TITLE: Why is a distribution called a distribution?
QUESTION [8 upvotes]: I learned in class that distribution $f$ is a continuous mapping from the set of smooth test functions $\phi$ to a real number.
Why is this mapping called a "distribution"? Can you explain to me the intuition/motivation for the name?
What is $f$ a distribution of?

REPLY [8 votes]: According to Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, the term distribution for a generalised function was introduced by Schwartz in Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques. We read at the beginning of §1:

Les éléments sur lesquels il faut raisonner sont plus généraux que des fonctions. Ainsi $\delta(x)$ n’est pas une fonction, c’est une mesure ou distribution de masses, d’un type particulièrement simple : elle comporte une masse $+1$ placée à l’origine. Une distribution de masses $(\mu)$ est entièrement définie par la connaissance de la masse $\mu(a, b)$ contenue dans tout intervalle $(a, b)$ ; c’est un nombre réel de signe quelconque ou même un nombre complexe. $\mu(a, b)$ ne peut pas être une fonction quelconque d’intervalle, elle doit vérifier une condition qui exprime que la somme des modules des masses est finie et une condition d’additivité. $(\mu)$ permet de définir une fonction d’ensemble $A$ par
  $$ \mu(A) = \int_A d\mu $$
  et plus généralement une fonctionnelle $\mu(\varphi)$ définie au moins pour toute fonction continue $\varphi(x)$, nulle en dehors d’un intervalle fini :
  $$ \mu(\varphi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) d\mu \qquad \text{(intégrale de Stieltjes).} $$
  [...]

of which a rough translation is

The objects we must consider are more general than functions. Thus $\delta(x)$ is not a function, but a measure or mass distribution, of a particularly simple type: it includes one mass of $+1$ placed at the origin. A mass distribution $(\mu)$ is completely determined by knowing the mass $\mu(a, b)$ contained in each $(a, b)$, which is a real number of a certain sign or even a complex number. $\mu(a, b)$ cannot be any function of intervals: it must satisfy a condition which says that the sum of the absolute values of the masses is finite and an additive. $(\mu)$ defines a function of sets $A$ by
  $$ \mu(A) = \int_A d\mu $$
  and more generally a functional $\mu(\varphi)$ defined at least for continuous functions $\varphi(x)$ that are zero outside a finite interval:
  $$ \mu(\varphi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) d\mu \qquad \text{(Stieltjes integral).} $$
  [...]

So it's a distribution (of mass). Later on in the section, we find that

[...] Il est ensuite nécessaire de définir des distributions plus générales que des distributions de masses et qui correspondent aux « couches multiples » (couches de doublets ou dipôles et couches plus compliquées) employées dans la théorie du potentiel. [...]

(I'm not sure what "couches" refers to in this context, but still, this is approximately)

[...] It is now necessary to define distributions more general than mass distributions, which correspond to "multipoles [?]" (double-layered [?] or dipoles and more complicated layers [?]) used in potential theory.  [...]

So they are "mass distributions", but allowing for generalisation (for differentiation, etc.).