text: 1 第六章 数理统计的基本概念 已经知道概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
  在概率论的许多问题中概率分布通常被假定为已知的-无论是在求随机变量的数字特征还是求随机变量函数的分布等而实际情况是我们往往并不知道随机变量的分布或者只能依据某些理由判断描述该情况的随机变量所服从分布的类型如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等却并不知道该分布所含的参数从而了解它们的分布或者分布中的参数是至为重要的问题也是数理统计首先要解决的问题。
  数理统计就是以概率论为基础研究如何有效地收集与分析受随机性影响的数据资料并根据试验或观测到得数据对研究对象的客观规律作出合理的估计与推断其包括两方面的内容一方面是抽样方法与试验设计即如何有效地收集数据一方面是统计推断即如何对所获取的数据进行分析从而对刻划随机现象的随机变量所服从的概率分布及其数字特征作出推断。
  本书只讨论统计推断的理论与方法。
  §6.1 总体与样本 在一个统计问题中我们把研究对象的全体称为总体构成总体的每个成员或元素称为个体。
  对于多数实际问题总体中的个体是一些实在的人或物比如我们要研究某大学学生的身高情况则该大学的全体学生构成问题的总体而每一个学生即是一个个体。
  事实上每个学生有许多特征性别、年龄、身高、体重等等。
  在该问题中我们关心的只是该校学生的身高情况其他的特征则暂不考虑从而每个学生个体所具有的数量指标值-身高即是个体而将学生身高的取值的全体视作总体这样一来若抛开实际背景总体就是一堆数这堆数有大有小有的出现机会大有的出现机会小因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的。
  从这个意义上讲总体就是一个分布而其数量指标就是服从这个分布的随机变量故以后称"从总体中抽样"与"从分布中抽样"也就是同一个意思了。
  定义6.1.1设X是代表总体的随机变量则称随机变量X为总体population简称总体母体X。
  称X的数字特征为总体X的数字特征。
  如果总体服从正态分布则称之为正态总体。
  总体中包含个体individual的个数称为总体的容量。
  容量有限的总体称为有限总体finite population 容量无限的总体则称为无 2 限总体infinite population。
  注①总体与个体有时是相对的。
  同样一个事物某些情况下可视作总体某些情况下则又可视作个体。
  比如考察某大学非英语专业学生的4CET级成绩那么该校所有的非英语专业的班级的4CET级成绩的全体即为总体而该校非英语专业的每一个班级的4CET级成绩的全体是一个个体而若仅考虑该校非英语专业某一个班级的4CET级成绩那么该班级4CET级成绩的全体即构成一个总体此时个体则是该班级每个人的4CET级成绩。
  ②若总体的某些属性是定性而非数值的如产品的等级、新生婴儿的性别等等这时可借鉴随机变量的引入通过适当的转换将其数量化比如可以用"0"与"1"分别表示正品与次品或女性与男性等。
  ③如上指明了总体的一个或多个数量指标多维总体之后一个总体就与一个随机变量或随机向量相对应从而对总体X的研究就归纳为对X的分布函数及其主要数字特征的研究。
  要了解总体的性质就必须测定每个个体的性质但若把总体中的所有个体都一一加以测定往往又是不可能的。
  在许多情况下总体中的个体数太多如一道工序加工的半成品等甚至是无穷的如蒸馏车间各位置点的温度则无法去测定所有的个体另外有的指标的测定具有破坏性如灯泡的使用寿命、炮弹的爆炸威力等从而就不能对所有的个体普遍地加以测定。
  因此欲对总体的某个性质进行推断就需要对总体进行若干次观测也即通过从总体中随机地抽取若干个体来获取总体的有关信息。
  一次抽样完成后得到n个具体的数据 1 2, , ,nx x x称之为样本 1 2, , ,nX X X的一个样本观测值sampleobservation。