text: 机翻|理解弗雷格的计划
  The Cambridge Companion to
  FREGE
  Edited by Michael Potter
  University of Cambridge
  Tom Ricketts
  University of Pittsburgh
  2 Understanding Frege’s project
  Joan Weiner
  弗雷格在开始 Die Grundlagen der Arithmetik 时提出了一个问题，“第一是什幺？”这个问题甚至连数学家都会问，他说，没有令人满意的工厂答案。鉴于这种可耻的情况，他补充说，我们能够说出数字是什幺的希望很小。弗雷格打算通过提供数的定义和数的概念来纠正这种情况。但是，确切地说，定义需要什幺？当然，规定第一是尤利乌斯凯撒是不行的——那会转移话题。似乎有理由假设一个可接受的定义必须是一个真实的陈述，其中包含一个描述，该描述挑选出数字“1”已经指代的对象。并且，类似地，数字概念的一个可接受的定义必须包含一个描述，该描述精确地挑选出那些是数字的对象——我们的数字所指代的那些对象。
  然而，尽管弗雷格写了很多关于他的定义必须满足哪些标准的文章，但上述标准并不在他提到的标准之列。他也没有试图说服我们，他的“1”和其他数字的定义是正确的，他争辩说，这些定义挑出了这些数字一直指代的对象。 正如我们稍后将看到的，有大量证据表明，弗雷格的定义并不是为了挑选出我们的数字已经引用的对象。但是，如果是这样的话，这些定义怎幺能教给我们关于算术科学的东西呢？这些定义必须满足什幺标准？要回答这些问题，我们需要了解弗雷格认为我们需要学习算术科学的是什幺。
  为什幺要定义数字一?
  弗雷格认为，如果我们要从原始真理中证明算术的真理，那幺对数字一和数的概念的描述是必要的。什幺是原始真理？我们为什幺要从原始真理中证明算术的真理？在Grundlagen的早期部分，弗雷格提供了两个试图提供此类证明的动机。第一个，他称之为数学，是渴望增加严谨性——只要有可能证明，就证明。第二种，他称之为哲学，是希望表明算术的真理是先验的还是后验的，是综合的还是分析的。
  对弗雷格来说，将可证明的真理分类为分析的或综合的，先验的或后验的，取决于其最经济（最一般）的证明——由需要最少特定假设的证明决定。最不经济（最不一般）的证明是需要诉诸事实的证明，即关于特定对象的无法证明的真理；无法证明的真理是不普遍的。任何后验真理的证明都需要诉诸事实。 1 经验科学的真理是后验真理的例子。无需诉诸事实即可证明的真理是先验的，可以是综合的或分析的。同样，这种分类取决于可用的证据类型。如果一个先验真理“不使用不属于一般逻辑性质但属于某些特殊科学领域的真理”就不能得到证明，那幺它就是综合真理。 2 欧几里得几何学的真理是综合先验真理的例子。因为它们所源自的公理不具有一般逻辑性质（它们支配一个有限的领域：空间配置的领域），而是一般的（它们不是关于特定对象的真理）。最后，分析真理只能使用“一般逻辑定律和定义”来证明。这是最经济（或一般）的证明类型——它不需要求助于事实或特殊科学的真理。
  为了找到一些真理的最经济的证明，我们需要一种识别无间隙证明的方法。否则，我们不能排除这样一种可能性，即一个显然只有一般逻辑规律和前提的证明实际上包含着对既不是逻辑规律也不是定义的东西的隐含诉求。任务是“找到命题的证明，并跟踪它回到原始真理”。3 在这个过程中，弗雷格说：
  只要我们不成功地将其中出现的概念分析为更简单的概念或将它们还原为更普遍的东西，我们很快就会得出无法证明的命题。现在这里最重要的是必须定义或识别为不可定义的数字.4
  人们可能会认为，在这个过程中，数字的概念将被承认为不可定义的。然而，弗雷格坚持定义数字和数字的概念。为什幺？
  如果从原始定律中证明算术真理的目的是使我们能够确定这些真理的正确分类，那幺将存在资格条件来决定什幺可以被视为原始定律。一个明显的资格条件是，其真实性在没有证据的情况下是显而易见的。5 另一种说法是，除了检验证明之外，还有某种方法来确定它的分类（即确定它是关于特定对象的事实、某种特殊科学的原始一般真理还是一般逻辑规律）。因为如果要对算术真理的正确分类问题有一个明确的答案，那幺就必须有某种方法对算术真理所依赖的原始规律进行分类。
  要了解其工作原理，请考虑一个示例：声明每个对象都与自身相同。6 由于它的真理是不言而喻的，它满足了原始法律的第一个资格要求。 假设这是一个原始定律，它是分析的吗？在Grundlagen中，弗雷格提到了分析真理的两个特征。一是最大的普遍性。分析真理“不仅支配实际，不仅支配直觉，而且支配一切可想象的东西”。7 另一个是我们不能在概念思维中否认它们。也就是说，我们不能否认它们，“当我们进行演绎时，不涉及任何矛盾”。8 算术的基本真理似乎是分析性的，因为如果我们试图否认其中任何一个，“就会完全混乱。甚至连思考似乎都不可能了。9 每个物体都与自身相同的定律体现了这两个特征。首先，这个定律肯定告诉我们，不仅仅是每一个实际的（时空）物体或每一个可直觉的物体，而是每一个物体。第二，似乎我们不能不卷入矛盾就否认这一点。鉴于这些标准，有关法律是分析性的。相反，几何公理是综合的，因为我们可以假设几何公理的相反，而不会卷入矛盾。10
  关于数字的基本真理是什幺？弗雷格毫无争议地指出，数字科学的基本命题与逻辑定律具有相同的地位——否认它们将使我们陷入矛盾。 11 他还毫无争议地指出，算术真理支配着最广泛的领域 (das umfassendste)。因此，这些真理似乎是逻辑法则。但也有理由认为它们不是原始的合格逻辑法则。关于第一的真理似乎不具备逻辑真理所必需的最大普遍性。毕竟，第一是一个特定的对象。关于数字的规律似乎也不是最普遍的。他们似乎统治的不是最广泛的领域，而是数字的特殊领域。数学归纳法的推论似乎是“数学特有的”。 12 为了证实他的算术真理是分析的这一信念，弗雷格需要从可识别的逻辑概念中定义数字一和数的概念，并仅使用这些定义和逻辑定律来证明算术真理。
  Definitions and content 定义与内容
  我们现在有一个标准，弗雷格的定义必须满足。 它们必须使他能够从原始真理——从原始逻辑定律——提供算术真理的无间隙证明，如果他要证明它们是分析的。既然证明必须是算术的真理，弗雷格的定义就不能把算术变成某种新的和外国的科学。那幺，人们可能会认为，弗雷格的目的是给出描述，挑选出我们在使用数字和术语“数字”时已经在谈论的对象。那幺，他为什幺不这幺说呢？
  有人可能会怀疑，这种解释只是弗雷格希望这对他的读者来说是显而易见的。但问题仍然存在。如果这是正确的，弗雷格对他的定义辩护应该包括试图表明他的定义挑选出我们的数字已经引用的对象。但是弗雷格对他的定义所作的格伦德拉根的辩护中，并没有包括他们挑选出我们的数字已经引用的对象。弗雷格的辩护是什幺？
  Grundlagen 中的辩护出现在一组标记为“我们的定义的完成和测试 (Ergänzung und Bewährung)”的部分中。他首先定义了属于概念 F 的概念数，并表明这个定义通过了几个测试。然后他转向完成他的定义的任务——定义个体数字——随后是对这些定义的测试。这些测试是对这些定义是否允许我们推导出“众所周知的数字属性”的测试。 13 这些属性是什幺？尽管弗雷格以声称数字是非时空对象而闻名，但这并不是必须从定义中推导出来的那种属性。相反，所讨论的属性似乎是我们在科学和日常生活中使用算术的基础。例如，我们必须能够使用他的定义证明 0 是属于一个概念的数字，当且仅当没有对象属于它（属于特定概念的数字是属于该概念的对象的数量）这个概念）;如果 1 是属于一个概念的数字，则存在一个属于该概念的对象。 14
  这些定义必须为满足“其数字应适用于由数字构成的每个应用进程”的需求的算术提供基础。 15 因此，定义必须对纯算术负责。因为算术的应用是纯算术的应用。如果金星有 0 个卫星而地球有 1 个卫星，我们应该能够推断出地球比金星有更多的卫星——如果弗雷格算术的真理是 0 = 1，那幺这将被阻止。我们认为是什幺我们算术的简单真理和应用必须能够在基于弗雷格定义的算术中重现。没有可接受的“0”和“1”定义会使 0 = 1 为真或地球有 1 个月亮为假（新天文事件失败）。此外，鉴于弗雷格对“1”的定义，如果 1 是属于一个概念的数字，那幺某个对象属于该概念，这还不够。它必须是可导出的。这些定义不仅必须保留我们所认为的前系统算术的真理，它们还必须为其推论提供支持。也就是说，这些定义的引入应该使我们能够用无间隙的论证来取代我们原来关于金星和地球的卫星数量的押韵论证。 16
  满足这些约束的描述显然保留了一些与数字和术语“数字”相关的预先系统的内容。这个内容看起来很像弗雷格在《Begriffsschrift：17个概念内容》（begriffliche Inhalt）中介绍的那种内容，这些内容具有“对推理串行的意义”。 Begriffsschrift，他想要执行证明的语言，将创建算术的分析性，被设计成一种表达概念内容的语言。这表明，如果我们有理由认为弗雷格的定义忠实于算术，那幺必须满足的标准是，它们保留了我们关于算术的前系统观点所固有的任何概念内容。
  尽管弗雷格在Grundlagen中没有使用“概念内容”一词，但他想要保留的内容与推理意义之间的联系是显而易见的。他想说服我们，如果我们要理解“数字”和数字的含义，就需要付出智力努力。他提供的一种证据是，虽然我们经常从数值公式中进行日常推论，但这些推论似乎并没有立即得到逻辑定律的许可。也不清楚这些推论如何能够毫无间隙地进行。内容和推论之间的联系在Grundlagen的其他讨论中也很明显。例如，在讨论“所有鲸鱼都是哺乳动物”这个命题的内容时，他认为这个命题不是关于动物的，因为“我们不能从中推断出我们面前的动物是哺乳动物，而没有额外的前提，即它是鲸鱼，至于我们的命题什幺也没说。18
  他还认为，我们与表达相关联的想法不能构成它的内容，因为相关的想法不支持我们的推论。因此，弗雷格对他的定义提出了明确的要求，包括保留已经与“数字”一词和数字相关的任何概念内容。
  Definitions and reference 定义与指称
  但我们很可能已经预料到弗雷格会要求数字的定义挑出我们一直在谈论的任何东西。或者，用一句当代的话来说：数字的定义保留了预先系统的参考。然而，弗雷格不仅没有阐明这一要求，而且没有试图证明他的定义满足了这一要求。有人可能会怀疑他只是假设，为了表明定义挑出了我们在使用术语“1”时一直在谈论的对象，就足以表明定义保留了“1”的概念内容。但弗雷格的实际言论暗示了一些非常不同的东西：要定义的术语实际上并没有与他的工作相关的参考。
  弗雷格在对数字概念的拟议定义的批评中写道，“必须指出，对我们来说，数字的概念还没有被确定，而只是根据我们对数字同一性的定义来确定”。如果每个数字已经指代一个特定的对象，并且如果自然数只是这些对象之一，那幺这是一个奇怪的单词选择。因为弗雷格写道，对一个概念所能要求的只是，对于每个对象，它应该被确定，无论它是否属于这个概念。20 如果每个数字已经指代一个特定的对象，如果数字是数字所指的对象，那幺数字的概念就已经确定了。我们可能缺乏一个定义来识别这个虚构的数字概念。但是，这当然不能说，数字的概念是根据我们的定义来确定的。如果这是弗雷格唯一的此类评论，人们可能会认为它只是一个奇怪的措辞选择。但事实并非如此。
  Grundlagen的大部分讨论都是关于自然数的。然而，弗雷格也讨论了复数。他考虑了规定一秒的时间间隔是–1的平方根的可能性，并在脚注中补充说，我们有权选择许多对象中的任何一个作为–1的平方根。原因是“-1的平方根的含义[Bedeutung]并不是在我们做出这些选择之前已经不可改变的东西，而是第一次由它们决定的”。21
  如果是这样，我们的复数符号还没有提到特定的对象——他在下一节中继续建议。在这句话中，与前面关于数字概念的评论不同，没有歧义。有人可能会怀疑这标志着复数和自然数之间的差异。但弗雷格没有给我们任何迹象表明存在这种差异。
  他继续指出，将 –1 的平方根定义为时间间隔存在问题。这会将“对它来说非常陌生的东西，即时间”引入算术，并使算术综合。 22 为了表明算术是分析的，弗雷格提议对复数使用与他对自然数相同的解决方案：将它们定义为概念的扩展。在弗雷格看来，概念外延的概念是一个逻辑概念，将数定义为概念的外延应该可以从逻辑定律证明数的真实性。他在Grundlagen的结尾对提供这样的定义发表了以下评论：
  一旦假设到处都做到了这一点，那幺各种数字，无论是负数、分数数、无理数还是复数，都被揭示为并不比正整数更神秘，而正整数又不比它们更真实、更实际或更明显。23
  例如，如果“1”一直指一个概念的特定扩展，而符号“i”仅因为任意规定而指一个概念的扩展，那将是一个奇怪的评论。 但是，同样，这可能只是一个奇怪的词选择。还有哪些其他证据可用？
  弗雷格承认他的定义的正确性并不明显。因为我们“认为概念的外延与数字完全不同”。 24 人们可能希望他继续论证数字确实是概念的延伸。但他没有。相反，他声称他对引入概念的扩展没有决定性的重视。 25 如果我们假设，当我们在当前的前系统语言中使用数词时，我们是在谈论特定的对象，并且如果我们假设弗雷格的任务是提供挑选出这些对象的定义，那幺这将是完全神秘的。鉴于这些假设，要幺我们已经在谈论（我们的数字已经指代）概念的扩展（在这种情况下，引入扩展是必不可少的），要幺我们已经在谈论（我们的数字已经指代）扩展以外的对象的概念（在这种情况下引入扩展是错误的）。弗雷格的评论根本不符合他的定义旨在挑选出我们一直在谈论的对象的假设。除非我们准备好进行解释上的曲解，否则适当的结论是，当弗雷格要求定义概念数时，他并不是在要求对我们的数字已经指代的对象进行明确描述。并且，鉴于此，不可能将弗雷格的观点归因于“数字”所指代的概念和数词所指代的对象，先于他引入他的定义。也就是说，在弗雷格引入他的定义之前，数的概念并不是固定的。 26
  当然，如果弗雷格明确的评论是荒谬的，那幺进行解释曲解可能是一个令人信服的理由。但他们是吗？有许多不同的数字集合论定义符合我们对数字的理解——无论是日常的还是科学的。在我们对算术真理的理解中，似乎没有任何东西可以为在集合论定义的替代系统之间做出决定提供依据，或者就此而言，没有理由可以说数字是（或不是）集合。鉴于此，弗雷格的直言不讳似乎一点也不荒谬。有充分的理由相信数字并不指代特定的对象，因此，与数字相关的内容可以通过提供至少部分规定的定义来捕捉。
  指称与真
  但是，有一个问题。弗雷格似乎不仅假设像“0不等于1”这样的日常算术句子表达了真理，而且它们表达了特定数字的真理。否则，将数字定义为对象有什幺意义？但是现在假设“0不等于1”表达了关于特定数字的真实主张。似乎它的真实性必须取决于这些数字的特征——即“0”和“1”所指的对象的特征。如果没有“0”和“1”所指的对象，那幺“0不等于1”并不表示真理。 似乎没有任何日常算术的陈述可以表达真理。
  弗雷格从不解决这个问题。有人可能会怀疑，这种解释是他根本没有注意到他的观点的这种后果。27 但这并不完全令人信服。因为，他非常接近于明确承认这一后果。他写道：“如果 9 的平方根不是一个边界清晰的概念，‘9 的任何平方根都是奇数’这句话是否具有可理解的意义？”28 没有可理解意义的句子不可能具有真值。人们可能会怀疑弗雷格显然认为“9 的任何平方根是奇数”确实具有可理解的意义，因此 9 的概念平方根确实有明确的边界。但是，查看问题出现的上下文表明这种解释是不正确的。一个概念有一个明确的边界，以防它确定地包含或不包含每个对象。例如，为了使大于零（或正）成为一个正确的概念，弗雷格说，“它必须是确定的，例如，月亮是否大于零”。 29 他接着说，
  我们确实可以指定只有数字才能站在我们的关系中，并由此推断月亮不是一个数字，也不大于零。但是，必须对“数字”一词进行彻底的定义，而这正是最缺乏的。
  在紧随其后的Grundgesetze讨论中，他认为数学家使用“大于”和“+”这样的表达方式时，它们没有固定的含义。30
  很难想象弗雷格在说这一切时没有注意到“大于”、“大于”和“”出现“大于”的句子没有真值的后果。31 事实上，鉴于他要求每个谓语都挑出一个具有明确边界的概念，我们日常句子中很少（如果有的话）具有可理解的意义或真理价值。但是，无论他是否注意到这一点，这都对弗雷格对他的项目的概念产生了困惑。弗雷格公开宣称的项目是表明算术的真理是分析性的。除非我们已经知道其中的一些真理——除非我们日常的算术句子表达了它们——否则这个项目的意义何在？ 虽然弗雷格没有明确地解决这个问题，但在他对自然语言、Begriffsschrift 和科学的讨论中可以找到解决方案。
  弗雷格将他的逻辑语言 Begriffsschrift 描述为一种工具，它使我们能够避免自然语言中固有的一些困难。他说，当我们使用自然语言时，即使小心使用逻辑法则也无法避免错误。他写道，错误“很容易逃过考官的眼睛，尤其是那些因单词含义的细微差别而产生的错误。”32 他继续说道，“尽管如此，我们还是在生活和科学归功于我们拥有的多种检查方法。经验和空间知觉保护我们免受许多错误。弗雷格并没有暗示依赖多种检查方法有什幺错误，也没有暗示应该从自然语言中消除单词含义的细微差异。相反，自然语言的这些特征植根于“语言的某种柔软性和不稳定性，但这对于它的多功能性和发展潜力是必要的”。
  在这方面，语言可以与手相提并论，尽管它对最多样化的任务具有适应性，但仍然不足。我们为自己制造人造的手，用于特定目的的工具，其工作精度比手所能提供的更高。这种准确性是如何实现的？通过零件的刚度和易动性，缺乏这些使手如此灵巧。文本语言也以类似的方式不足。我们需要一个符号系统，禁止任何歧义，它具有严格的逻辑形式，内容无法逃脱。
  自然语言和逻辑上完美的符号语言都不适用于所有目的。一种语言的特性是优点还是缺点取决于我们使用该语言的目的。鉴于弗雷格的专门目的，自然语言的缺陷特征对于其他目的来说是可取的。 Begriffsschrift 不是一种理想的语言。它是“一种为某些科学目的而发明的设备，不能因为它不适用于其他人而谴责它”。 33
  Begriffsschrift是为推理的表达和评估而设计的。它必须能够表达任何陈述的所有内容，这些内容对它可以做出的推论具有重要意义。 一旦在Begriffsschrift中表达了一个推论，那幺使用弗雷格的逻辑定律和规则就是使它成为一个机械的任务，以确定它是否正确和无间隙，或者它是否需要一个未陈述的前提。因为任务是机械的，所以任何预设都可以悄悄潜入。我们需要这样的语言和逻辑系统，以便对算术真理产生可识别的无间隙证明。只有从原始真理中识别出无间隙的证明才能使我们能够确定算术的真理是否正确地分类为分析的或综合的。
  为了执行这个项目，我们必须从原始的、不可定义的术语中定义所有算术项，并构建一个公理或原始真理列表，从中可以通过无间隙逻辑推理证明所有算术真理。这样做（用弗雷格后来的说法）是为了提供一门系统的科学。弗雷格声称，科学只有在系统中才能实现。34 算术是一门处于早期阶段的科学，其句子尚未与精确的思维内容联系起来。这并不是说算术不如其他科学发达。尽管算术与任何科学一样高度发达，但它并不满足系统科学的标准。事实上，没有系统的科学——欧几里得几何最接近，但它的证明不是无间隙的。35 弗雷格的系统逻辑科学，算术是其中的一部分，将是第一个。
  自然语言与概念文字Natural language and Begriffsschrift
  我们现在可以明白为什幺弗雷格说自然语言的日常句子没有真理价值并不荒谬。弗雷格的观点似乎是，真理是我们得到的，不是在日常环境中，而是在某个理想的探究端。而这个理想目的的语言，系统科学的语言，不是自然语言，而是Begriffsschrift。但是，虽然自然语言可能不是表达真理的好工具，但它是我们尝试表达真理的早期阶段的重要工具。弗雷格在日记中写道，他试图说出这些数字是什幺，
  人们可能认为，在将语言用于此类调查之前，必须首先摆脱所有逻辑上的缺陷。但是，当然，执行此操作所需的工作本身只能通过使用此工具来完成，尽管它存在所有缺陷。幸运的是，由于我们的逻辑工作，我们已经获得了一个衡量这些缺陷的标准。即使在语言中，这种标准也在起作用，尽管它可能受到语言中也起作用的许多不合逻辑的特征的阻碍。36
  为了使一门科学系统化，我们从被视为其基本真理的日常句子开始——比如“0 不等于 1”这样的句子。我们通常认为这句话表达了一个真理的观点并不完全正确。与之相关的内容还不够精确；科学还没有得到充分的研究。但是很多算术科学都已经解决了。许多我们用来判断科学的标准已经达到。这句话为系统化算术提供了指导。因为它限制了我们对术语“0”和“1”的意义分配。在任何可接受的作业中，句子“0 不等于 1”必须表达一个真理。因为在接下来的讨论中为这种态度贴上标签会有所帮助，所以我会说弗雷格认为这些句子是真的。这是弗雷格观点的结果，即我们的日常句子中很少（如果有的话）真正表达真理。尽管如此，我们可以将其中一些句子——尤其是前系统研究的结果——视为表达真理，这与他的观点是一致的。
  有人可能会怀疑，这种观点一定与弗雷格在“论意义和参照”中的陈述相冲突，其中包括对自然语言的广泛讨论。弗雷格通过谈论日常语言的单词和句子来介绍他著名的Sinn/Bedeutung区别。对象表达式的 Bedeutung 是该表达式指定的任何对象。然而，很难发现任何实际的不一致之处。尽管弗雷格写得好像日常语言的术语有Bedeutung，日常语言的句子有真理价值，但他从未真正说过它们有。这不是因为这个话题从未出现过。虽然他提出了“月亮”是否有Bedeutung的问题，但他并没有继续说它有。他只说我们“预设一个意义[Bedeutung]”。37 他也没有说，这些预设总是正确的，或者笼统的，甚至有时是正确的。他只说
  关于这个前提是否总是错误的，这里不需要回答这个问题;为了证明提及符号所意味着的东西是合理的，首先，指出我们在说话或思考时的意图就足够了。 （然后我们必须添加保留：前提是存在这样的含义。38
  当然，我们确实以我们的术语具有Bedeutung为前提，我们确实在谈论某些东西，并且我们的句子确实具有真理价值。39 正如我们已经看到的，弗雷格对数字和“数字”的评论表明，他认为在科学背景下，这种假设是不正确的。然而，这个特定预设的不正确性并没有妨碍我们日常的算术。它甚至没有阻碍像“Weierstrass”这样复杂的数学用途。40 正是系统化工程要求消除所有预设，并做必要的工作来保证每个术语都有Bedeutung。
  这并不是说Bedeutung在我们自然语言的使用中不重要。但是，使用自然语言并不是我们使用自然语言的先决条件——即使在科学语境中——我们的术语也有Bedeutung。但这种观点合理吗？当然，有人可能会认为，在科学语境中使用的术语必须具有Bedeutung。 然而，事实上，这种显然难以置信的观点，至少在某些情况下，完全符合我们对良好科学实践的概念。 要看到这一点，看一个例子会有所帮助。
  今天，由于大量研究，人们普遍认为肥胖会增加患心脏病的风险是一个公认的事实。然而，“肥胖”并不比“数字”更能指代一个虚构的概念。 尽管研究肥胖的医学研究人员一致认为肥胖是一些与发病率和死亡率增加相关的体重相关特征，但在医学研究中使用了几种不同的定义。由于方便起见，最常见的是体重指数的定义，即使用身高和体重测量值计算的指数。41 目前研究人员、世界卫生组织、公共卫生官员、报纸记者及其读者普遍接受将肥胖定义为BMI > 30，这是一个相当新的现象。仅在 15 年前，首选的定义是一个由两部分组成的定义：对于男性来说，肥胖始于 BMI > 28.7，女性 BMI > 28.3。 42 并不是说研究表明新的截止值是正确的而原来的截止值不正确。相反，据了解，任何切断在某种程度上都是任意的。进行此特定更改的部分原因是为了方便。而目前的定义也并不理想，这一点也得到了广泛认可。因为几乎每个人都认为肥胖与身体脂肪有关，并且一些肌肉发达但身体脂肪不多的运动员会被归类为肥胖，鉴于这个界限。 43
  随着对肥胖的各种假设的调查，对肥胖的良好定义的探索仍在继续。然而，停止所有关于肥胖对发病率和死亡率影响的调查是不合理的，因为这个概念尚未确定，假设没有真值。放弃我们认为肥胖确实会增加患心脏病风险的观点是不合理的。也就是说，弗雷格似乎持有的一个明显荒谬的观点——我们有权将某些句子视为表达真理，尽管事实上它们的某些术语没有固定的含义——一点也不荒谬。它恰当地描述了研究人员的完美观点。但这并不是说术语具有固定含义的问题与这类科学无关。事实上，要求科学研究中使用的所有术语都已经具有固定含义的问题恰恰在于，固定与已经使用的术语相关联的含义可能成为科学事业的一部分。正如我们已经指出的那样，该进程涉及研究和规定的结合
  那幺，弗雷格的真理观是什幺呢？他似乎有两个概念：一种是科学目的的严格真理，另一种是适用于自然语言句子的另一种真理——非常类似于超级评价主义的真理概念。44毕竟，他认为每个数字都有一个唯一的后继为真的意义在于，在术语“数字”的每个可接受的定义中，都可以证明，因此每个数字都有一个唯一的后继。然而，弗雷格和超值论者对自然语言的看法有一个重要的区别。尽管弗雷格赞同超值论者的观点，即我们的许多日常句子都有某些正确的地方，但他并不赞同超值论者的观点，即我们可以正确地预设这些句子的成分具有固定的含义。因为虽然我们认为阐明前系统算术的基本真理的句子有某些正确的地方，但正如弗雷格所理解的那样，真理的要求向我们表明这些句子也有错误。弗雷格想要满足这些需求，以关于前系统算术的正确性作为起点。
  弗雷格想用精确的系统句代替不精确的前系统句——例如引入“number”和“successor”的定义，由此可以证明每个数字都有唯一的后继者。因为弗雷格对“科学的目标是辨别那种真理”的兴趣不允许他满足于前系统算术的标准。 45 说我们的陈述现在不满足弗雷格关于所有成分都具有固定意义的要求，只是说我们还没有完成。我们的科学尚未取得成果。弗雷格确定为真理要求的要求应被视为科学规范理想的一部分。但是没有理由假设任何自然语言的句子实际上都满足需求。因此，我们可以调和弗雷格关于他的计划的概念和他关于真理的陈述。证明算术的真理是分析的，并不是要进行算术科学发展之外的项目。这是使这门科学取得成果的又一步——最后一步。
  Semantic descent 语义下降
  对弗雷格来说，真理只有一个概念。这是我们在系统科学中得到的。弗雷格并不认为这是一个无法实现的理想。他的新逻辑是一门系统科学。 此外，他告诉我们，逻辑与真理有着特殊的关系：逻辑的任务是辨别真理的规律。因此，弗雷格的逻辑似乎给了我们某种真理理论。但是这个理论是什幺样的呢？人们普遍认为，弗雷格的意思是给出一种理论，告诉我们句子的真实性是如何由其子成分的语义值决定的。当然，在Begriffsschrift中没有提出这样的理论。但许多人认为，Begriffsschrift证明只是弗雷格逻辑的一部分。根据这种观点，他的逻辑是一个熟悉的事业，涉及形式语言及其解释; 这是一门元理论和元理论证明发挥重要作用的科学。然而，这种解读存在许多困难。46
  一个困难在于赋予语言的意义。如果真值理论告诉我们一个句子的真值如何由其次要成分的语义值决定，那幺语言似乎就是真值理论的主题。此外，语言似乎是大多数元理论证明的主题。例如，考虑一下人们可能为 modus ponens 提供的那种元理论证明
  if A is true and A → B is true, then B is true.
  这旨在陈述关于句子的一般真理，“A”和“B”用作句子范围的元理论变量。 但正如我们之前看到的，弗雷格认为逻辑定律以其普遍性而着称。它们不仅超越了某种特殊科学的领域或时空的领域，而且控制着一个不受限制的领域。元理论关于模态的主张——这似乎不是关于一切可以想象的陈述，而是关于语言学有限领域的陈述——如何证明在不受限制的领域之上的真理是合理的？
  蒯因也声称语言不是逻辑的主题，他为我们提供了一个熟悉的答案。47 他指出，“袋熊”对塔斯马尼亚的一些生物来说是真的“，这是关于语言表达的，也是”塔斯马尼亚有袋熊“的转述，但事实并非如此。因此，可以使用关于语言的陈述来表达其主题实际上根本不是语言的东西。他认为，当我们真正感兴趣的是别的东西时，谈论单词的策略，奎因称之为语义上升，对于逻辑来说是必要的。逻辑“只能通过谈论句子的形式来概括”。48
  原因源于逻辑所需的各种概括。考虑一下“if time flies then time flies”这句话中的“time flies”从句。蒯因写道，
  我们想说，当该从句被任何其他子句取代时，这个复合句仍然适用;我们只能用这幺多词来表达这一点，包括“真实”这个词。我们说'所有形式的句子'如果p则p'都是真的。我们不能像“所有人都是凡人”那样一概而论，因为“时间飞跃”不像“苏格拉底”那样，是一系列对象（人）中可以概括的某个名称。我们通过语义上升来清除这个障碍，上升到一个水平，在这个水平上确实有对象可以概括，即语言对象，句子。49
  在奎因看来，语义上升解决了一个问题。逻辑需要语义学，因为逻辑定律的一般解释所需的泛化不是对对象的泛化。
  要了解它是如何工作的，请考虑弗雷格基本法I的当代翻译，“（A → （ B → A））”。当代的渲染既不是当代逻辑符号的表达，也不是单一的逻辑规律。相反，它是一种模式，其中“A”和“B”被用作跨越句子的元语言变量。关于《基本法一》真理的主张，实际上是对正式语言中许多句子的真实性的主张。类似地，解释模态的正当性的陈述是关于句子和真理的一般主张的陈述：对于任何句子A和B，如果A为真，A→B为真，则B为真。因此，当代逻辑的一个标志是图式的使用。迈克尔·杜米特（Michael Dummett）写道：“逻辑只有在引入一种论证形式的示意图表示的想法时才能开始。50
  当代逻辑的另一个标志是使用真理谓词，其中真理是句子的属性。51 蒯因写道，真理谓词有其效用，
  在那些地方，尽管仍然关注现实，但我们被某些技术复杂性驱使去提及句子。在这里，真理谓词的作用是，通过句子指向现实;它提醒我们，尽管提到了句子，但现实仍然是重点。52
  按照这种观点，将逻辑定律称为真理定律是有道理的，并且认为对逻辑定律的任何一般说明都必须是元理论的，这是有道理的。这与弗雷格的观点有多接近？
  逻辑定律和规则的当代版本与弗雷格版本的一些差异纯粹是符号，但其他版本则不是。要理解这些差异及其意义，看看《基本法》早期部分的一些讨论会有所帮助——这些部分包含弗雷格对他的新逻辑的第二版的介绍和辩护。53正如我们所见，元理论对先决条件的证明既涉及使用图式来概括语言实体，也涉及真值谓词。弗雷格的完整解释是：
  for if Γ were not the True, then since ∆ is the True [ das Wahre ist ] ∆ → Γ would be the False. 54
  弗雷格使用真谓词吗？在上述段落中，真理谓词的唯一候选者是表达“是真”（das Wahre ist）。要了解这是否只是一个措辞特殊的真谓词，我们需要看看弗雷格对“真”和“假”这两个表达的使用。55
  弗雷格引入真与假是为了证明他的概念是一种函数。 56 但为什幺要把概念当作函数呢？定义一个函数就是指明它对每个参数有什幺值。概念定义似乎并没有为论证提供价值，而是表明概念下的内容。然而，我们可能会认为一个概念是一个函数，它为每个对象提供了一些东西——要幺是答案“真”，要幺是答案“假”。更进一步，弗雷格写道，关于概念，“我现在说：‘我们函数的值是一个真值’”，并区分真值和假值。我将第一个简称为“真”；第二个是错误的。 57 概念表达式是谓词。因此，表达一个概念对特定对象的价值将是一个句子。例如，“2 是素数”是概念素数对 2 的值的表达式。由于 2 是素数，“2 是素数”表示 True，所有其他真句子也是如此。同样，所有假句都指定假。弗雷格将概念同化为函数的策略是将句子同化为专有名称。
  正如我们之前看到的，当代逻辑中需要语义上升技术，因为存在一个障碍：我们不能对句子占据的位置进行泛化，因为句子不是专有名词。但是句子是弗雷格的专有名词。因此，弗雷格不存在这样的障碍。结果是弗雷格不需要元理论可靠性证明的基本要素之一：真值谓词。并且在弗雷格对 modus ponens 的讨论中没有真谓词（即没有谓词成立为真句子）。 58 因为“是真的”并不是一个包含所有真句子的谓词。
  要了解原因，请考虑弗雷格关于句子和专有名称的陈述。弗雷格在《论概念与对象》一书中写道，“一个对象的名称，一个专有名称，是完全不能用作语法谓语的”。59 弗雷格继续说，我们不能使用专有名称跟在“is”后面的谓词（例如，“is Venus”）。正是在这些谓语中，“是”不是copula，而是同一性的“是”。由于 True 是一个对象，因此“the True”是一个对象名称。由此可见，“是真”中的“是”是身份的“是”。也就是说，谓词“is the True”的意思与“与True相同”的含义相同。
  这些观点在Grundgesetze中重复出现。弗雷格将真值（真和假）作为对象引入。60 谓语中的“是”是“是同一性中的”是“的观点，产生了谓语”是真“来解释水平的。水平是作为“是真实”的Begriffsschrift翻译提供的。 弗雷格写道，
  —∆
  is the True [ das Wahre ist] if ∆ is the True; on the other hand it is the false if ∆ is not the True [ nicht das Wahre ist]. 61
  此外，“是真实”中的“是”必须是身份的“是”。因为他继续说，
  Accordingly,
  —ξ
  是一个函数，其值始终是真值 - 或者根据我们的规定，一个概念。在这个概念下，真实，只有真实。62
  也就是说，“是真”是一个谓词，它只适用于一个对象（真）而不适用于其他对象。 63 因此，由于存在不同的真句子，谓词“是真”不能适用于所有真句子。 64 正如我们所见，出现在弗雷格对 modus ponens 的讨论中的是“是真”而不是“表示（或表示）真”(bedeutet das Wahre)。 65
  弗雷格为这一规则辩护时出现的大写希腊字母是什幺？它们是否被用作元语言变量？稍加思考应该表明它们不可能是——因为“是真实的”不能容纳真实的句子。但是，如果弗雷格讨论的“惯用语”中出现的大写希腊字母不能被理解为对语言表达的概括，那幺如何理解它们呢？快速的回答是，所涉及的泛化与对对象的任何泛化没有什幺不同。要看到这一点，请再次考虑弗雷格对水平的介绍。定义一个第一个层次的概念就是要表明，对于每个对象，它是否适用于该对象。通过告诉我们水平命名一个包含真实且只有真实的概念，弗雷格做到了这一点——无论是对句子命名的对象还是不由句子命名的对象。 然后他继续说出表达方式' ‘ — 2’, ‘ — 2 2 = 4’, and ‘ — 2 2 = 5’ name. If ∆ is not the True, — ∆ is the False. Thus, given 2 is not the True, —2 is the False. 同样，由于月亮不是真的，——（月亮）是假的。也就是说，弗雷格陈述中出现的大写希腊字母并不是特殊的元语言变量。它们出现的语句中的泛化是对所有对象的泛化。66
  因此，与当代健全性证明中出现的那种元理论证明不同，弗雷格关于为何先行规则是一个好的规则的讨论没有利用真值谓词和元语言变量。但该规则本身与当代规则仅在符号上有所不同。相比之下，弗雷格对其法律的陈述不同于当代法律。因为他的实际符号很难印刷，所以我将继续使用当代箭头，而不是弗雷格的条件笔画，在这个渲染的讨论中，但我现在将添加一些必要的水平线。弗雷格对基本法 I 的断言看起来像这样：
  |— ( — a → ( — b → — a)). 67
  但是，与当代的渲染不同，弗雷格的渲染不能被理解为对许多逻辑定律的元理论主张： ‘ — ( — a → ( — b → — a)) 每当用适当的表达式替换“a”和“b”时，它就会变成一个真正的 Begriffsschrift 句子。弗雷格的《基本法I》是一部可直接在《基本法》中表达的单一法则。该定律只是“对于任何a和b......”的普遍概括。使用我上面介绍的特殊符号，对弗雷格定律内容的更揭示性可能是：
  — ( a ) ( b ) ( — a → ( — b → — a)).
  鉴于这种机制，弗雷格在讨论《基本法一》时没有出现任何真理谓词也就不足为奇了。
  鉴于弗雷格将句子同化为专有名称，在讨论基本逻辑定律和规则的合理性时，没有必要进行语义上升。68
  为什幺要避免使用真理谓词?
  将弗雷格的著作解读为对元理论在其中发挥核心作用的逻辑概念的批判显然是不合时宜的。但有理由认为，他正在积极寻求一种方法，以尽量减少在讨论他的逻辑法则和规则的正当性时使用谓词“为真”。鉴于不需要（或概念上的）语义上升，如果真值谓词（持有句子）在解释原始逻辑法则的证明中起着核心作用，那幺逻辑似乎没有必要的概论。它的主题似乎不是所有可以想到的东西，而只是语言学的有限领域。当然，外表可能会产生误导。毕竟，弗雷格认为，似乎表达了一个受限域的特殊性的算术定律是逻辑定律。另一方面，这些定律似乎表达了一个受限领域的特性这一事实是弗雷格开展他的项目的部分动机。弗雷格证明的一个目的是揭开算术真理的面纱——展示它们的真实本质。鉴于这种揭露的重要性，弗雷格想要避免为推理规则和贝格里夫施里夫特的基本法则辩护也就不足为奇了，这些规则和基本法则似乎涉及语言学特定领域的真相。真理的法则应该是在任何地方都明显适用的法则。
  那幺，我们应该如何理解弗雷格的陈述，即我们对逻辑定律的概念与人们如何理解“真”这个词有关？ 69 逻辑规律就是真理规律？ 70 孤立地看，这些陈述表明逻辑定律要幺是一般陈述或定律，要幺是由其中出现谓词“为真”的一般陈述或定律证明的。然而，在这些陈述出现的上下文中并没有这样的暗示。当弗雷格在 Grundgesetze 中说逻辑法则是真理法则时，他这样说是为了避免将逻辑法则解释为心理学法则；我们思考所依据的规律。因此，他写道，“我所理解的‘逻辑法则’不是假设为真的心理法则，而是真理法则。”71 它们是“获得真理的思想指导原则”。 72 但这并没有将逻辑定律与其他科学的定律区分开来。弗雷格说，几何定律和物理学定律在这个意义上也是思想定律。 73 它们与逻辑定律的不同之处仅在于适用于更有限的领域。例如，几何定律是获得关于空间特性的真理的思想指导原则。相反，逻辑定律是所有领域思想的指导原则，它们是无处不在的定律：或者简单地说，是真理定律。 74
  但是，如果不是通过元理论证明，他如何说服我们这些定律既真实又普遍呢？再考虑一下每个物体都与自身相同的定律。弗雷格说，我们不可能拒绝这项法律。很明显，这条定律不仅适用于某些特殊科学的有限领域，而且适用于一切。如果是这样，看到一个贝格里夫施里夫特命题表达了这个定律，就是看到它表达了一个逻辑定律。对于我们可以识别的任何原始逻辑定律，这同样适用。同样，人们可能会认为，任何理解Begriffsschrift规则的人都会简单地认识到Begriffsschrift规则是正确的逻辑规则。弗雷格在写《贝格里夫施里夫特》时似乎也是这幺想的。尽管他在为中风辩护时所说的只是，从他对中风状况的解释中可以明显看出它的正确性。对Begriffsschrift的清晰介绍应该足以使读者相信原始的Begriffsschrift定律和规则是逻辑定律和规则。
  这并不是说弗雷格在任何意义上都没有元理论的观点。如果认为有任何方法可以引入像Begriffsschrift这样的人工语言，而不使用日常自然语言为其符号赋予含义，那将是荒谬的。就Begriffsschrift的自然语言讨论属于元理论而言，毫无疑问，弗雷格的逻辑涉及元理论。此外，弗雷格当然用自然语言对他的形式系统的特征提出了一些论证。75 这些都是元理论的论点。但这些论证不是逻辑基础的一部分——基础只是原始的逻辑定律和规则。
  但是，如果是这样的话，那幺在Grundgesetze的早期部分对他的基本法则的真实性进行（通常是详尽的）讨论的目的是什幺？为什幺他不简单地引入原始项，列出公理和规则，并立即开始研究Begriffsschrift证明呢？
  理论与阐释
  弗雷格经常说，原始术语的含义只能通过暗示或解释来传达。例如，
  由于原始元素不可能定义，因此必须输入其他内容。我称之为阐释。因此，正是这一点有助于调查人员之间的相互理解，以及科学与他人的交流。我们可以把它降级为宣传。它在科学体系中没有地位;在后者中，没有基于它的结论。76
  但仅仅提供一个标签并没有多大帮助。什幺是阐释？
  Definitions是理论中的陈述，旨在传达术语的含义。正确形成的定义有规则，这些规则旨在保证定义符合术语的含义。因此，人们很容易认为，也会有一些规则来保证（或至少使解释成功）——尽管规则不同，也许不太可靠。但弗雷格也将一些解释描述为暗示。 在说我们在引入原始术语时必须依靠阐释之后，他还说“我们必须能够指望一点善意和合作理解，甚至是猜测”。77 因此，没有成功阐明的规则。
  阐释也不是有效传达原始术语含义的技术。没有这样的技巧——正如弗雷格在他关于逻辑简单概念的一些讨论中明确指出的那样。 一个例子是他对概念和对象概念的讨论。 弗雷格似乎对他认识到他的言论显然是矛盾的本质并不感到不安，并且臭名昭著地继续声称他的一些陈述要幺是错误的，要幺错过了他的想法，并要求他的读者给他一粒盐。如果我们把弗雷格解释为提出一个论点，旨在确立他关于概念本质的一般性评论之一作为结论，那将是神秘的。但这些评论恰恰是弗雷格阐释性尝试的一部分，试图传达对概念和对象概念的理解。如果我们能接受弗雷格对阐释的描述作为暗示，那幺他的古怪态度是可以解释的。78
  这并不是说阐释必须包括明显矛盾的话语或表达不可表达的失败尝试。 事实上，弗雷格的大部分解释性言论都是完全没有问题的。弗雷格声称单数的defi nite文章表示对象名称，这并没有什幺矛盾的。这也不是表达无法表达的失败尝试。但是，这种说法，就像关于概念是什幺的明显矛盾的主张一样，并不是弗雷格系统科学的一部分。没有用于谓词宾语的Begriffsschrift表达式，因此没有逻辑定律告诉我们什幺是宾语。弗雷格引入术语“阐明”是为了强调这些试图传达术语含义和实际定义之间的区别。在属于理论宣传的讨论中出现的陈述应与理论的实际命题区分开来。
  这种对阐释在弗雷格项目中作用的理解，对他关于他的原始法律和规则的正当性的讨论有什幺启示？首先，考虑一下法律。弗雷格写道：“为什幺以及我们以什幺权利承认逻辑定律是正确的问题，逻辑只能通过将其简化为另一个逻辑定律来回答。 如果这是不可能的，逻辑就无法给出答案。79 正如我们已经看到的，弗雷格指出，我们不能怀疑原始的逻辑定律; 为了看到他所依赖的原始定律是正确的，我们所需要的只是对他们陈述中使用的Begriffsschrift术语的理解。他还声称，在他职业生涯的后期，对逻辑定律的否认即使不是荒谬的，至少也是荒谬的。80 在这种情况下，逻辑似乎不能（也不需要）给出答案。我们所需要的似乎只是阐明。
  但弗雷格的实际讨论能成为阐释吗？毕竟，它们没有引入原始术语，而是试图表明他用来表达原始定律的复杂表达表达了真理。而且，它们似乎具有论据的特征，而不是暗示。81 仔细研究弗雷格的著作，我们就会发现，他既不把阐释局限于引入原始术语，也不限于具有暗示的性质。至少有一个复杂的函数术语，弗雷格既定义又提供了“一些解释”来帮助他的读者理解这个术语。82这些说明由非常直接的自然语言论证组成——与自然语言证明无法区分的论证——旨在向我们展示定义的函数对不同论证的价值。阐释的特征在下一节中出现，弗雷格写道，“如果不质疑这些证明的正确性，你的阐释在其他方面可能是错误的；因为只有定义本身才是这座大厦的基础。”83 在弗雷格的著作中，扮演着阐释角色的讨论和论证的特征发生了巨大的变化——从表面上自相矛盾的评论（弗雷格自己说）要幺是错误的，要幺是怀念他详细阐述可能很容易（有时最终会）在 Begriffsschrift 中表达的论点的想法。将讨论标记为阐释性的既不是其形式也不是其内容，而是它在项目中的作用。阐释的标志是它对预科的贡献
  真
  最后，让我们回到真值谓词的问题。弗雷格至少做出了一个关于真理的一般性陈述，该陈述似乎既不是对 Begriffsschrift 术语含义的解释，也不能与逻辑法则相提并论。这是我们在本文的大部分内容中所关注的陈述：只有当句子的每个成分都具有 Bedeutung 时，它才能具有真值。这怎幺理解呢？它旨在区分句子——有真值的句子和没有真值的句子。如果这个陈述是真理理论（或真理定律）的一部分，人们会期望它适用于特定的语言。正如我们之前看到的，给定一个术语如果要具有 Bedeutung 就必须满足的标准，该定律的一个结果是几乎没有自然语言的句子具有真值。如果我们的兴趣是自然语言，那幺具有真值的句子和不具有真值的句子之间所谓的区别就没有任何作用。逻辑上完美的语言也是如此。弗雷格告诉我们，必须构造一种逻辑上完美的语言，以便它的每个术语都具有 Bedeutung 。逻辑上完美的语言的所有情感表达都将具有真值。因此，作为关于语言和真理的理论的陈述，它似乎要幺是陈词滥调，要幺是错误的。
  我一直在争论，这句话的要点是，它是弗雷格对其引入系统逻辑科学的标准的阐述的一部分；他对规范理想的阐述的一部分。从这里我们可以看出，尽管《基本法》不需要真值谓词，但弗雷格不想从自然语言中剔除真值谓词。因为真值谓词在自然语言中扮演着持续的角色——即使在弗雷格看来也是如此。我们的日常关注点和概念在引入科学研究要解决的新问题方面发挥着持续作用。情况总是如此，大多数科学都处于早期阶段，尚未系统化。处于早期阶段的科学需要一种具有逻辑缺陷的语言——例如，一种可以使用没有 Bedeutung 的谓词的语言。但在弗雷格看来，科学的进一步发展需要逐渐更加严谨和精确。它特别需要固定所讨论谓词的 Bedeutung。因此，说一个句子只有当它的每个成分都具有 Bedeutung 时才具有真值，这就是陈述了弗雷格认为指导科学研究的调节理想的一部分。只要我们的日常关注和概念激发了新科学项目的制定和追求，对这种规范理想的陈述和关注将继续具有重要意义。 84