TITLE: Why $e^x$ never equal $x$?
QUESTION [7 upvotes]: Je veux savoir pourquoi $x=e^x$ n'a aucune solution dans $\Bbb R$. Lorsque j'ai essayé de tracer le graphe de la fonction $e^x$, j'ai trouvé en fait qu'elle est une fonction strictement croissante mais je ne sais pas quoi faire après. 
Merci mon ami.

I would like to know why $x=e^x$ has no solution in $\Bbb R$? I tried to plot the function $e^x$ and I found that it is an increasing function but I do not know what to do next.

REPLY [4 votes]: The exponential function is a convex function, since the second derivative equals the function, so it is non-negative. This implies that the graphics of $f(x)=\exp(x)$ lies above the tangent line in $x=0$, i.e.:
$$\forall \in\mathbb{R},\quad e^x \geq x+1.$$