text: 债券凸性重要吗
  实际债券投资中，投资者经常关注的风险指标是债券的久期，但随着利率水平不断下降，为了扩大收益来源并对债券投资收益有更精准的测算，投资者对债券凸性的关注有所提高。其中较为明显的是：投资者发现30年国债凸性较大，其投资优势较强，因此将30年国债的高凸性做为其长期投资的优势之一。基于此，我们对债券投资中的凸性指标进行分析，研判其运用方法。在其他因素不变的情况下，票面利率越低，久期和凸性变大；一年内付息次数越多，久期越大，而凸性越小；剩余期限越长，久期和凸性都变大；到期收益率越低，久期和凸性都变大。即票面利率、到期收益率与久期和凸性负相关，剩余期限与久期和凸性正相关，付息频率与久期正相关而与凸性负相关。虽然凸性对价格的影响远不及久期。但把久期和债券凸性结合起来，才可以更好地估算债券价格变化对收益率大幅变化的敏感性。在给定收益率变动、久期和债券凸性的情况下，债券价格对收益率变动的敏感性=-久期*Δy+债券凸性*（Δy）^2。经济表现超预期、宏观政策超预期、政府债发行超预期债券风险一般包括利率风险、信用风险、流动性风险、再投资风险等，其中利率风险可以用完全估价法和久期/凸性法来衡量。一般来说，债券的价格和收益率波动之间存在以下关系：（1）债券的价格与收益率呈反向变动，但变动的幅度并不相同；（2）当收益率变动幅度很小时，债券价格的变动幅度在收益率上升和下降时大致相同；（3）当收益率变动幅度很大时，债券价格的变动幅度在收益率上升和下降时不相同且债券价格上升幅度大于价格下降幅度。完全估价法是在假定收益率变动情景下，重新评估债券或债券组合价值的方法。可以用于评估单只债券头寸或是少数几种债券的投资组合对利率变动的风险暴露程度，由于完全估价法要自行假定收益率变动的情景，且计算过程较为复杂，不适合评估多种债券或种类较少但复杂的债券投资组合对收益率变动的风险暴露程度。与完全估价法不同，在假设收益率曲线水平变动的情况下，久期/凸性法可以直接测量单只债券或投资组合的价值。其中，久期是衡量债券价格对收益率变动敏感性的近似指标，它是对于收益率变动1%时债券价格变化的近似百分比；债券凸性可以衡量久期对收益率变动的敏感性，在收益率出现大幅度变动时，由久期作出的预测误差较大，债券凸性就是对这个误差的修正，综合考虑久期和凸性可以改善债券价格对收益率变动敏感性的评估效果。简单来说，久期/凸性法就是用久期结合凸性去评估债券价格对收益率变动敏感性的方法。从经济学意义出发，债券久期的定义为：久期=（收益率下降时债券的价格-收益率上升时债券的价格）/（2*初始价格*收益率变动），令Δy为收益率变动，V0为初始价格，V-为收益率下降Δy时债券的价格，V+为收益率上升Δy时债券的价格，则久期=。用久期估计的债券价格对收益率变动的敏感性=-久期*Δy，可以发现用久期估计的债券价格对收益率变动的敏感性是收益率变动的一次函数，当收益率上升和下降同一幅度时，用久期计算出的债券价格变化幅度除了符号相反外都是相同的，实际上违反了“当收益率变动幅度很大时，债券价格的变动幅度在收益率上升和下降时不相同且债券价格上升幅度大于价格下降幅度”的债券价格/收益率曲线特征。久期是债券价格对收益率变动的敏感性的一般描述，根据收益率变化是否影响预期现金流可将久期进一步分为修正久期和有效久期。修正久期是在假设收益率改变不影响预期现金流的情况下计算出的久期，有效久期是在承认收益率改变预期现金流的情况下计算出的久期。对于不含权债券而言，收益率的变化不会引起预期现金流的改变，修正久期有意义；对于内含选择权的债券（如可赎回债券、可回售债券、抵押贷款支持证券）而言，收益率的变化可能会引起预期现金流的改变，用有效久期更为合适。债券凸性能用来近似估计没有被久期反映的那部分价格变化，从经济学意义出发，债券凸性近似估计的方法为：债券凸性=，各字符含义与久期一致。用债券凸性调整的债券价格对收益率变动的敏感性=债券凸性*，即没有被久期说明的债券价格变动幅度。用凸性估计的债券价格对收益率变动的敏感性是收益率变动的二次函数，当收益率上升和下降同一幅度时，凸性的调整作用完全相同。与久期类似，根据收益率变化是否影响预期现金流可进一步分为修正凸性和有效凸性，修正凸性假设收益率改变不影响预期现金流，有效凸性假设收益率改变会影响预期现金流，不含权债券的修正凸性和有效凸性没有区别，内含选择权的债券的修正凸性和有效凸性差异很大，有可能出现修正凸性为正时有效凸性为负的现象。根据债券价格与收益率变动的关系的不同有正凸性和负凸性之分，当凸性值为正时，在收益率大幅变动时，价格上涨幅度大于下降幅度，这种债券价格与收益率的关系可称为正凸性，不含权债券都具有正凸性；当凸性值为负时，在收益率大幅变动时，价格上涨幅度小于下降幅度，这种债券价格与收益率的关系可称为负凸性。从数学角度来看，久期可以近似地认为是债券价格/收益率函数的一阶导数，实际上是反映在收益率变化时债券价格变化程度的一阶线性值；债券凸性可以近似地认为是债券价格/收益率函数的二阶导数，实际上是反映在收益率变化时债券价格额外变化的二阶抛物线值，这个额外变化是指基于久期引起的债券价格变化之外的部分。从债券价格/收益率函数出发，要计算收益率变化时债券价格的变化程度可以用泰勒展开式，久期和债券凸性可以较好的拟合泰勒展开式的前两项，构建接下来，我们简单地证明一下上述结论，假设某附息债券的总期限为T，每年付息次数为k，到期收益率为y，如果第t年所得的现金流为，则用各期现金流贴现后的现值之和计算出的债券理论价格为：的一阶导为:的二阶导为：根据泰勒公式,,若只保留前两项，则，变换得令，,则可得：由于刻画了债券价格对收益率变化的敏感程度，而久期不考虑债券价格变化与收益率变化之间的负向关系，因此修正久期，修正凸性将修正久期和修正凸性代入，即可得久期/凸性法测算收益率变化时债券价格的敏感性的近似公式：，前加负号是因为债券价格变化与收益率变化之间是负向关系。通过计算公式可知，和的大小主要受票面利率水平、每年付息频率k、债券剩余期限T和债券到期收益率y的影响。在其他因素不变的情况下，票面利率主要通过影响现金流的大小来影响久期和凸性，票面利率越高，和的上升幅度不及的上升幅度，使得久期和债券凸性在票面利率上升时变小；每年付息频率k越大，使久期变小的作用小于使久期变大的作用，久期在付息频率增加时变大，使凸性变小的作用大于使凸性变大的作用，债券凸性在付息频率增加时变小；债券剩余期限T越长，和越大，使得久期和债券凸性也变大；债券到期收益率y越大，变小的幅度不及和变小的幅度，使得久期和债券凸性变小。单纯从数学公式理解影响久期与债券凸性的因素过于抽象，我们以230004.IB在起息日的情况为例，进一步验证当改变票面利率、付息频率、剩余期限和到期收益率时，久期与债券凸性会有什么变化。23附息国债04的起息日为2023年2月25日，平价发行（即发行价格与面值相等，均为100元），票面利率为2.88%，则到期收益率也为2.88%，付息频率为每年付息2次，期限为10年。为方便理解，我们绘制了不含权债券价格/收益率曲线示意图、用久期估计的债券价格曲线示意图、用久期/凸性法估计的债券价格曲线示意图，以及债券价格对收益率变化的敏感性曲线示意图。图1是不含权债券价格/收益率曲线示意图，可以看出，债券价格/收益率呈反向变动，当收益率变动时，在收益率变动绝对值相同时（如从y*变为y1或y4，从y*变为y2或y3），收益率下降带来的债券价格上升收益（p1-p*或p2-p*）高于收益率上升导致的债券价格下跌损失（p*-p4或p*-p3），且收益率变动幅度越大，收益与损失的差距越大，即图中的（p1-p*）-（ p*-p4）> （p2-p*）-（p*-p3）。图2是用久期估计的债券价格曲线示意图，用过点（y*，p*）的债券价格/收益率曲线的切线来估计收益率改变后债券的价格。以收益率下降为例，当收益率从y*小幅下降为y2时，实际的债券价格为p2，用久期估计的债券价格为p2*，p2-p2*差额不大；当收益率从y*大幅下降为y1时，实际的债券价格为p1，用久期估计的债券价格为p1*，p1-p1*差额较大。因此，（1）当收益率变化很小时，用久期估计的债券价格/收益率曲线几乎不离开实际的债券价格/收益率曲线，此时用久期估算债券价格的效果较好。（2）当收益率变化很大时，用久期估计的债券价格/收益率曲线会较大幅度地偏离实际的债券价格/收益率曲线，此时用久期估算债券价格的误差较大。（3）无论收益率上升还是下降，用久期估算出的债券价格/收益率曲线总是位于实际的债券价格/收益率曲线下方，因此用久期会低估债券价格对收益率变动的敏感度。图3是用久期/凸性法估计的债券价格曲线示意图，图中棕色的虚线表示综合考虑久期和凸性的影响后估计出来的债券价格/收益率曲线，可以看到此时的估计的债券价格/收益率曲线已经非常靠近实际的债券价格/收益率曲线了（为了更好举例，示意图中的差距比实际差距放大了很多）。以收益率下降为例，当收益率从y*小幅下降为y2时，实际的债券价格为p2，用久期估计的债券价格为p2*，用久期/凸性法估计的债券价格为p2**，可以看到相比于p2*与p2的差距，p2**与p2几乎没有差别；当收益率从y*大幅下降为y1时，实际的债券价格为p1，用久期估计的债券价格为p1*，用久期/凸性法估计的债券价格为p1**，可以看到在凸性的作用下实际债券价格与估计债券价格的误差从p1-p1*变为了p1-p1**，凸性的调整作用为p1**-p1*。因此，（1）无论收益率上升还是下降，用久期/凸性法估计的债券价格/收益率曲线都较用久期估计的债券价格/收益率曲线更为靠近实际的债券价格/收益率曲线，即用久期/凸性法估计债券价格对收益率变动的敏感度效果较好。（2）当收益率变化很小时，由于久期的估计效果已经足够好，因此凸性对债券价格的调整作用较小。（3）当收益率变化很大时，由于用久期估算债券价格的误差较大，此时凸性对债券价格的调整作用较大。图4是债券价格对收益率变化的敏感性曲线示意图，可用于更好地理解图3。用久期估计的债券价格对收益率变化的敏感性曲线是一条经过初始收益率y*的直线，而凸性调整久期估计的债券价格对收益率变化的敏感性曲线是一条以初始收益率y*为对称轴的抛物线，两条曲线之和即为久期/凸性法估计的债券价格对收益率变化的敏感性曲线。以230011.IB在起息日2023年5月15日的情况为例，使用久期/凸性法来估计收益率变动时债券的价格变动情况。该债券期限为3年，票面利率为2.3%，付息频率为每年付息1次，5月15日债券价格为100元，到期收益率为2.3%，修正久期为2.8698，凸性为11.1436。我们测算了当到期收益率从2.3%上升至5%和下降至0.5%时债券价格的变动情况。从测算结果可以看出，对于230011.IB在2023年5月15日的情况而言，当收益率变化30bp时，凸性调整久期估计的价格变动还不到0.01%，当收益率变化50bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.01%，当收益率变化100bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.06%。从误差来看，当收益率在100bp范围内变化时，久期/凸性法计算的债券价格对收益率变动的敏感性与实际敏感性的误差在-0.38%至-0.34%区间内变化，而久期法的误差在-2.27%至1.60%区间内变化。以200215.IB在第二个付息日2022年10月20日的情况为例，使用久期/凸性法来估计收益率变动时债券的价格变动情况。该债券初始期限为10年，票面利率为3.7%，付息频率为每年付息1次，2022年10月20日债券价格为105.5830元，到期收益率为2.9075%，修正久期为6.9027，凸性为57.9210。我们测算了当到期收益率从2.90%附近上升至6.70%和下降至0.10%时债券价格的变动情况。从测算结果可以看出，对于200215.IB在2022年10月20日的情况而言，当收益率变化30bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.03%，当收益率变化50bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.07%，当收益率变化100bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.29%。从误差来看，当收益率在100bp范围内变化时，久期/凸性法计算的债券价格对收益率变动的敏感性与实际敏感性的误差在-0.07%至0.07%区间内变化，而久期法的误差在-4.12%至4.27%区间内变化。以220025.IB在2023年5月19日的情况为例，使用久期/凸性法来估计收益率变动时债券的价格变动情况。该债券初始期限为10年，票面利率为2.8%，付息频率为每年付息2次，5月19日债券价格为100.3825元，到期收益率为2.7575%，修正久期为8.1845，凸性为80.3334。我们测算了当到期收益率从2.75%附近上升至6.40%和下降至0.10%时债券价格的变动情况。从测算结果可以看出，对于220025.IB在2023年5月19日的情况而言，当收益率变化30bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.04%，当收益率变化50bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.10%，当收益率变化100bp时，凸性调整久期估计的价格变动为0.41%。从误差来看，当收益率在100bp范围内变化时，久期/凸性法计算的债券价格对收益率变动的敏感性与实际敏感性的误差在-1.55%至-1.15%区间内变化，而久期法的误差在-5.84%至3.49%区间内变化。前文，我们分析了债券凸性的影响因素以及凸性对于债券价格的影响，虽然债券投资中，凸性的影响远不及久期，但如果能够在久期选定的情况下，利用凸性优势增厚回报，这也是投资者希望看到的。实际中，比较明显的例子是分析30年国债性价比时，将30年国债的高凸性做为其优势之一。我们对此详细分析。以2023年5月23日为基础，选取10年国债230004.IB和30年国债230009.IB进行对比，两者基本信息如下，可以发现30年国债凸性明显高于10年国债。现假设投资者分别买入10年和30年国债（通过调整仓位使得久期一致），然后假设10年和30年国债的利率同等幅度变化，基于2023-5-23日，可以测算出，无论利率如何变化，同久期情况下持有30年国债均优于10年国债，这一现象即为30年国债高凸性所致。因为，静态一天来看，债券持有收益的变化均来源于净价变化，期间利息收入可以忽略不计。但实际债券投资是动态的，我们再假设投资者分别持有10年和30年国债3个月，在上述同样的假设测算下，可以发现30年国债很难战胜10年国债，主要原因在于持有30年国债的组合虽然有较高的凸性，但是持有收益也可能相对较低，而债券的持有收益又是其较重要的收益来源，因此在实际持有中，简单比较30年国债和其它利率债品种，30年国债的高凸性优势不一定有效。经济表现超预期、宏观政策超预期、政府债发行超预期：《债市策略系列之十六：债券凸性重要吗》2023年5月25日徐亮S0120521060004xuliang3＠tebon.com.cn德邦证券股份有限公司（已获中国证监会许可的证券投资咨询业务资格）Day and Place2023年Who Should Attend银行、基金、券商、信托、保险等金融机构金融市场部、资金运营部、固定收益部、资产管理部、理财子等从业人员及相关行领导；以及持牌私募基金相关从业人员等；Training Course OutlineGuest Speaker某公募基金合伙人，金融和债券市场从业22年的资深投资管理人员，具有商业银行、公募基金等多年的研究、交易、投资和组合管理经验，熟悉货币政策和金融监管政策，也曾亲身参与政策制定，管理资产规模从上百亿到上万亿，亲身参与并见证了国内债券市场的发展和演变。Training Cost3800元/人；费用包含：参会费、材料费、税费、茶歇、午餐；往返交通、住宿、早晚餐饮等Apply For联系李老师 18521390968（同微信）扫码备注6月债券培训