TITLE: Open subspaces of CW complexes
QUESTION [12 upvotes]: I am looking at the paper

Covering homotopy properties of maps between CW complexes or ANRs
  by 
  Mark Steinberger and James West

and a claim is made in the proof of their first main theorem that (slightly rephrased)

since $U$ is a contractible subspace of the CW complex $B$, $U$ "is" a CW complex

Question:  Is it generally true that an open subspace of a CW complex can be given the structure of a CW complex?  Is it true in general only for contractible subspaces?  Why?  Is there a reference?

REPLY [19 votes]: It is not generally true that each open subset of a CW complex admits the structure of a CW complex.  Counterexamples were given in
\bib{MR1157891}{article}{
   author={Cauty, Robert},
   title={Sur les ouverts des CW-complexes et les fibr\'{e}s de Serre},
   language={French},
   journal={Colloq. Math.},
   volume={63},
   date={1992},
   number={1},
   pages={1--7},
   issn={0010-1354},
   review={\MR{1157891}},
   doi={10.4064/cm-63-1-1-7},
}

in response to the paper you mention by Steinberger and West.  Here is the abstract:

M. Steinberger et J. West ont prouvé dans [7] qu'un fibré de Serre p:E
  → B entre CW-complexes a la propriété de relèvement des homotopies par
  rapport aux k-espaces. Malheureusement, leur démonstration contient
  une légère erreur. Ils affirment que certains ensembles (notés U et
  p−1U×U) sont des CW-complexes car ce sont des ouverts de CW-complexes.
  Ceci est généralement faux, et notre premier objectif dans cette note
  est de donner des exemples d'ouverts de CW-complexes n'admettant
  aucune décomposition CW. Malgré cela, le théorème de Steinberger et
  West est vrai, et notre deuxième objectif est de montrer comment leur
  démonstration peut être rectifiée.