text: 关于高中物理中追击与相遇的讲解
  1.追及和相遇问题$P$当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.$P$2.追及问题的两类情况$P$(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：$P$①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有　最小　距离.$P$②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时　避免碰撞　的临界条件.$P$③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有　一个极大　值.$P$(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：$P$①当两者速度相等时有　最大距离　.$P$②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上.$P$3.相遇问题的常见情况$P$(1)同向运动的两物体追及即相遇.$P$(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.$P$重点难点突破$P$一、追及和相遇问题的常见情形$P$1.速度小者追速度大者常见的几种情况：$P$类型$P$图象$P$说明$P$匀加速追匀速$P$$P$①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大$P$②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx$P$③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小$P$④能追及且只能相遇一次$P$注：x0为开始时两物体间的距离$P$匀速追匀减速$P$$P$匀加速追匀减速　$P$$P$2.速度大者追速度小者常见的情形：$P$类型$P$图象$P$说明$P$匀减速追匀速$P$$P$开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：$P$①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件$P$②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇$P$注：x0是开始时两物体间的距离$P$匀速追匀加速$P$$P$匀减速追匀加速　$P$$P$二、追及、相遇问题的求解方法$P$分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：$P$方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离.$P$方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇.$P$方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积.$P$方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝$P$v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定.$P$三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题$P$1.解“追及”、“相遇”问题的思路$P$(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图.$P$(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.$P$(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程.$P$(4)联立方程求解.$P$2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点$P$(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：$P$“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.$P$“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益.$P$(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动.$P$(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件.$P$典例精析$P$1.运动中的追及和相遇问题$P$【例1】在一条平直的公路上，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).$P$【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有$P$v甲t－ ＝v乙t＋L$P$其中t＝ ，解得L＝25 m$P$若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇.$P$若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大.$P$若L<25 m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次.$P$【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解.$P$【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆                                                                    ( AC )$P$【解析】由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故A、C正确.$P$2.追及、相遇问题的求解$P$【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？$P$【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解.$P$对A车有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2$P$vA＝v0＋(－2a)×t$P$对B车有sB＝ at2，vB＝at$P$两车有s＝sA－sB$P$追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB$P$联立以上各式解得v0＝ $P$故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ $P$解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2$P$整理得3at2－2v0t＋2s＝0$P$这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ $P$解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at$P$对B车有vB＝v＝at$P$以上两式联立解得t＝ $P$经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知$P$s＝ v0•t＝ v0• $P$所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ $P$【思维提升】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.$P$【拓展2】从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B.要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？$P$【解析】A、B两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－ gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表示A、B相遇(sA＝sB).$P$由图象可看出Δt满足关系式 时，A、B在空中相遇.$P$ 易错门诊$P$3.分析追及、相遇问题的思路$P$【例3】现检测汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.若A在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车B以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？$P$【错解】设汽车A制动后40 s的位移为x1，货车B在这段时间内的位移为x2.$P$据a＝ 得车的加速度a＝－0.5 m/s2$P$又x1＝v0t＋ at2得$P$x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m$P$x2＝v2t＝6×40 m＝240 m$P$两车位移差为400 m－240 m＝160 m$P$因为两车刚开始相距180 m>160 m$P$所以两车不相撞.$P$【错因】这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解.$P$【正解】如图，汽车A以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当A车减为与B车同速时，是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞.$P$$P$据v2－ ＝2ax可求出A车减为与B车同速时的位移$P$x1＝ m＝364 m$P$此时间t内B车的位移为x2，则t＝ s＝28 s$P$x2＝v2t＝6×28 m＝168 m$P$Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m$P$所以两车相撞.$P$【思维提升】分析追及问题应把两物体的位置关系图(如解析中图)画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解，如图所示，阴影区是A车比B车多通过的最大距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出A车速度成为零时，不是A车比B车多走距离最大的时刻，因此不能作为临界条件分析.
  1.追及和相遇问题$P$当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.$P$2.追及问题的两类情况$P$(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：$P$①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有　最小　距离.$P$②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时　避免碰撞　的临界条件.$P$③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有　一个极大　值.$P$(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：$P$①当两者速度相等时有　最大距离　.$P$②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上.$P$3.相遇问题的常见情况$P$(1)同向运动的两物体追及即相遇.$P$(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.$P$重点难点突破$P$一、追及和相遇问题的常见情形$P$1.速度小者追速度大者常见的几种情况：$P$类型$P$图象$P$说明$P$匀加速追匀速$P$$P$①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大$P$②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋δx$P$③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小$P$④能追及且只能相遇一次$P$注：x0为开始时两物体间的距离$P$匀速追匀减速$P$$P$匀加速追匀减速　$P$$P$2.速度大者追速度小者常见的情形：$P$类型$P$图象$P$说明$P$匀减速追匀速$P$$P$开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：$P$①若δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件$P$②若δx③若δx>x0，则相遇两次，设t1时刻δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇$P$注：x0是开始时两物体间的距离$P$匀速追匀加速$P$$P$匀减速追匀加速　$P$$P$二、追及、相遇问题的求解方法$P$分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：$P$方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离.$P$方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇.$P$方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积.$P$方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝$P$v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定.$P$三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题$P$1.解“追及”、“相遇”问题的思路$P$(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图.$P$(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.$P$(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程.$P$(4)联立方程求解.$P$2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点$P$(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：$P$“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.$P$“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益.$P$(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动.$P$(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件.$P$典例精析$P$1.运动中的追及和相遇问题$P$【例1】在一条平直的公路上，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离l满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).$P$【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有$P$v甲t－ ＝v乙t＋l$P$其中t＝ ，解得l＝25 m$P$若l>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇.$P$若l＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大.$P$若l【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解.$P$【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆                                                                    ( ac )$P$【解析】由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有a、c选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故a、c正确.$P$2.追及、相遇问题的求解$P$【例2】在水平轨道上有两列火车a和b相距s，a车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而b车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求a车的初速度v0应满足什么条件？$P$【解析】解法一：(物理分析法)a、b车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解.$P$对a车有sa＝v0t＋ ×(－2a)×t2$P$va＝v0＋(－2a)×t$P$对b车有sb＝ at2，vb＝at$P$两车有s＝sa－sb$P$追上时，两车不相撞的临界条件是va＝vb$P$联立以上各式解得v0＝ $P$故要使两车不相撞，a车的初速度v0应满足的条件是v0≤ $P$解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知sa＝s＋sb，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2$P$整理得3at2－2v0t＋2s＝0$P$这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式δ＝(2v0)2－4×3a×2s解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作a、b两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对a车有va＝v＝v0－2at$P$对b车有vb＝v＝at$P$以上两式联立解得t＝ $P$经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知$P$s＝ v0•t＝ v0• $P$所以要使两车不相撞，a车的初速度v0应满足的条件是v0≤ $P$【思维提升】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.$P$【拓展2】从地面上以初速度2v0竖直上抛物体a，相隔δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体b.要使a、b在空中相遇，δt应满足什么条件？$P$【解析】a、b两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－ gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表示a、b相遇(sa＝sb).$P$由图象可看出δt满足关系式 时，a、b在空中相遇.$P$ 易错门诊$P$3.分析追及、相遇问题的思路$P$【例3】现检测汽车a的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.若a在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车b以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？$P$【错解】设汽车a制动后40 s的位移为x1，货车b在这段时间内的位移为x2.$P$据a＝ 得车的加速度a＝－0.5 m/s2$P$又x1＝v0t＋ at2得$P$x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m$P$x2＝v2t＝6×40 m＝240 m$P$两车位移差为400 m－240 m＝160 m$P$因为两车刚开始相距180 m>160 m$P$所以两车不相撞.$P$【错因】这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车a与货车b同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解.$P$【正解】如图，汽车a以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当a车减为与b车同速时，是a车逼近b车距离最多的时刻，这时若能超过b车则相撞，反之则不能相撞.$P$$P$据v2－ ＝2ax可求出a车减为与b车同速时的位移$P$x1＝ m＝364 m$P$此时间t内b车的位移为x2，则t＝ s＝28 s$P$x2＝v2t＝6×28 m＝168 m$P$δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m$P$所以两车相撞.$P$【思维提升】分析追及问题应把两物体的位置关系图(如解析中图)画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解，如图所示，阴影区是a车比b车多通过的最大距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出a车速度成为零时，不是a车比b车多走距离最大的时刻，因此不能作为临界条件分析.