text: 布朗运动和伊藤引理的运用
  1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。
  1900年，法国数学家巴舍利耶(L.Bachelier)在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。
  如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森()提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。
  在柯朗研究所著名数学家的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。
  1973年，布莱克(F.Black)和斯科尔斯(M.Scholes)发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。
  哈佛大学教授莫顿(Merton)在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。
  二、相关概念和公式推导
  1、布朗运动介绍
  布朗运动(Brownian Motion)是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。
  然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳(Winener)给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。
  (1)、标准布朗运动
  代表一个小的时间间隔长度，z
  代表变量z在t
  时间内的变化，遵循标准布朗运动的z
  具有的两种特征:
  特征1:z
  的关系满足下式:
  特征2:对于任何两个不同时间间隔t
  的值相互独立。
  从特征1可知，z
  现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间T 中的变化情形。
  =，标准
  由此我们可以发现两个特征:○
  1在任意长度的时间间隔T 中，遵循标准布朗运动的
  变量的变化值服从均值为0○
  2对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。
  当0t
  →时，我们就可以得到极限的标准布朗运动:
  (2)、普通布朗运动
  这个过程指出变量x 关于时间和
  dz 的动态过程。
  后，x 值的变化值x
  也具有正态分布特征，其均值为a t
  ，标准差为2b t
  公式(2.5)就是著名的伊藤引理。
  3、 证券价格的变化过程
  证券价格的变化过程可以用漂移率为S μ，方差为22S σ的伊藤过程来表示:
  两边同时除以S 得:
  2σ表示证券收益率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券的波动率。
  公式(2.7)又被称为几何布朗运动。
  后，证券价格比率的变化值S S
  也具有正态分布特征，其均值为t μ
  ，标准差为σ，方差为2t σ
  在式(2.7)中，我们涉及两个符号，μ和σ，其大小取决于时间计量单位。
  在本文中，以年为时间的计量单位。
  根据资本资产定价原理，μ值取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。
  我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过公式(2.7)来确定其未来价格的概率分布。
  应该注意的是，公式(2.7)把σ当做常数，实际上，σ会随时间的变化而变化。
  4、 证券价格自然对数变化过程
  利用伊藤引理来对到证券价格自然对数lnS 变化所遵循的随机过程。
  令G=lnS ，由于
  ，2221G S S
  ，0G t
  也就是说，证券价格对数的变化呈正太分布。
  根据正太分布的特性，从式(2.9)可以得到:
  三、布朗运动伊藤引理的运用
  本文运用布朗运动和伊藤引理，选取了云南白药(000538)1993年--2013年的收盘价进行数据分析，数据来源于:通信达。
  经过计算，得到云南白药股价的波动率为每年99.92%，预期收益率为每年21.33%，2013年5月16日的市价为87.88元。
  1、假设该股票不付红利，计算一周后该股票价格变化的概率分布 因为0.2133μ=，0.9992σ=，其股价过程为:
  在随后短时间时隔后的股价变化为:
  由于一周等于0.0192年，因此
  上式表示一周后股价的增加值是均值为0.3603元，标准差为12.147元的正态分布的随机抽样值。
  因此，6个月后云南白药的股价落在56.3397元到102.9867元之间的概率为95.45%。
  这与作为预期收益率的定义相符。
  因此，云南白药在6个月后股票价格的期望值和标准差分别为:
  半年后云南白药股票价格的期望值为97.7704，方差为6190.136，标准差为78.677。