text: 一个正方体每条棱是通路的概率都是1/2，那么距离最远的两点间构成通路的概率是多少？1/2改成a呢？ 
  这个问题还是比较复杂的，一不小心就会掉进各种陷阱里。主要的问题在于，对角线两个点之间的路径很多，而且这些路径之间有复用的边，这就导致这些路径之间不是独立的，不能直接运用乘法公式。
  首先我们这里认为问题是说“选定的两个主对角线顶点构成通路的概率”，而不是“存在某一对主对角线顶点构成通路的概率”，后者更难计算一些。也就是说，起点和终点是固定的两个点。
  对于起点和终点的路径来说，两次通过相同的点是没有意义的，如果有经过相同的点两次的路径，一次也有不经过相同点的路径。不经过相同点的路径自然只经过起点和终点一次，要点在于中间六个点，这六个点其中三个和起点相邻，另外三个和终点相邻，相互之间的连接关系大致是一个六边形，不相邻的顶点是一组。另外，起点和终点是对称的，任意分布下对换起点和终点结论不变。
  根据六边形上通路的数量和分布，两组点会被连接成为不同的连通集，特点在于同一个连通集中任意两点之间都存在通路，不同的连通集没有相同的顶点。我们规定第一组中m个点和第二组中n个点相互连通这种情况记为(m:n)，单独考虑这m+n个点，经由它们形成通路的概率可以表示为：
  (1 - (1-a)^m)(1-(1-a)^n)
  简便起见我们令 p = 1-a 是某条棱没有形成通路的概率，则这m+n个点没有形成通路的概率为
  p^m+p^n - p^{m+n}
  m和n实际上是对称的，所以(m:n)和(n:m)等价
  多个连通集之间没有重合的顶点和棱，所以是完全独立的，没有形成通路的概率是各自没有形成通路概率的乘积。多个连通集我们用分号分隔，简记为 (m_1:n_1);(m_2:n_2);... 这样的形式
  接下来按照中间六个顶点形成六边形的通路形式分类讨论，我们用6个数字表示六边形六条棱的状态，1表示形成了通路，0表示没有形成通路
  全部不通，即000000，概率为 p^6 ，这种情况下没有形成通路的概率为1
  只有一条通路，即100000，概率为 C_6^1 (1-p)p^5 ，连通形式为(1:1)，没有形成通路的概率是 2p-p^2
  两条通路且相邻，即110000，概率为 6(1-p)^2p^4 ，连通形式为(2:1)，没有形成通路的概率是 p^2 + p - p^3
  两条通路且不相邻，即101000或100100等，概率为 9(1-p)^2p^4 ，连通形式为(1:1);(1:1)，没有形成通路的概率是 (2p-p^2)^2
  三条通路全相邻，即111000，概率为 6(1-p)^3p^3 ，连通形式为(2:2)，没有形成通路的概率是 2p^2 - p^4
  三条通路分为2, 1两部分，即110100等，概率为 12(1-p)^3p^3 ，连通形式为(2:1); (1:1)，没有形成通路的概率是 (p^2 + p - p^3)(2p - p^2)
  三条通路1,1,1，即101010，概率为 2p^3(1-p)^3 ，连通形式为(1:1);(1:1);(1:1)，没有形成通路的概率是 (2p-p^2)^3
  四条通路全相邻，即111100，概率为 6(1-p)^4p^2 ，连通形式为(3:2)，没有形成通路的概率是 p^3 + p^2 - p^5
  四条通路3,1，即111010，概率为 6(1-p)^4p^2 ，连通形式为(2:2); (1:1)，没有形成通路的概率是 (2p^2-p^4)(2p-p^2)
  四条通路2,2，即110110，概率为 3(1-p)^4p^2 ，连通形式为(2:1); (2:1)，没有形成通路的概率是 (p^2 + p - p^3)^2
  五条通路全相邻，即111110，概率为 6(1-p)^5p ，连通形式为(3:3)，没有形成通路的概率是 2p^3 - p^6
  六条道路全相邻，即111111，概率为 (1-p)^6 ，连通形式为(3:3)，没有形成通路的概率是 2p^3 - p^6
  综上，没有形成通路的概率为
  p^6 + 6(1-p)p^5(2p-p^2)+6(1-p)^2p^4(p+p^2-p^3)+9(1-p)^2p^4(2p-p^2)^2 \\ +6(1-p)^3p^3(2p^2-p^4) + 12(1-p)^3p^3(p^2 + p - p^3)(2p - p^2) \\ + 2p^3(1-p)^3(2p-p^2)^3 + 6(1-p)^4p^2(p^3 + p^2 - p^5) \\ + 6(1-p)^4p^2(2p^2-p^4)(2p-p^2) + 3(1-p)^4p^2(p^2 + p - p^3)^2 \\ + 6(1-p)^5p(2p^3 - p^6) + (1-p)^6(2p^3 - p^6)
  展开可得
  16 p^{12} - 114 p^{11} + 333 p^{10} - 494 p^{9} + 354 p^{8} - 54 p^{7} - 63 p^{6} + 12 p^{5} + 9 p^{4} + 2 p^{3}
  用1减去这个值就是形成通路的概率了。
  代入p=0.5得到未形成通路的概率为0.47265625，形成通路的概率则为0.52734375
  这个关于p的多项式画成图大致是这样的：
  它的导数则是下面这个样子：
  虽然一眼看上去像是有某种对称性，但其实只是错觉，实际上导数的极值出现在0.5096附近