( BC \)와 \( AD \)로 표시하고, \( AD \)가 원의 지름이라고 가정합니다. \( AB = CD = x \)라고 가정합니다. 내접하는 사다리꼴의 경우, 항상 이등변 사다리꼴이므로 \( AB = CD = x... | 4 |
한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각이 $70^{\circ}$입니다.
접선의 교점과 원 위의 한 점을 지나는 호의 각도를 구하세요. |
접선의 교점과 원 위의 한 점을 지나는 호의 각도를 구하기 위해 다음 단계를 따르세요:
1. **기하학 이해**:
- 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선이 있을 때, 원 중심을 기준으로 두 삼각형이 형성됩니다.
- 접선은 공통점에서 연장되므로 길이가 같습니다.
- 접선 사이의 각은 \(70^{\circ}\)입니다.
2. **내각 결정**:
- 우리의 상황에서, 두 접선과 원 중심을 연결하는 선분으로 이등변 삼각형을 형성했습니다. 이등변 삼각형의 밑각은 접점에서의 각이 같습니다.
- 접선 사이의 중심각(외부점과 원 중심을 통과... | 4 |
P, Q, R, S, T가 반지름이 1인 원 위에 있는 점입니다. 둘레와 다섯 개의 대각선의 합을 최대화하려면 어떻게 배치해야 할까요? |
1. **소개**:
- 반지름이 1인 원 위에 있는 다섯 점 \(P, Q, R, S, T\)의 배치를 찾아 둘레와 다섯 개의 대각선의 길이의 합을 최대화해야 합니다.
2. **둘레 최대화**:
- 먼저, 둘레를 최대화하는 문제를 고려합니다. 핵심 관찰은 원에 내접하는 다각형의 둘레는 꼭짓점이 균등하게 배치될 때 최대화된다는 것입니다.
- 원 위의 점 \( A \)와 \( B \)를 고려하고 \(X\)를 호 \(AB\) 위의 점이라고 합시다. 우리는 \(AX + BX\)를 최대화하려고 합니다.
3. **수학적 공식화**:
- \(O... | 4 |
단위 구의 표면에 반지름이 같은 5개의 원을 그려서 원의 윤곽이 서로 교차하지 않도록 합니다. 이 원의 최대 가능한 반지름은 얼마인가요? |
1. **문제 이해:**
- 단위 구(반지름 = 1)가 있습니다.
- 이 구의 표면에 반지름이 같은 5개의 원을 그려야 합니다.
- 원은 서로 겹치지 않아야 합니다.
2. **원을 이용한 구의 덮기:**
- 구에 5개의 원을 배치하고, 각 원의 반지름 \( r \)을 동일하게 합니다.
- 원이 서로 교차하지 않도록 해야 합니다.
3. **수학적 표현:**
- 단위 구의 표면 면적은 \( 4\pi \)입니다.
- 다섯 개의 원은 각각 구의 표면 면적을 초과하지 않는 면적을 가져야 합니다.
- 구의 원 면적 \( A \)는... | 4 |
반지름이 4인 원이 삼각형 안에 내접해 있습니다. 삼각형의 한 변은 접점에서 6과 8의 비율로 나누어집니다. 삼각형의 다른 두 변을 구하세요.
|
1. **접점 식별:**
삼각형 \( ABC \)의 변 \( BC \), \( AC \), \( AB \)에 내접하는 원의 접점을 각각 \( K, M, N \)이라고 합시다. \( BK = 8 \)이고 \( KC = 6 \)이므로, \( CK = 6 \)이고 \( BN = 8 \)입니다.
2. **변수 할당:**
\( AM = AN = x \)라고 합시다. 내접하는 원의 변분할이 삼각형의 변을 분할하므로, 다음과 같습니다:
- \( AC = AM + MC = x + 6 \)
- \( AB = AN + NB = x + 8 \)
- \( ... | 4 |
원점(0, 0)을 중심으로 반지름이 6인 원을 그립니다. 이 원의 내부에 꼭짓점이 정수 좌표인 변의 길이가 1인 정사각형이 몇 개 있는지 구하세요. |
원점(0, 0)을 중심으로 반지름이 6인 원의 내부에 꼭짓점이 정수 좌표인 변의 길이가 1인 정사각형이 몇 개 있는지 구해보겠습니다.
원의 방정식은 다음과 같습니다:
\[ x^2 + y^2 = 36 \]
원이 원점을 중심으로 하고 반지름이 6이므로, 먼저 1사분면을 고려하고 대칭성을 고려하여 나중에 4를 곱할 것입니다.
#### 1사분면에서의 단계별 계산:
1. **\( x = 0 \)일 때**:
- 원의 수직 경계는 다음과 같습니다:
\[ y = \sqrt{36 - 0} = 6 \]
- 가능한 \( y \)-값은 [0, 5] 범위입니다.... | 4 |
원과 그 안에 있는 두 점 \( A \)와 \( B \)가 주어졌을 때, 원의 내부에 직각삼각형을 내접시키되, 그 변들이 주어진 점들을 지나도록 하세요. |
1. **문제 기하학과 조건 정의:**
원 \( \omega \)의 중심 \( O \)와 \( \omega \) 내부에 있는 두 점 \( A \)와 \( B \)가 있다고 가정합니다. 우리는 \( \omega \) 내부에 직각삼각형을 내접시키되, 그 변들이 점 \( A \)와 \( B \)를 지나도록 하려고 합니다.
2. **삼각형의 위치:**
원하는 직각삼각형을 \( \triangle ABC \)라고 하고, \( C \)는 직각의 꼭짓점, 즉 \( \angle ACB = 90^\circ \)입니다.
3. **내접 직각삼각형 성질:**
삼각형이 ... | 4 |
짧은 밑변이 6인 사다리꼴에 내접하는 원이 있습니다. 평행하지 않은 두 변 중 하나는 접점에서 9와 4의 세그먼트로 나뉩니다. 사다리꼴의 넓이를 구하세요. |
사다리꼴을 \(ABCD\)로 표기하고, 평행한 두 변을 \(AB\)와 \(CD\)로 표기합니다. 이때, \(CD < AB\)입니다. \(CD = 6\)이고, 사다리꼴에 내접하는 원이 있으며, 다리 중 하나(예를 들어, \(AD\))가 접점에서 9와 4의 세그먼트로 나뉩니다.
1. **\(AD\)의 길이 구하기:**
\(AD\)는 접점에서 세그먼트로 나뉜 사다리꼴의 다리이므로, 다음을 알 수 있습니다:
\[
AD = 9 + 4 = 13
\]
2. **접선의 성질:**
원에 대한 외부 점에서 그은 접선은 길이가 같습니다. \... | 4 |
넓이가 \( B \)인 다각형이 넓이가 \( A \)인 원에 내접하고, 넓이가 \( C \)인 원에 외접합니다. \( 2B \leq A + C \)를 증명하세요. |
1. **문제 소개:**
넓이가 \( B \)인 다각형이 넓이가 \( A \)인 원에 내접하고, 넓이가 \( C \)인 원에 외접합니다. 다음 부등식을 증명해야 합니다:
\[
2B \leq A + C.
\]
2. **동심원의 중심 정의:**
내접하는 원을 외접하는 원으로 변환하는 동심원의 중심을 \( O \)라고 합시다.
3. **평면 분할:**
다각형의 꼭짓점과 내접하는 원의 접점을 지나는 선분을 사용하여 평면을 섹터(부분)로 나눕니다.
4. **섹터별 분석:**
두 개의 연속된 선분으로 형성된 개별 섹터를 고려합니다.... | 4 |
반지름이 $r$인 원에 내접하는 볼록한 접선 사각형 $A B C D$가 주어졌을 때, 중심이 $O$로 표시된 원의 외접원의 반지름이 적어도 $r$임을 증명하세요. |
반지름이 $r$인 원에 내접하는 볼록한 사각형 $ABCD$가 주어졌습니다. 이 사각형의 외접원의 반지름이 적어도 $r$임을 증명하는 것이 과제입니다.
이를 위해, 삼각형 $OAB$와 $OCD$에서 $O$를 중심으로 하는 두 각이 모두 예각이 될 수 없음을 보여야 합니다.
1. **어떤 각이 둔각 또는 직각인지 확인:**
예를 들어, $\angle AOB$가 둔각 또는 직각이라고 가정해 봅시다. $\angle AOB$가 둔각 또는 직각인 경우 (그림 1), 삼각형 $OAB$의 외접원의 중심 $K$는 삼각형 바깥에 (또는 경계에) 위치하게 됩니다. 구체적으... | 4 |
삼각형의 내접원과 외접원의 중심 사이의 거리를 \( d \)라고 할 때, 다음을 증명하세요.
\[ d^{2} = R^{2} - 2 R r \quad (\text{Euler}). \] |
1. **원 중심과 주요 점 정의:**
\( \triangle ABC \) 주변의 외접원(circumcircle)의 중심을 \( O \)라고 하고, \( \triangle ABC \)의 내접원(incircle)의 중심을 \( O_1 \)이라고 합시다. 각 \( B \)의 이등분선이 외접원과 만나는 점을 \( M \)이라고 합시다.
2. **거리 관계:**
점 \( O_1 \)은 중심 \( O \)로부터 거리 \( d \)만큼 떨어져 있으므로, \( d \), 외접원의 반지름 \( R \), 그리고 내접원의 반지름 \( r \) 사이의 관계를 찾아야 ... | 4 |
반지름이 \( R \)이고 높이가 \( H \)와 \( h \)인 두 원뿔의 꼭짓점이 밑면의 반대편에 위치합니다. 이 원뿔들의 두 생략선이 밑면의 원둘레에서 이루는 각과 그 거리를 구하세요. |
반지름이 $R$이고 높이가 $H$와 $h$인 두 원뿔이 공통의 밑면을 가지고 있다고 가정합니다. 이 원뿔들의 꼭짓점을 각각 $A$와 $B$라고 합시다. \(A K\)와 \(B M\)을 각각의 원뿔의 생략선이라고 합시다. 이 두 생략선 사이의 각과 거리를 구하는 것이 목표입니다.
1. **문제의 기하학적 구조:**
- 밑면의 중심을 \(O\)라고 하고, 꼭짓점 \(A\)와 \(B\)는 \(O\)로부터 각각 \(H\)와 \(h\)의 거리에 위치합니다.
- 밑면의 원둘레에서 반대편에 위치한 두 생략선이 밑면의 중심에서 이루는 각은 $90^{\circ}$... | 4 |
한 원이 사다리꼴 안에 내접해 있습니다. 사다리꼴의 한 밑변과 그 밑변에 접하는 원 위의 한 점을 지나는 직선이 원과 만나는 점을 지나는 접선이 그 사다리꼴의 다른 밑변을 이등분한다는 것을 증명하세요. |
1. **도형과 설정:**
- \(A B C D\)를 밑변 \(A B\)와 \(C D\), 그리고 다리 \(A D\)와 \(B C\)를 가진 내접 사다리꼴이라고 합시다.
- 사다리꼴의 내접원은 \(C D\)에 접하는 점 \(T\)와 \(A B\)에 접하는 점 \(L\)을 가집니다.
- \(A B\)의 중점 \(M\)을 정의합니다.
- 다리 \(A D\)와 \(B C\)의 교점 \(F\)를 정의합니다.
2. **변환과 대칭:**
- 직선 \(F T\)가 내접원과 만나는 점에서의 접선 \(S\)가 \(M\)을 지나야 함을 보여야 합... | 4 |
반지름이 \( R \)과 \( r \)인 원의 공통 내접선은 공통 외접선과 점 \( A \)와 \( B \)에서 만나고, 한 원과 점 \( C \)에서 만납니다. \( AC \cdot CB = Rr \)을 증명하세요. |
1. **기하학적 이해**: 반지름이 \( R \)과 \( r \)인 두 원과 공통 외접선이 주어지고, 이 외접선은 점 \( A \)와 \( B \)에서 만납니다. 또 다른 접선은 한 원과 점 \( C \)에서 만납니다.
2. **중심과 접점의 정의**: 원의 중심을 \( O_1 \)과 \( O_2 \)라고 합시다. 접선 \( AB \)는 각각 원과 점 \( C \)와 \( D \)에서 만납니다. 따라서, 다음과 같습니다:
\[
AC \text{ and } BD \text{ are tangents to their respective circles ... | 4 |
우리는 원에 두 개의 접선을 그렸습니다. 원 위의 임의의 점 $C$에서 접선까지의 거리를 $a$와 $b$라고 하고, 점 $C$에서 접선의 교점까지의 거리를 $c$라고 합시다. $c$가 거리 $a$와 $b$의 기하평균임을 증명하세요. |
1. 접선이 원과 만나는 점을 $A$와 $B$라고 합시다. 원 위의 임의의 점 $C$를 선택합니다. 점 $C$에서 접선까지의 거리는 각각 $a$와 $b$입니다. 점 $C$에서 접선의 교점까지의 거리는 $c$입니다.
2. 먼저, $C$가 $A$ 또는 $B$와 일치하는 경우를 분석해 보겠습니다. 이 경우, 점 $C$에서 선분 $AB$까지의 거리 $c$는 0입니다. 즉, $c=0$입니다. 거리 $a$와 $b$도 접선 자체를 따라가므로, 그 중 하나는 0이 됩니다. 따라서 이 특별한 경우에는:
\[
c = 0 \quad \text{and} \quad a \cd... | 4 |
이등변 삼각형에 원이 내접합니다. 접점들은 꼭짓점에서 시작하여 각 변을 \( m \)과 \( p \)의 길이로 나눕니다. 삼각형의 각 변에 평행한 세 개의 접선이 원에 그려집니다. 삼각형의 변 사이에 포함된 접선의 세그먼트의 길이를 구하세요. |
1. **삼각형과 변수 설정:**
$ABC$를 $AB = BC$인 이등변 삼각형이라고 합시다. 이 삼각형 내에 내접하는 원이 있고, 이 원은 각각 $BC$, $AB$, $AC$에 접하는 점 $P$, $Q$, $R$을 가집니다. 세그먼트 $BP = BQ = m$과 $AR = RC = n$을 정의합니다. 따라서 $AC = 2n$입니다.
2. **둘레 계산:**
삼각형 $ABC$의 둘레는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
\[
AB + BC + AC = 2m + 2n + 2n = 2(m + 2n)
\]
3. **평행선 고려:**
... | 4 |
원의 한 점에서 세 개의 현이 출발합니다. 두 개의 바깥쪽 현은 가운데 현과 $60^{\circ}$ 각을 이룹니다. 다음을 증명하세요.
a) 원의 세 현의 끝점은 정삼각형을 형성합니다.
b) 가운데 현의 길이는 두 개의 바깥쪽 현의 길이의 합과 같습니다. | ### 문제:
원의 한 점에서 세 개의 현이 출발합니다. 두 개의 바깥쪽 현은 가운데 현과 $60^{\circ}$ 각을 이룹니다. 다음을 증명하세요.
a) 원의 세 현의 끝점은 정삼각형을 형성합니다.
b) 가운데 현의 길이는 두 개의 바깥쪽 현의 길이의 합과 같습니다.
#### 부분 (a)
1. 원의 한 점을 \(P\)라고 하고, 세 개의 현이 출발하는 점을 \(A\), \(B\), \(C\)라고 합시다.
2. \(\angle APC\)와 \(\angle APB\)는 모두 \(60^\circ\)입니다.
3. 그러나 이 각들은 현이므로, 현이 이루는 다른 ... | 4 |
그림과 같이 \( AB = 40 \text{ cm} \)일 때, 도형의 곡선은 서로 다른 반지름을 가진 세 개의 반원을 부드럽게 연결하여 형성됩니다. 음영 처리된 영역의 넓이를 \(\text{cm}^2\) 단위로 구하세요. (단, \(\pi\)는 3.14로 가정합니다.) |
주어진 \( AB = 40 \, \text{cm} \)이고, 곡선은 서로 다른 반지름을 가진 세 개의 반원으로 만들어졌으므로, 음영 처리된 영역의 넓이를 구해야 합니다.
먼저, 반원의 반지름을 표기해 보겠습니다. 선분 \( AB \)는 각 반원의 중점(midpoint)에 의해 작은 세그먼트로 나뉩니다.
1. 각 반원의 반지름을 계산합니다:
- 가장 큰 반원의 지름은 \( AB = 40 \, \text{cm} \)입니다. 따라서 반지름 \( R = \frac{40}{2} = 20 \, \text{cm} \)입니다.
- 다음 반원의 반지름은 큰 반원의 지... | 4 |
정사각형 모양의 초원에 원형의 구덩이가 있습니다. 메뚜기가 초원에서 뛰어다니고 있습니다. 메뚜기는 각 점프 전에 정사각형의 꼭짓점을 선택하고 그 꼭짓점을 향해 점프합니다. 각 점프의 길이는 선택한 꼭짓점까지의 거리의 절반과 같습니다.
메뚜기는 구덩이에 착지할 수 있을까요? |
메뚜기가 구멍에 착지할 수 있는지 확인하기 위해, 우리는 다음과 같은 명제를 귀납법을 사용하여 증명할 것입니다. 정사각형의 각 변을 $2^n$개의 동일한 부분으로 나누고, 이 분할점을 통과하는 변에 평행한 선을 그으면, 메뚜기는 결과적으로 생성된 $4^n$개의 셀 중 어느 곳에나 착지할 수 있습니다.
1. **기본 사례 (n = 0):**
- $n = 0$일 때, 정사각형은 분할되지 않았으므로 셀은 하나뿐이며, 이는 정사각형 자체입니다. 메뚜기는 이미 정사각형 내의 어느 곳이든 있을 수 있으므로 명제는 자명하게 참입니다.
2. **귀납적 단계:**
... | 4 |
\(\Omega\)를 반지름이 4인 구이고, \(\Gamma\)를 반지름이 2인 구라고 합시다. 이때, \(\Gamma\)의 중심이 \(\Omega\)의 표면에 위치한다고 가정합니다. \(\Omega\)와 \(\Gamma\)의 표면의 교차점은 원입니다. 이 원의 둘레를 계산하세요. |
1. **문제 이해:**
- 반지름이 4인 구 $\Omega$가 $O_1$을 중심으로 하고 있습니다.
- 또 다른 구 $\Gamma$가 $O_2$를 중심으로 하고 있으며, $O_2$는 $\Omega$의 표면에 위치합니다.
- $\Omega$와 $\Gamma$의 표면의 교차점이 이루는 원의 둘레를 구해야 합니다.
2. **단면 설정:**
- $O_1$과 $O_2$를 모두 포함하는 평면을 고려합니다. 이 평면과 $\Omega$ 및 $\Gamma$의 교차점은 반지름이 4인 원과 반지름이 2인 원을 형성합니다.
- $O_1$은 반지름이 4인 큰... | 4 |
원형 운동장의 중앙에는 지질학자들의 집이 있습니다. 집에서 8개의 직선 도로가 뻗어나와 운동장을 8개의 동일한 섹터로 나눕니다. 두 명의 지질학자가 무작위로 어떤 도로를 선택하여 집에서 4km/h의 속도로 여행을 시작합니다. 1시간 후 그들 사이의 거리가 6km보다 클 확률을 구하세요. | ## 풀이:
두 지질학자의 거리가 1시간 후 6km보다 클 확률을 구하기 위해서는 원형 운동장과 그 중앙에 있는 지질학자의 집의 배치로 인해 가능한 경로와 거리를 분석해야 합니다.
### 단계 1: 이웃한 도로의 거리 계산
먼저, 지질학자들이 이웃한 도로를 따라 이동하는 경우의 거리를 계산합니다. 문제에 따르면, 원형 운동장을 8개의 동일한 섹터로 나누는 8개의 방사형 도로가 있습니다. 인접한 도로 사이의 각도는 $45^\circ$입니다.
1. **코사인 정리**를 사용하여, 인접한 도로를 따라 이동하는 두 지질학자 사이의 거리 $x$는 다음과 같습니다:
\[
... | 4 |
직각삼각형 \(PQR\)에서 빗변 \(PR\)을 지름으로 하는 원을 그리고, 이 원이 빗변 \(PQ\)와 만나는 점을 \(T\)라고 할 때, 원 \(T\)를 지나는 접선을 그으면, 이 접선이 변 \(RQ\)와 만나는 점을 \(S\)라고 할 때, \(PT = 15\)이고 \(QT = 5\)일 때, \(SQ\)의 길이를 구하세요. | 1. 직각삼각형 $PQR$에서 $PR$을 지름으로 하는 원을 그리고, 이 원의 반지름을 $R = \frac{PR}{2}$라고 할 때, $PR$이 지름이므로 반원에 내접하는 각 $PQR$은 직각이므로 $\angle PTR = 90^\circ$를 보장합니다.
2. 원은 $\triangle PQR$의 빗변 $PQ$와 만나는 점 $T$를 지납니다. $PT = 15$이고 $QT = 5$일 때, $T$를 지나는 접선이 $RQ$와 만나는 점 $S$를 지나는 선분 $SQ$의 길이를 구해야 합니다.
3. $ST$와 $SR$은 점 $S$에서 원에 접하는 접선 세그먼트이므로, $ST... | 4 |
주어진 도표에는 정사각형 창문의 청사진이 있습니다. 네 개의 동일한 원은 각각 작은 정사각형의 한 꼭지점을 지나가며, 인접한 원과 닿을 수 있습니다. 네 개의 원형 영역과 작은 정사각형 영역은 음영 처리되어 있으며, 나머지 큰 정사각형은 투명합니다. 음영 처리된 영역의 총 면적이 a) 최소가 되도록 b) 최대가 되도록 작은 정사각형의 한 변의 길이는 얼마여야 합니까? |
1. **변수 정의:**
큰 정사각형의 한 변의 길이를 \(1\), 작은 정사각형의 한 변의 길이를 \(x\), 원의 반지름을 \(r\)이라고 가정합니다.
2. **\(r\)에 대한 방정식 설정:**
도표를 기반으로, 큰 정사각형의 대각선은 두 개의 원 지름과 작은 정사각형의 한 변을 수용해야 함을 알 수 있습니다:
\[
\sqrt{2} = 2(r \sqrt{2} + r) + x \sqrt{2}
\]
이를 단순화하여 \(r\)을 구합니다:
\[
\sqrt{2} = 2 \cdot (r \cdot \sqrt{2} + r) +... | 4 |
한 정사각형과 한 삼각형이 반지름이 1인 원에 내접해 있습니다. 정사각형과 삼각형의 공통 부분의 넓이가 3.4보다 크다는 것을 증명하세요. 이 넓이가 3.5보다 크다고 할 수 있을까요?
모든 계수가 0, 1, 2, 또는 3인 다항식 \( P(x) \)를 허용 가능한 다항식으로 정의합니다. 주어진 자연수 \( n \)에 대해, \( P(2) = n \)을 만족하는 모든 허용 가능한 다항식의 개수를 구하세요. |
주어진 문제를 해결하기 위해 다음 단계를 따릅니다:
1. **문제 이해**:
반지름이 1인 원에 내접하는 정사각형과 삼각형이 있습니다. 정사각형과 삼각형의 공통 부분의 넓이가 3.4보다 크다는 것을 증명해야 합니다. 또한 이 넓이가 3.5보다 큰지 확인해야 합니다.
2. **접선과 삼각형의 설명**:
단위 원에 대한 임의의 접선은 예각 \(\varphi\)와 다음과 같은 넓이를 가진 직각 삼각형을 자릅니다:
\[
\text{삼각형의 넓이} = 1 - \frac{2}{\cos \varphi + \sin \varphi + 1}
\]
... | 4 |
평면 위에 정삼각형과 그 꼭짓점을 중심으로 하는 반지름이 삼각형의 높이보다 작은 세 개의 원이 있다. 평면 위의 한 점이 원들 중 정확히 하나에만 속하면 노란색으로 칠하고, 정확히 두 개에 속하면 초록색으로 칠하고, 세 개 모두에 속하면 파란색으로 칠한다. 노란색 영역은 1000, 초록색 영역은 100, 파란색 영역은 1로 나타났다. 삼각형의 한 변의 길이와 삼각형의 변 위에 놓인 초록색 선분의 총 길이 중 어느 것이 더 큰가? |
1. **문제 번역 및 재해석**:
평면 위에 정삼각형과 그 꼭짓점을 중심으로 하는 세 개의 원이 있다. 각 원의 반지름은 삼각형의 높이보다 작다. 평면 위의 한 점이 원들 중 정확히 하나에만 속하면 노란색으로 칠하고, 정확히 두 개에 속하면 초록색으로 칠하고, 세 개 모두에 속하면 파란색으로 칠한다.
영역의 면적은 다음과 같다: 노란색 영역 = 1000, 초록색 영역 = 100, 파란색 영역 = 1. 삼각형의 한 변의 길이와 삼각형의 변 위에 놓인 초록색 선분의 총 길이 중 어느 것이 더 큰지 확인해야 한다.
2. **주어진 수량**:
\... | 4 |
타원의 장축에 중심이 있는 $N$개의 원이 타원에 접합니다. 또한, 반지름이 $r_{\mathrm{i}}(2 \leqslant i \leqslant N-1)$인 원은 반지름이 $r_{\mathrm{i}-1}$와 $r_{\mathrm{i}+1}$인 원에 접합니다. 만약 $3 n-2 > N$이라면, 다음을 증명하세요.
\[ r_{2 n-1}\left(r_{1}+r_{2 n-1}\right) = r_{n}\left(r_{n}+r_{3 n-2}\right) \] |
1. 문제 $31.027$에 따르면, 반지름 \( r_{\mathrm{i}} \)는 다음과 같은 2차 선형 재귀 관계를 만족합니다:
\[
r_{\mathrm{i}+2} - k r_{\mathrm{i}+1} + r_{\mathrm{i}} = 0
\]
2. 이 재귀 관계의 일반 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[
r_{\mathrm{p}} = a \lambda_1^p + b \lambda_2^p
\]
여기서 \( \lambda_1 \)과 \( \lambda_2 \)는 특성 방정식 \( x^2 - kx + 1 = 0 \)... | 4 |
반지름이 1인 7개의 원판을 배열하여 반지름이 2인 원판을 덮을 수 있음을 보여라. |
1. **문제 설정 정의:**
- 반지름이 2인 큰 원판이 있다.
- 반지름이 1인 작은 원판 7개를 배열하여 큰 원판을 완전히 덮어야 한다.
2. **큰 원판의 중심 고려:**
- 큰 원판의 중심을 \( O \)라고 하자.
3. **큰 원판의 주요 지점 위치:**
- 큰 원판의 둘레에 있는 점 \( A \)와 \( B \)를 선택하여 \( \triangle ABO \)가 정삼각형이 되도록 한다. 이는 \( O \)가 원판의 중심이고 \( A \)와 \( B \)가 둘레에 있기 때문에 각 변 \( AB \), \( AO \), \( BO \... | 5 |
내접각의 정리를 사용하여, 그림에서 표시된 모든 각(동일한 호를 이등분하는 각)이 서로 같음을 보여라. |
주어진 문제는 내접각의 정리(Теорема о вписанном угле)를 중심으로 하며, 내접각과 동일한 호를 이등분하는 중심각 사이의 관계를 설명합니다. 다음은 구조화된 증명과 응용입니다.
1. **정리 명제:**
이 정리는 내접각의 크기가 항상 동일한 호를 이등분하는 중심각의 절반임을 명시합니다. 구체적으로, 내접각 $\angle ACB$가 호 $\widehat{AB}$를 이등분하고 중심각 $\angle AOB$가 동일한 호를 이등분한다면, $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$입니다.
2. **정리 증명:**
중... | 5 |
반지름이 \(R\)인 원 주위에 대칭적인 사다리꼴을 구성하세요. 이때, 사다리꼴의 두 변은 서로 같습니다. |
#### 단계별 구성 및 분석:
1. **원에 대한 접선 구성:**
- 반지름이 \( R \)인 원의 지름 \( KL \)의 두 끝점 \( K \)와 \( L \)을 식별합니다.
- 점 \( K \)와 \( L \)에서 원에 대한 접선을 그립니다. 이 접선은 서로 평행하며 사다리꼴의 평행한 변(밑변)으로 사용됩니다.
2. **변 길이를 반지름으로 하는 원 구성:**
- 점 \( K \)에서 주어진 사다리꼴의 변 길이를 반지름으로 사용하여 다른 작은 원을 구성합니다. 이 원은 점 \( M \)과 \( M' \)을 정의하는 데 도움이 됩니다.
3... | 5 |
주어진 원에 내접하는 사다리꼴을 구성하여 그 안에 원을 내접시킬 수 있고, 그 중 한 변은 원의 지름입니다. |
1. **특성 파악:**
원에 내접해야 하는 주어진 사다리꼴 \(ABCD\)는 원호 사다리꼴(húrtarápez)이기 때문에 이등변 사다리꼴이어야 합니다. 다리는 원호보다 작은 예각으로 본 더 긴 평행한 변 \(AB\)의 끝점을 연결합니다.
\[ AB는 더 긴 평행한 변으로 원호의 지름과 같다고 가정합니다. \]
2. **사다리꼴에 대한 계산 설정:**
원호의 지름인 \(AB = 1\)이라고 가정합니다. 다리 \(AD = BC = x\)라고 가정합니다. \(D\)의 \(AB\)에 대한 투영을 \(G\)라고 합시다.
탈레스의 정리에 따라, ... | 5 |
컴퍼스와 직선자를 사용하여, 삼각형의 외접원의 중심과 삼각형의 높이선이 놓인 두 직선을 주어졌을 때, 삼각형을 구성하세요. |
1. **원하는 삼각형 \( \triangle ABC \)의 존재를 가정합니다**:
\( \triangle ABC \)의 외접원의 중심을 \( O \)라고 합시다. \( AA_1 \)과 \( BB_1 \)은 주어진 직선 위에 놓인 \( \triangle ABC \)의 높이선이며, \( M \)과 \( N \)은 각각 변 \( BC \)와 \( AC \)의 중점(이 변들에 대한 점 \( O \)의 투영)입니다.
2. **선분 \( BB_1 \)을 \( O \)와 \( M \)을 지나는 직선을 기준으로 반사합니다**:
선분 \( OM \)의 수직 이등분선을... | 5 |
점광원에서 구까지의 거리는 구의 반지름의 세 배와 같습니다. 구의 조명된 면적은 광원의 원뿔의 측면 면적과 어떻게 비교되나요? |
1. **구 반지름을 \( r \)이라고 하자.**
2. **광원과 구의 조명된 꼭지점에 의해 형성된 원뿔의 밑면의 반지름을 \( x \)라고 하자.**
3. **원뿔의 비스듬한 높이를 \( l \)이라고 하자.**
4. **원뿔과 구의 교차점으로 형성된 구의 꼭지점의 높이를 \( h = r - y \)라고 하자.**
5. **광원에서 구까지의 거리가 \( 3r \)이라고 가정하자.**
6. **\( x \)와 \( y \)의 값을 구한 후, 구의 조명된 부분의 표면적(\( F \))을 원뿔의 측면 표면적(\( P \))과 관련시켜야 한다.**
7.... | 5 |
이등변 사다리꼴의 변의 길이는 $1, 1, 1$, 그리고 $\sqrt{2}$입니다. 사다리꼴을 둘러싸는 원의 반지름을 계산하세요! | 1. **라벨링 및 초기 설정:**
이등변 사다리꼴의 꼭짓점을 \( A, B, C, \) 그리고 \( D \)로 표시하고, \( \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = 1 \) 그리고 \( \overline{AD} = \sqrt{2} \)라고 가정합니다. 외접원의 중심을 \( O \)로 표기합니다.
2. **각도와 투영:**
\(\angle BAD = \alpha\)라고 가정합니다. \( B' \)를 \( B \)의 \( \overline{AD} \)에 대한 투영으로 정의하고, \( F \)를 \( O \... | 5 |
직각삼각형의 두 변을 꼭짓점을 중심으로 회전시켜 빗변 위에 놓았을 때, 두 변의 공통 부분의 길이가 내접원의 지름과 같다는 것을 증명하세요. |
직각삼각형의 성질을 증명하기 위해, 먼저 직각삼각형의 변과 내접원의 지름 사이의 관계를 살펴보겠습니다.
1. 직각삼각형의 변을 다음과 같이 표기합니다:
- 빗변(hypotenuse): $c$.
- 두 변(catheti): $a$와 $b$.
2. 직각삼각형에는 내접원(incircle)이 존재하며, 이 내접원의 반지름 $r$은 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다:
\[
r = \frac{a + b - c}{2}
\]
3. 이를 통해 내접원의 지름은 다음과 같습니다:
\[
\text{지름} = 2r = a + b - c
... | 5 |
반지름이 \( R \)인 구 안에 각각 반지름이 \( r \)인 네 개의 작은 구가 있습니다. \( r \)의 최대 가능한 값을 구하세요. ___ |
반지름이 $R$인 큰 구 안에 반지름이 $r$인 네 개의 작은 구가 들어갈 때, 작은 구의 반지름 $r$의 최대 가능한 값을 구하려면 다음 단계를 따르세요:
1. **기하학적 배열 고려:**
네 개의 작은 구의 중심을 $O_1, O_2, O_3, O_4$로 표시합니다. 이 중심들은 정사면체를 형성합니다.
2. **정사면체의 특성:**
정사면체에서 모든 변의 길이는 동일합니다. 두 작은 구의 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합, 즉 $2r$입니다.
3. **정사면체의 중심:**
큰 구의 중심인 $O$는 작은 구의 중심들로 이루어진 정사면체의 무게... | 5 |
삼각형의 외접원의 가변 지름의 끝점과 관련된 심슨 선의 교차점의 기하학적 위치는 삼각형의 아홉 점 원(Feuerbach circle)임을 증명하세요. |
1. **정의 및 표기법 설정:**
- 삼각형의 외심(orthocenter)을 $M$이라고 하자.
- 외접원의 중심을 $K$라고 하자.
- 아홉 점 원(Feuerbach circle)의 중심을 $F$라고 하자.
- 외접원의 지름의 끝점을 $P_1$과 $P_2$라고 하자.
- $M P_1$과 $M P_2$의 중점(midpoint)을 각각 $Q_1$과 $Q_2$라고 하자.
- $P_1$과 $P_2$에 대응하는 심슨 선(Simson line)을 각각 $s_1$과 $s_2$라고 하자.
2. **주요 성질 및 정리:**
... | 5 |
서로 교차하지 않는 두 원 \( S_{1} \)과 \( S_{2} \) (또는 원과 직선)을 역원을 사용하여 동심원 쌍으로 변환할 수 있음을 증명하세요. |
1. 서로 교차하지 않는 두 원 \( S_1 \)과 \( S_2 \) (또는 원과 직선)을 고려합니다.
2. 원 \( S_1 \)과 \( S_2 \)의 중심 \( O_1 \)과 \( O_2 \)를 연결하는 선을 그립니다. 이 선 위에 있는 점 \( C \)를 선택하여 원 \( S_1 \)과 \( S_2 \)에 대한 접선이 같은 길이가 되도록 합니다.
3. 점 \( C \)는 참고 문제 3.53에 자세히 설명된 대로 원 \( S_1 \)과 \( S_2 \)의 급수축을 사용하여 구성할 수 있습니다. 이 점 \( C \)에서 원 \( S_1 \)과 \( S_2... | 5 |
반지름이 π인 원 안에 길이가 1인 4π개의 선분이 있습니다. 주어진 선분 l에 평행하거나 수직인 선을 그릴 때, 이 선분들 중 적어도 두 개와 교차하는 것을 증명하세요. | ### 문제:
반지름이 $r$인 원 안에 길이가 $1$인 선분 $4n$개가 있습니다. 주어진 선분 $l$에 평행하거나 수직인 직선을 그릴 때, 이 선분들 중 적어도 두 개와 교차하는 것을 증명하세요.
1. 주어진 선분 $l$에 수직인 임의의 선분 $l_1$을 그립니다.
2. $i$-번째 선분의 $l$과 $l_1$에 대한 투영 길이를 각각 $a_i$와 $b_i$라고 표기합니다.
3. 각 선분의 길이가 1이므로, 다음이 성립합니다:
\[
a_i + b_i \geq 1
\]
4. 모든 $4n$개의 선분에 대해 합하면, 다음이 성립합니다:
\[
... | 5 |
반원보다 큰 호 $A D$가 있고, 대응하는 현 $A D$가 반지름 $O B$와 $O C$의 연장선에 의해 세 개의 동일한 부분으로 나뉘는 경우, 이 호를 삼등분하는 호가 있을까요? |
**첫 번째 해법:**
1. **존재 가정:**
호 \(AD\)가 존재하여 대응하는 현 \(AD\)가 반지름 \(OB\)와 \(OC\)의 연장선에 의해 세 개의 동일한 부분으로 나뉘는 경우를 가정해 봅시다. 호 \(AD\)에서 점 \(A, B, C, D\)를 순서대로 표시합니다. \( \widehat{AB} = \widehat{BC} = \widehat{CD} \)입니다.
2. **현 \(AD\)에서의 교차점:**
\(OB\)와 \(OC\)가 현 \(AD\)와 교차하는 점을 각각 \(B_1\)과 \(C_1\)이라고 표기합니다. 따라서 \(AC_1 = ... | 5 |
(ABCDEF)가 반지름이 $r$인 원에 내접하는 육각형이라고 할 때, $|AB| = |CD| = |EF| = r$이면 $BC$, $DE$, $FA$의 중점이 정삼각형의 꼭짓점임을 증명하세요. |
**Step 1: 복소평면에서 문제 설정**
복소평면에서 원점을 중심으로 하는 반지름이 \( r \)인 원을 고려합니다. 정육각형의 꼭짓점 \( A, B, C, D, E, F \)가 원 위에 있으므로, 이들의 크기는 \( r \)입니다.
주어진 조건에 따라 \( |AB| = |CD| = |EF| = r \)이므로, 꼭짓점 \( A, C, E \)를 다음과 같이 표기합니다:
- \( A = r \)
- \( C = r \omega^2 \)
- \( E = r \omega^4 \)
여기서 \( \omega \)는 원시 6차 단위근입니다:
\[
\omega = \c... | 5 |
원의 원주 위에 있는 점 \( A \)에서 두 개의 현을 그리고, 점 \( A \)에서 그릴 수 있는 지름에 대한 현의 투영을 구성합니다. 현의 제곱의 비율이 투영의 비율과 같다는 것을 보여주세요. |
1. **원과 현을 구성합니다**: 중심 $O$와 원주 위에 있는 점 $A$를 고려합니다. 점 $A$에서 원 안에 두 개의 현 $AB$와 $AC$를 그립니다.
2. **지름을 식별합니다**: 점 $A$와 대칭인 원주 위의 점을 $D$로 표시합니다. 따라서 $AD$는 원의 지름입니다.
3. **현을 지름에 투영합니다**: 이제 현 $AB$와 $AC$의 끝점 $B$와 $C$를 각각 지름 $AD$에 투영합니다. $AD$에 대한 이러한 투영을 $B_1$ (여기서 $B_1$은 $AD$에 있음)과 $C_1$ (여기서 $C_1$은 $AD$에 있음)이라고 합시다.
4. **... | 5 |
원기둥의 밑면의 반지름은 $r$입니다. 평면이 원기둥의 옆면을 가로지르고, 밑면과 교차하지 않으며, 밑면의 평면과 각도 $\alpha$를 이룹니다. 이 평면에 의한 원기둥의 단면적의 넓이를 구하세요. | 1. 문제를 이해해봅시다. 밑면의 반지름이 \( r \)인 원기둥이 있습니다. 평면이 원기둥의 옆면을 가로지르며, 밑면의 평면과 각도 \( \alpha \)를 이루지만, 원기둥의 밑면과는 교차하지 않습니다.
2. 이 교차하는 평면에 의해 생성된 단면의 넓이를 구해야 합니다.
3. 원기둥의 옆면을 가로지르며 밑면과 교차하지 않는 평면에 의해 생성된 원기둥의 단면은 타원을 형성합니다. 이 타원의 장축은 평면과 원기둥의 교차선과 일치합니다.
4. 교차하는 평면이 밑면과 각도 \( \alpha \)를 이룰 때, 타원의 장축 \( b \)의 길이는 원기둥의 높이 \... | 5 |
어떤 터널은 왕복 4차선 통로로 설계되어 있으며, 총 차선 폭은 22미터입니다. 차량의 높이 제한은 4.5미터이고, 총 터널 길이는 25킬로미터입니다. 터널의 아치형 천장은 대략 반타원의 형태로 간주됩니다. | ## 풀이:
### (1)번
최대 스팬 높이 \( h \)가 6미터인 경우, 설계된 터널의 스팬 폭 \( l \)을 구하는 문제입니다.
1. 도표와 같이 좌표계를 설정합니다. 터널을 나타내는 곡선은 타원입니다. 타원 안에 점 \( P(11, 4.5) \)를 배치합니다.
2. 타원의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
여기서 \( b = h = 6 \) (타원의 높이)입니다.
3. 타원 방정식에 점 \( P(11, 4.5) \)를 대입합니다:
\[
... | 5 |
정사각형 테이블 위에 둥근 접시가 있습니다. 접시의 가장자리와 테이블의 가장자리 사이의 거리는 그림에 표시되어 있습니다(이미지는 실제 크기와 다를 수 있습니다). 접시의 가장자리와 테이블의 아래쪽 가장자리 사이의 거리는 얼마입니까?
|
1. **알려진 거리와 그 관계 파악**:
문제에서 접시의 가장자리와 정사각형 테이블의 가장자리 사이의 거리는 다음과 같습니다:
- 접시의 한 가장자리와 테이블의 왼쪽 가장자리 사이의 거리: \( 10 \) cm.
- 접시의 한 가장자리와 테이블의 위쪽 가장자리 사이의 거리: \( 63 \) cm.
2. **대칭성 표현 및 반대쪽 가장자리에 적용**:
접시가 테이블의 중앙에 위치한다고 가정하겠습니다. 따라서 접시가 한 차원을 따라 덮는 결합된 거리를 고려하고 테이블의 가장자리에서 접시의 가장자리까지의 다른 거리와 관련시켜야 합니다:
- ... | 5 |
작은 바위 위의 등대의 빔은 고정된 거리 \( d \)까지 침투합니다. 빔이 회전함에 따라 빔의 극단은 속도 \( v \)로 움직입니다. 속도가 최대 \( \frac{v}{8} \)인 배는 조명되지 않고 바위에 도달할 수 없음을 증명하십시오. |
1. **문제 설정 및 표기**:
작은 바위 위에 등대가 있는 지점 \( L \)을 가정합니다. 등대의 빔은 고정된 거리 \( d \)까지 침투합니다.
2. **가정 및 제약 조건**:
등대의 빔은 빔의 극단이 속도 \( v \)로 움직이도록 회전합니다. 속도가 최대 \( \frac{v}{8} \)인 배는 빔에 의해 조명되지 않고 바위에 도달할 수 없음을 증명해야 합니다.
3. **초기 위치 및 기하학**:
배는 등대 \( L \)에서 거리 \( d \)인 지점 \( S \)에서 시작하는 것으로 가정합니다. 지점 \( A \)와 \( B \)... | 5 |
구면, 그 위의 원 \( S \) 그리고 구면 밖에 위치한 어떤 점 \( P \)가 주어집니다. 점 \( P \)와 원 \( S \) 위의 임의의 점을 지나는 직선을 그립니다. 이 직선들이 구면과 이루는 두 번째 교점들이 어떤 원 위에 있음을 증명하세요. |
1. 구면과 점 \( P \)를 지나는 직선의 교점을 \( X \)와 \( Y \)라고 합시다.
2. 점 \( P \)를 지나는 직선의 선택에 따라 \( PX \cdot PY \)의 곱이 불변임을 관찰합니다. 이 상수를 \( R^2 \)라고 표기합니다.
3. 점 \( P \)를 중심으로 하고 \( R^2 \)의 제곱을 가진 역변환을 고려합니다. 수학적으로, 역변환은 각 점 \( Q \)를 \( PQ \cdot PQ' = R^2 \)를 만족하는 점 \( Q' \)로 매핑합니다.
4. 이 역변환에 따라 점 \( X \)와 \( Y \)는 서로 매핑됩니다. 구체적으로, ... | 5 |
지름이 $AB$인 원을 고려하고, $P$를 $A$와 $B$를 제외한 원의 임의의 점이라고 합시다. $AP$와 $BP$의 현 위에 있는 작은 세그먼트에 최대 내접원을 그립니다. $P$의 어떤 위치에서 두 원의 면적의 합이 최대가 되고, 어떤 위치에서 최소가 될까요? |
1. **문제 소개**:
지름이 $AB$인 원 \( \mathrm{Az} \, AB \)를 고려하고, $A$와 $B$를 제외한 임의의 점 $P$를 고려합니다. $AP$와 $BP$에 의해 분할된 작은 세그먼트에 내접원의 면적의 합이 최대가 되거나 최소가 되는 $P$의 위치를 구하는 문제입니다.
2. **라벨 할당 및 정리**:
$AP$와 $BP$ 위의 세그먼트에 내접원의 면적을 각각 $t_1$과 $t_2$라고 표기합니다. 탈레스의 정리를 활용하여, 빗변이 $AB = r$인 직각삼각형 내에서 다음을 만족합니다:
\[
x^2 + y^2 = r^2
... | 5 |
평면 위에 반지름이 각각 1인 세 개의 원이 있습니다. 이 원들에 의해 정확히 한 번 덮이는 영역의 넓이를 \( t_{1} \)이라고 하고, 정확히 두 번 덮이는 영역의 넓이를 \( t_{2} \)라고 할 때, \( t_{1} \geq t_{2} \)를 증명하세요. |
평면 위에 반지름이 각각 1인 세 개의 원이 있습니다. 이 원들에 의해 정확히 한 번 덮이는 영역의 넓이를 \(t_1\)이라고 하고, 정확히 두 번 덮이는 영역의 넓이를 \(t_2\)라고 할 때, \( t_1 \geq t_2 \)를 증명해야 합니다.
1. **넓이 정의:**
- 원들에 의해 정확히 세 번 덮이는 영역의 넓이를 \(t_3\)이라고 합니다.
- 1번 그림과 같이 영역을 \(a, b, c, d, e, f, g\)로 표기합니다.
2. **전체 넓이 방정식:**
반지름이 1인 세 개의 원이 덮는 전체 넓이는 다음과 같습니다:
\[
... | 5 |
수평면에서 거리 \( d \)만큼 떨어진 지점에 고정된 길이 \( l > d \)의 와이어가 있습니다. 와이어 위에는 무게가 없는 작은 도르래가 굴러갈 수 있고, 도르래의 축에는 질량 \( G \)가 매달려 있습니다. 작은 변위에 대한 질량의 진동 주기는 얼마인가요? |
#### 첫 번째 풀이:
1. **운동의 설명**:
- 마찰이 없는 도르래에 매달린 무게 $G$는 타원 궤도를 따라 움직입니다.
- 작은 변위에 대해 이 타원 궤도는 작은 축의 끝점에서 타원 궤도에 맞는 원의 호로 근사될 수 있습니다.
2. **근사 원호의 반지름**:
- 이 근사 원호의 반지름 $\varrho$는 다음과 같습니다:
\[
\varrho = \frac{a^2}{b}
\]
여기서 $a$와 $b$는 각각 타원의 장반경과 단반경입니다.
- 우리의 시나리오에서:
... | 5 |
반지름이 $10 \mathrm{~cm}$인 반구가 수평면에서 돌출되어 있습니다. 원통이 평면 위를 굴러가다가 반구의 표면에서 충돌합니다. 두 도형의 접점에서 수평면과 공통 접선 사이의 각을 $\alpha$라고 합시다. $\alpha \leq 30^{\circ}$일 때, 원통의 최소 반지름은 얼마인가요? |
1. **문제 설정 및 표기:**
문제를 설정하기 위해 주요한 점과 평면을 정의해봅시다. 반지름이 $10 \text{ cm}$인 반구가 점 $O_1$을 중심으로 수평면에 돌출되어 있습니다. 반지름이 $R$인 원통이 수평면 위를 굴러가다가 반구와 접하는 점 $E$에서 충돌합니다.
2. **중요한 선분의 구성:**
$O_1$을 포함하고 수평면에 수직인 수직 평면을 구성합니다. 이 평면은 구와 원통을 각각 원과 원통의 단면으로 교차합니다. 이 평면에서의 원통의 단면의 중심은 $O_2$로 표시되며, 반지름은 $R$입니다.
3. **점과 각도:**
$O_... | 5 |
원형 운동장의 중앙에는 지질학자들의 집이 있습니다. 그 집에서는 8개의 직선 도로가 방사형으로 뻗어나가며, 운동장을 8개의 동일한 섹터로 나눕니다. 두 명의 지질학자가 집에서 출발하여 각각 무작위로 선택한 도로를 따라 시속 4km로 이동합니다. 1시간 후에 그들 사이의 거리가 6km보다 클 확률을 구하세요.
|
1. **문제 이해:**
- 두 명의 지질학자가 원형 운동장의 공통 중심점에서 출발하여 8개의 직선 도로 중 하나를 따라 이동합니다.
- 각 도로는 운동장을 8개의 동일한 섹터로 나누며, 각 섹터는 중심각이 $45^\circ$입니다.
- 지질학자들은 시속 4km로 일정한 속도로 이동합니다.
- 1시간 후에 그들 사이의 거리가 6km보다 클 확률을 구해야 합니다.
2. **경우의 수 분석:**
- **경우 1: 인접한 도로 (도로 사이의 각도 = $45^\circ$)**
- 코사인 법칙을 사용하여:
\... | 5 |
카리나는 케이크를 구워서 열 조각으로 균등하게 자르고, 한 조각을 먹은 후 남은 조각들을 균등하게 배치했습니다. 케이크의 중심에서 인접한 두 조각 사이의 각의 크기는 얼마인가요?
A) \(5^\circ\)
B) \(4^\circ\)
C) \(3^\circ\)
D) \(2^\circ\)
E) \(1^\circ\) |
1. 카리나는 케이크를 구워서 열 조각으로 균등하게 자르고, 한 조각을 먹었습니다. 우리는 한 점(케이크의 중심)을 중심으로 한 모든 각의 합이 $360^\circ$임을 알고 있습니다.
2. 원래 열 조각에 대한 케이크의 중심에서의 각을 계산합니다:
\[
\text{각 조각에 대한 각} = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ
\]
3. 카리나는 한 조각을 먹었으므로, 9개의 조각이 남았습니다. 이 9개의 조각은 이제 중심을 중심으로 균등하게 배치됩니다.
4. 남은 조각들은 이제 조각들이 균등하게 배치되었으므로, 중심에서 9개의 ... | 5 |
누군가가 체스판의 (내부) 사각형 중 하나를 중심으로 반지름이 1.9 단위(여기서 단위는 사각형의 한 변의 길이)인 원을 그렸고, 밝은 사각형과 어두운 사각형에 떨어지는 호의 길이가 거의 같다는 것을 발견했습니다. 교차하는 사각형의 수를 일정하게 유지하면서 합계의 차이를 줄이기 위해 반지름을 늘리거나 줄여야 할까요? |
이 문제를 해결하기 위해, 우리는 한 변의 길이가 1인 체스판의 내부 사각형 가운데에 반지름이 \( r = 1.9 \) 단위인 원을 그리는 상황을 제시받았습니다. 우리는 밝은 사각형과 어두운 사각형에 떨어지는 호의 길이를 균형있게 조절하기 위해 반지름을 늘리거나 줄여야 하는지, 그리고 이러한 사각형의 교차 수가 일정하게 유지되는지 확인해야 합니다.
#### I. 첫 번째 해결책:
1. **원의 기하학적 특성 설정**:
우리의 원의 중심 $O$를 밝은 사각형의 중심으로 선택합니다. 원은 밝은 사각형과 어두운 사각형을 번갈아가며 16개의 사각형과 교차합니다.
... | 5 |
한 원이 100개의 점으로 나누어져서 100개의 동일한 호로 나뉘어집니다. 점들 옆에는 1부터 100까지의 숫자가 하나씩 정확히 쓰여져 있습니다. 어떤 숫자 \( k \)에 대해, 숫자 \( k \)가 있는 점을 지나는 지름을 그리면, \( k \)보다 작은 숫자들이 이 지름의 양쪽에 균등하게 분포된다는 것이 밝혀졌습니다. 숫자 \( 83 \)이 있는 점과 대칭인 점에는 어떤 숫자가 쓰여질 수 있을까요? |
1. **문제 이해:**
한 원이 100개의 동일한 호로 나뉘어 있고, 각 호에는 $1$부터 $100$까지의 고유한 숫자가 표시되어 있습니다. 어떤 숫자 $k$에 대해, 숫자 $k$가 표시된 점을 지나는 지름을 그리면, $k$보다 작은 숫자들이 이 지름의 양쪽에 균등하게 분포된다는 것이 주어졌습니다. 숫자 $83$이 있는 점과 대칭인 점에는 어떤 숫자가 쓰여질 수 있는지 알아내야 합니다.
2. **대칭 관계 분석:**
홀수인 $k = 2m + 1$을 조사해봅시다. 원에서 대칭인 숫자를 고려하고, $k$보다 작은 숫자들의 분포를 분석해봅시다.
3. **... | 5 |
연습문제 547에서 설명한 단순화를 고려할 때, 연속적인 새로운 달, 첫 번째 분기, 보름달, 마지막 분기, 그리고 다음 새로운 달 사이의 간격은 얼마인가요? (분기 위상은 태양, 지구, 그리고 달의 중심이 직각 삼각형을 형성할 때 발생하며, 이때 직각의 꼭지점은 달의 중심에 있고, 달의 표면에서 그림자 가장자리로 보이는 지름입니다.) 지구와 달의 궤도 반지름이 각각 $150 \cdot 10^{6}$ km와 $384 \cdot 10^{3}$ km라고 가정합니다. | 1. 먼저, 분기 위상에서 지구에서 달까지의 방향과 지구에서 태양까지의 방향 사이에 형성되는 각도 $\gamma$를 결정해야 합니다. 이 각도는 달의 궤도 반지름($r = 384 \times 10^3$ km)과 지구의 궤도 반지름($R = 150 \times 10^6$ km)을 사용하여 계산할 수 있습니다.
\[
\cos \gamma = \frac{r}{R} = \frac{384 \times 10^3}{150 \times 10^6}
\]
2. 분수를 단순화합니다:
\[
\cos \gamma = \frac{384 \times 10^... | 5 |
공통 중심을 갖는 세 개의 정사각형 경로가 1미터 간격으로 떨어져 있습니다(그림 참조). 세 마리의 개미가 경로의 왼쪽 아래 모서리에서 동시에 출발하여 같은 속도로 달립니다: 무와 라는 반시계 방향으로, 베이는 시계 방향으로 달립니다. 무가 큰 경로의 오른쪽 아래 모서리에 도달했을 때, 아직 한 바퀴를 완주하지 못한 다른 두 마리는 경로의 오른쪽에 있었고, 세 마리 모두 같은 직선 위에 있었습니다. 정사각형의 변의 길이를 구하세요.
[6점] (A. V. Shapovalov) | :
1. **단계 1: 동심원 정사각형과 그 사이의 거리 이해하기**
공통 중심을 갖는 세 개의 동심원 정사각형 트랙이 있으며, 각각 1미터 간격으로 떨어져 있습니다. 정사각형의 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라고 가정하고, 크기가 증가하는 순서로 정렬합니다. 즉, \( c > b > a \)이며, $c$는 가장 큰 정사각형입니다.
2. **단계 2: 개미의 시작 위치와 방향**
세 마리의 개미, 무, 라, 베이는 각각의 트랙의 왼쪽 아래 모서리에서 출발합니다. 무와 라는 반시계 방향으로, 베이는 시계 방향으로 달립니다.
3. **단계 3:... | 5 |
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