TITLE: Is there an integral fusion ring which is not of Frobenius type?
QUESTION [6 upvotes]: Combinatorially, a fusion ring $\mathcal{F}$ is nothing but a finite set $B=\{b_1, \dots, b_r\}$ (generating the $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z} B$) together with fusion rules: $$ b_i \cdot b_j = \sum_{k=1}^r n_{i,j}^k b_k$$
with $n_{i,j}^k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, satisfying axioms slightly augmenting the group axioms:

(Associativity) $b_i \cdot (b_j \cdot b_k) = (b_i \cdot b_j) \cdot b_k $
, i.e.,  $\sum_s n_{ij}^sn_{sk}^t = \sum_s n_{jk}^sn_{is}^t$.
(Neutral) $b_1 \cdot b_i = b_i \cdot b_1 = b_i$, i.e., $n_{1i}^j = n_{i1}^j = \delta_{ij}$.
(Inverse/Adjoint) $\forall i \  \exists!j $ (denoted $i^*$) such that $n_{ij}^1>0$. In addition, $n_{i^*,k}^{1} = n_{k,i^*}^{1} = \delta_{i,k}$.
Frobenius-Perron reciprocity: $n_{ij}^k = n_{i^*k}^j = n_{kj^*}^i$.

It follows that:

$*$ induces an antihomomorphism of algebra, providing a structure of $*$-algebra to $\mathbb{C}\mathcal{B}$,
Frobenius-Perron theorem: $\exists!$ $*$-homomorphism $d:\mathbb{C}\mathcal{B} \to \mathbb{C}$ with $d(\mathcal{B}) \subset
 (0,\infty)$, with $\mathbb{C}\mathcal{B}$ is a finite dimensional von Neumann algebra given by $b_i^* = b_{i^*}$.

The number $d(b_i)$ is called the Frobenius-Perron dimension of $b_i$, whereas $\sum_i d(b_i)^2$ is called the Frobenius-Perron of $\mathcal{F}$, noted $\mathrm{FPdim}(\mathcal{F})$.   Let $[d(b_1), d(b_2), \dots , d(b_r)]$ be the type of $\mathcal{F}$.
The fusion ring $\mathcal{F}$ is called:

of Frobenius type if for all $i$,  $\frac{\mathrm{FPdim}(\mathcal{F})}{d(b_i)}$ is an algebraic integer,
integral if for all $i$ the number $d(b_i)$ is an integer, and then Frobenius type just means that $d(b_i)$ divides $\mathrm{FPdim}(\mathcal{F})$ for all $i$,
commutative if for all $i,j$, $b_i \cdot b_j = b_j \cdot b_i$, i.e., $n_{i,j}^k = n_{j,i}^k$.

It is a famous open problem whether the Grothendieck ring of a fusion category is of Frobenius type.
False belief: George Kac proved in MR0304552 that the Grothendieck ring of $Rep(K)$ with $K$ a finite dimensional Kac algebra (i.e. Hopf $*$-algebra) is of Frobenius type.
The fusion category $Rep(K)$ is unitary and integral.
Now, there are many fusion rings which are not Grothendieck rings of a fusion category, so that perhaps fusion rings which are not of Frobenius type are already known.
Consider the following three properties for a fusion ring:
(1) integral,
(2) commutative,
(3) unitary (i.e. admits a unitary categorification).
Consider a subset  $S \subseteq \{1,2,3\}$, then:
Question ($S$): Is there a fusion ring satisfying (i) for all $i \in S$, but not of Frobenius type?
[it is a unified way to ask $2^3=8$ questions]

REPLY [6 votes]: If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.
There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.
Examples:

Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:
$$ \begin{smallmatrix}
1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1
\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}
0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}
0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2
\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}
0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1
\end{smallmatrix}  $$

Simple: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules:


$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} 
$$
Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.
Now, four new simple integral (commutative) fusion rings not of Frobenius type and on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:

rank $6$, FPdim $924 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$, type $[1,7,8,12,15,21]$ and fusion rules:

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&2&3&3\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1&1 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&2&3&4\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 1&1&2&1&3&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 1&1&2&3&4&5 \\ 0&3&3&4&5&7\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&1&1&2&3&3 \\ 0&1&1&2&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6 \\ 0&3&3&4&5&7 \\ 1&3&4&6&7&10\end{smallmatrix}$$

rank $6$, FPdim $1320 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$, type $[1,9,10,11,21,24]$ and fusion rules:

$$
\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&2 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&2&2&2&4&3\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 1&1&0&0&2&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&2&2&2&4&4\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 1&1&1&1&2&2 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 1&3&3&4&7&8 \\ 0&4&4&4&8&9\end{smallmatrix} , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&2&2&2&4&3 \\ 0&2&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5 \\ 0&4&4&4&8&9 \\ 1&3&4&5&9&11\end{smallmatrix}
$$

rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$,  type  $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}  ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix},  \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix}  ,  \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix}  $$

rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$,  type  $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}  ,  \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix}  $$