text: 应用同调代数于现实生活的三个例子
  数学在抽象和化身的双重能力上是无限的。在很大程度上，技术和信息的许多现代革命都建立在数学的支柱上，这些支柱有助于、告知或以其他方式催化进步。看来，那些最容易理解和交流的数学分支，正是那些在现代世界中最具适用性的分支。由此得出结论，认为更深或更难的领域本质上不太适用还为时过早。
  例如，考虑代数拓扑的效用。长期以来，这一数学分支一直隐藏在形式和范畴的墙后，与更具分析性或二元性的同类相比，它在具体应用方面几乎没有什么来源。在作者看来，这并不是因为根本缺乏适用性，而是因为（1）缺乏对从业者工具的激励性阐述；以及（2）历史上对该理论的计算特征缺乏重视。这两个问题是相互关联的。证明拓扑理论实用性的进展刺激了对良好计算的需求。计算拓扑数据的良好算法刺激了对进一步应用的搜索。
  代数拓扑是作为开胃菜出现的数学，截断的参考书目作为第二门课程的菜单。
  同调是一种将空间的局部数据转换为全局代数结构的机器。在其最简单的形式中，同调以拓扑空间X的简单片段为自变量，并返回阿贝尔群Hk（X），k∈
  N.Homology是一个函子，它在实践中意味着：（1）拓扑等价空间（ho motopic）具有代数等价（同构）同调群；和（2）空间f:X之间的拓扑映射→ 同调群f*:H*（X）上的Y诱导代数映射（同态）→ H*（Y）。存在许多同调理论，这些理论针对不同类别的空间（单纯空间、细胞空间、奇异空间等）进行了微调。
  粗略地说，同源群计算和整理空间中的洞。同调不变量的最简单例子是空间的连通分量的数量——dim H0——零维仪器可以测量的“洞”的类型。同调不变量的一个不那么平凡的例子是欧拉特性。三角曲面的欧拉特征χ是单形数（顶点减去边加上面）的交替和，并且这个量是曲面的拓扑不变量。对于更一般（但温和）的空间，χ（X）可以表示为X的k维单元数的交替和，也可以表示为
  试图通过局部数据来描述空间的全局特征。这些工具具有实用性
  k=0
  （−1）k调光Hk（X）。此数量，基于
  在应用中，关于大型数据集的问题并不难争论。为了给人一种可能的感觉，我们概述了最近三个同源工具具体应用的例子。这个列表既不包含也不排名：选择这些例子是为了具体、简单和及时。这个简短而不完整的草图是指
  1伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学与协调科学系实验室。作者感谢DARPA和国家科学基金会的支持。
  关于同源性，是一个不变量。它是同源设备的信号检验，既可计算又不变。我们应用代数拓扑的第一个例子依赖于这个不变量。
  问题：目标枚举。以一家商店为例，它的天花板、墙壁和地毯上都嵌入了人数传感器。这些本地传感器如何协作来确定数量
  商店里的顾客？
  工具：欧拉特征积分。
  大规模传感器网络的基本困难之一是数据聚合。足够密集的节点集合将对环境进行冗余采样。传感的目标是将这些冗余的局部数据压缩为环境的全局描述。在补丁上缝合局部信息的操作是sheaf的基本定义属性，sheaf是一种将代数对象分配给空间的开子集的方法，其方式是尊重限制和重叠。
  例如，考虑对目标集合进行计数的问题。一些固定但未知数量的N个目标位于域D中。域中充满了传感器，每个传感器都可以确定附近有多少目标。传感器如何操作并不重要（例如，通过红外、声学或光学传感）。假设简单的传感器只检测附近目标的数量，而没有关于目标身份、距离或方位的信息。在连续极限中（其中在D中的每个点都有一个传感器），这产生了计数函数h:D→ 问题是确定目标的数量，只给定h。
  解决方案在于一个优雅的积分理论，该理论使用欧拉特性作为度量。对于紧集A，B，欧拉特征满足χ（AŞB）=χ（A）+χ（B）−χ（AõB）。注意这与度量的定义的相似性。事实上，χ是一种尺度不变的拓扑体积，至少可以追溯到Hadwiger和Blaschke。构造一个测度dχ是很简单的，根据这个测度可以积分某些函数。分段常数或可构造函数h:D的类型→ 在这个理论中，传感器场返回的N是可积的。
  Baryshnikov等人[1]
  最近的工作给出了一个简单的公式，用于计算目标数量为D hDχ，在这种情况下，每个目标都是由拓扑平凡（例如，凸）邻域上的传感器检测到的。因为这是一个拓扑积分理论，所以没有几何限制。例如，传感器可以计算在装有振动传感器的区域上行驶的车辆数量，将微型车和SUV计算为同等数量。
  这是一系列应用的起点，这些应用依赖于可构造滑轮和dχ的滑轮理论性质。正是因为答案是用积分理论来表达的，所以可以做以下事情：
  寓意：“数据聚合是一种拓扑集成。”
  问题：高维数据分析。给定一个大的、高维的数据集，如何确定其形状和结构？
  尽管拓扑的主题经常以甜甜圈、咖啡杯、结或其他视觉图标的形式介绍，但拓扑的真正优势在于它可以轻松地分析高维对象。这种力量的影响可能在数据分析中得到了最好的证明，目前，大型高维数据集的传入率远远超过了统计学家分析和描述数据集的能力。
  Assume for the sake of argument that one is
  图2：单纯近似的持久同源性在大数据集中发现了隐藏的结构。
  给定由欧几里得空间的合理子集X⊂En的采样（也许，但不一定是随机的）组成的数据集。大自然已经训练人类大脑从平面投影中重建形状，但这只适用于n的某些（小！）值。
  知道X的同源性是断言数据的“真实”模型X的全局特征的良好基础。几个基本的统计思想——例如聚类——很容易被认为与同源的东西相对应，在这个例子中是dim H0。自然的问题出现了：如何从N⊂X点的离散采样中计算H＊（X）？
  Carlsson等人的工作采用了以下策略。固定一个参数ǫ>0，并建立一个单纯形复形Rǫ，如下所示：R \491的k-单纯形是N个距离内成对的k+1个数据点的集合。将X⊂En固定为一个流形，那么对于ǫ足够小和N足够稠密，复数R \491具有与X相同的同构类型（从而具有同调性）。然而，给定一个固定的数据集，进一步的精化可能是昂贵的或不可能的。因此，人们被迫改变。哪一个最能捕捉底层数据集的真实拓扑结构？对于太小的ǫ，R \491是一个离散集；对于太大的ǫ，R \491是单个单纯形。在这种情况下，中庸之道可能并不存在。
  代数拓扑提出了一种函数方法。Grothendieck方案最简单、最好的见解之一是，给定空间的拓扑结构是在到该空间或从该空间到该空间的映射中构建的。以这个视角为指导，我们考虑了由包含映射ιǫ缝合在一起的空间{Rǫ}的有序序列（对于ǫ>0）→ǫ：R֒→ R表示ǫ＜ǫ;。映射族ι→ǫ是数据集的持久同源性：ι→ǫ捕捉哪些同源特征（数据中的漏洞
  集合）在参数范围[ǫ。
  Carlsson等人使用多项式环上的模的分类（具有域系数）来计算持久同调，并将其与数据中拓扑特征的产生和死亡相关联[7]。这允许将复杂的数据集原则性地自动提取为全局特征
  寓意：“数据的形状不在于单个空间，而在于空间的图表。”
  问题：混沌动力学的实验验证。实验（物理或数值）产生的数据看起来很混乱。它是严格混乱的，还是只是嘈杂的？
  工具：康利指数理论。
  20世纪的一个伟大科学教训是，当一个物理系统表现出不稳定的时间行为时，这可能不是由于随机性或较差的测量——确定性系统可以表现出明确的混沌。然而，要证明
  给定的系统是混沌的。洛伦兹方程本身就是一个流体流动的卡通模型，经过三十多年的研究，直到最近才被证明是严格混沌的。更棘手的仍然是来自物理实验的数据，在物理实验中，系统噪声和仪器误差共同阻碍了分析。对于实验主义者来说，除了说：“在我看来，这很混乱。”
  拓扑方法的一个主要特征是，作为全局方法，它们通常不受物理系统固有噪声的影响。这里就是这样。Mischakow等人的工作[5]使用动力学的同调不变量与噪声振幅的先验边界相结合，基于噪声时间序列数据来确定实验系统的严格动力学。
  所使用的数学工具是康利指数，这是莫尔斯指数的代数拓扑扩展。考虑落在山区地形上的雨水流量D：该流量为-Şh的流量，其中h:D→ R是地形的高度函数。h的临界点的Morse指数是一个对临界点类型进行分类的整数：最小值的指数为0，鞍道次的指数为1，最大值的指数是2。同调康利指数将莫尔斯指数从整数丰富到（的同调类型）空间：对于莫尔斯函数，临界点的康利指数是莫尔斯指数的维数范围。康利指数不同于莫尔斯指数，它适用于非梯度和非光滑向量场，以及离散时间动力学。它是有效的，甚至可以检测混沌动力学。由于最近在计算同源性方面的进展[4]，该指数对于现实系统是可计算的。
  Mischaikow等人的工作采用（有噪声的）时间序列数据，并将动力学表示为立方体复合体上的多值映射。通过将Conley指数调整为该设置并计算同源指数，只要噪声容差符合离散化假设，就可以验证潜在的动力学。关于实验或数值数据的严格结果包括以下内容：
  图3：实验时间序列数据的康利指数CH*可以严格验证混沌动力学。
  计算各种固定的解决方案。Conley指数计算[6]证明了这些解的存在，其计算工作量与以更精细的分辨率重新运行数值解的次数相同。
  道德：“证明动力学并不比模拟动力学更昂贵。”
  这里调查的三个例子都是同源工具在大型且经常有噪声的数据集问题上的应用。然而，在应用代数拓扑的相同保护下，还有许多其他性质不同的例子。其中许多本质上是障碍理论
  曾经被错误地嘲笑为无用抽象（一致收敛、矩阵代数、群论等）的数学思想列表足够长，令人尴尬，以至于在应用代数拓扑的情况下需要耐心。鉴于为现实系统的变体生成良好的拓扑计算算法的（艰苦）工作是最近才进行的[4]，可以成功地认为，当前应用代数拓扑的一系列进步既不是巧合，也不是终点。