TITLE: The current status of the Birch & Swinnerton-Dyer Conjecture
QUESTION [35 upvotes]: [Une traduction française suit la version anglaise.]
The question is only about elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ and concerns only the aspect 
(order of vanishing of $L(E,s)$ at $s=1$)$\ =\ $(rank of $E(\mathbb{Q})$).
Let $r$ be the LHS and $d$ the RHS, so that (a special case of ) the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is
BSD?. $r=d$.
By the end of the last millenium, we knew
Theorem (1977--2000). If $\ r=0,1$, then $d=r$ (and $\ \operatorname{Sha}(E)$ is finite).
Some years ago, I heard that there was some progress in proving $(r>0)\Longrightarrow (d>0)$ under the assumption of the finiteness of $\operatorname{Sha}(E)$.  What is the current status of the
Statement. Suppose that $\operatorname{Sha}(E)$ is finite.  If $r>1$, then $d>0$ ?

L'état actuel de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
On s'interesse uniquement aux courbes abéliennes $A$ sur $\mathbf{Q}$ et à
l'aspect 
(ordre d'annulation de $L(A,s)$ en $s=1$)$\ =\ $(rang de $A(\mathbf{Q})$).
Désignons par $r$ le membre de gauche et par $d$ le membre de droite, de sorte
que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit (en particulier)
BSD? $r=d$.
Vers la fin du millénaire dernier, on avait démontré le
Théorème (1977--2000).  Si $r=0,1$, alors $d=r$ (et $\ \operatorname{Cha}(A)$ est fini). 
Il y a quelques années, j'avais entendu dire qu'on a fait des progrès
concernant l'implication $(r>0)\Longrightarrow(d>0)$ sous l'hypothèse de la
finitude de Cha$(A)$. Quel est l'état actuel de l'
Énoncé. Supposons que $\operatorname{Cha}(A)$ est fini.  Si $r>1$, alors
$d>0$ ?

REPLY [4 votes]: Alice Silverberg has a "cheat sheet" on all things currently known related to the rank of an elliptic curve. The link is below.
http://math.uci.edu/~asilverb/connectionstalk.pdf