TITLE: Dimension of subalgebras of a matrix algebra
QUESTION [17 upvotes]: If $n$ is given and $A$ is a subalgebra of $M_n(\mathbb C)$, the algebra of $n \times n$ matrices with entries in the field of complex numbers, then what are the possible values of dimension of $A$ as a vector space over $\mathbb C$?

REPLY [4 votes]: Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension $n$.
J'ai démontré entre autres les deux résultats suivants dans un article à paraître dans la revue française Quadrature :

On suppose que $k$ vérifie les inégalités $k \ge 2$ et 
$k^{2}\le n$. Soit $\mathcal{A}$ une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ qui
vérifie la relation $n^{2}-kn+k^{2}-k+1 < \dim \mathcal{A} < n^{2}-kn+n.$
Alors, $\mathcal{A}$ vérifie la relation $\dim \mathcal{A}=n^{2}-kn+k^{2}.$
Soient $n$ un entier naturel et $p$ un entier de l'intervalle $[0,n^{2}].$ On
suppose $p$ écrit sous la forme $p=n(n-k)+t,\ 0\le t \le n-1$. Alors il existe
une sous-algèbre de dimension $p$ dans $\mathcal M_n (\mathbb C )$ si
et seulement s'il existe une sous-algèbre de dimension $t$ dans $\mathcal M_k(\mathbb C)$.