text: 扩散模型入门（四）
  从如前文所述的例子观点来看，随机信号是方差的游戏。在实际场景中，我们很难事先知道协方差矩阵的精确值，事实上我们往往需要用对角矩阵来模拟它。而扩散模型则有希望完成两者之间的跨越。我们将扩散过程看作是在一系列均值为零的高维空间中不断采样，这些采样的累积效应将信号扩散到标准正态空间中。最终将扩散过程理解成这样一个动态过程，它不断地、蚂蚁搬家式地将先验信号  的协方差矩阵“替换”为标准正态分布的协方差矩阵。我想在这里吐个槽，初学数理统计时喜欢算均值，觉得方差是碍事的东西，但越学越反过来，开始觉得数理统计是研究方差的学问，均值是妨碍我理解它的绊脚石。首先，满足多维高斯的随机变量总可以表示成如下形式而扩散过程总是从某个状态开始，以近似微分的方式向新的状态“演变”，演变的终点是噪声。这个过程可以表示成条件概率的形式乍看起来，第一个式子所代表的扩散过程是均值和方差都在不断变化的过程，最终回归到噪声。但这样的想法立即产生了矛盾，因为这个过程要求扩散过程遵循某种规律，这种规律需要“巧合地”将原始信号回归到噪声。这种规律无疑是违背随机性的，因为你不能既要求随机性，又要求随机性满足数据的特征。下面我们将着手拆解这个矛盾，拆解的第一步是将均值去掉。细细想来，我们似乎能够从方差的角度重新理解这个过程，而这个过程与均值没有关系，我们将扩散过程看作是在一系列均值为零的高维空间中不断采样，这些采样的累积效应将信号扩散到标准正态空间中。首先，将协方差矩阵简化，将其均值项置零接下来，考虑将两个这样的随机变量加权求和其协方差矩阵为由于两个随机变量相互独立，因此有回到扩散过程，我们将均值项看作是  的一次采样，而方差项看作是随机变量 ，则有这样变换的原因是采样虽然会导致随机变量固定下来，但采样之间是随机的，因此对扩散过程来说，它的第一项变化还是可以用随机变量来表示，也就是说，独立采样多次的高维变量，其取值概率等同于其原始分布。你看，如果排除到均值的干扰，这个式子看着就顺眼多了。接下来，我通过链式推导让它更规范一些将上式进行代入，则有以下迭代式定义新变量由  序列的性质可知， 序列是缓慢降低的序列 。将其代回迭代式，则有易知因此，我们可以将扩散过程理解成这样一个动态过程，它不断地、蚂蚁搬家式地将先验信号  的协方差矩阵“替换”为标准正态分布的协方差矩阵。先验信号怎么来的？它是从协方差矩阵未知的高维正态分布采样得来的。就像下面这样[1] 扩散模型入门（四）: #扩散模型入门四[2] 扩散过程的递归表示: #扩散过程的递归表示[3] 从方差的角度理解扩散递归: #从方差的角度理解扩散递归[4] 通过链式推导实现状态跨越: #通过链式推导实现状态跨越