text: 在使用滤波器的应用领域中，振幅响应通常会比相位响应更令人注意。但是在某些应用领域上，滤波器的相位响应就变得相当重要。关于这类型的状况，有一种例子就是滤波器属于处理控制迴路的其中一个零件。此处的总相位偏移需要加以注意，因其可能会对迴路稳定性产生影响。不论採用何种拓朴建构，滤波器在某些频率下所产生的符号反转很可能是极为重要的。
  将主动式滤波器以两颗串接的滤波器来加以表示可能会比较有用。一颗是理想滤波器，内含有转换方程式；另外一颗则是用来建立滤波器的放大器。在图1中可以看到此架构。使用于封闭式负向回授迴路之中的放大器，可以被视为是一颗具有第一阶响应的简单低通滤波器。在某个特定的分界点上，增益会随着频率而转移。此外，实际状况是假如放大器使用时是处于反相设定状态下，那么额外的180度相位偏移就会在所有的频率中产生。
  滤波器的设计是两步骤的程序。首先，必须选定滤波器的响应；接下来则是选择电路拓朴，以便将其完成。滤波器响应意指衰减曲缐的外型。通常这就好比巴特威士(Butterworth)、贝塞尔(Bessel)、或是某些柴比雪夫(Chebyshev)等类型典型响应其中之一。虽然这些响应曲缐往往被认为会对振幅响应产生影响，但是其实它们也会对相位响应的外型有所影响。在本篇讨论中为了要权充比较之用，因此振幅响应将会被忽略，而且被认定为原本就是恆定的。
  滤波器的复杂度通常是以滤波器的‘阶’(order)来加以定义－它与能量储存零件(电感器以及电容)的数量有关。滤波器转换函数分母的阶数会随频率的增加而决定衰减的速率。渐进式滤波器的曲变率(rolloffrate)是-6ndB/octave或者-20ndB/decade，其中n是极点的数量。Octave意指频率的双倍或是一半，decade意指频率增加或是减少十倍。因此第一阶(或是单极点)滤波器的曲变率为-6dB/octave或是-20dB/decade。同理，第二阶(或是双极点)滤波器的曲变率则为-12dB/octave或是-40dB/decade。较高阶滤波器通常都是将第一阶与第二阶的区块加以串接后而建立起来的。当然，要利用单一主动级(activestage)建立第三甚或是第四阶区域也是有可能的，但是对于元件值的敏感度以及元件之间的互动在频率响应上所产生的影响将会很显着的提高，因而使得这些选择比较不具诱因。
  首先，我们将要先来探讨一下相位响应的转换方程式。转换方程式的相位偏移对于所有同阶的滤波器选项都会是相同的。对于单极点、低通的状况，转换方程式的相位偏移Φ可以由以下方程式得出：
  以每秒弧度所代表的频率相当于2π乘上以Hz计算的频率(f)，因为一个360°週期的弧度为2π。由于此公式为无量纲比(dimensionlessratio)，所以f或是ω都可以使用。
  中心频率也可以称之为截止频率(cutofffrequency，单极点低通滤波器的振幅响应下降3dB－大约30%时的频率)。以相位而言，中心频率将会位于相位偏移为50%的点上面(在这个状况下，-90°为其极限值)。图2所示为半对数(semi-log)图表，以从低于中心频率2个10倍频(decade)到高于中心频率2个10倍频来估算方程式1。中心频率(=1)具有-45°的相位偏移。
  与前述类似，单极点、高通滤波器的相位响应可以由以下方程式得出：
  图3是以从低于中心频率2个10倍频到高于中心频率2个10倍频来估算方程式2。经过标准化的中心频率(=1)具有+45°的相位偏移。
  很明显的高通以及低通相位响应都是相似的，只是会有90°(π/2弧度)的偏移。
  针对第二阶低通的状况，转换函数所具有的相位偏移大约可以用如下的公式计算：
  其中α为滤波器的衰减系数。其将会决定振幅响应的峰值以及相位转变的锐度(sharpness)。电路中Q的反相也会决定振幅转移或是相位偏移的陡度。巴特威士具有1.414的α值(0.707的Q值)，可以产生出最为平整的响应。较低的α值将会在振幅响应中造成峰值。
  图4是以从低于中心频率2个10倍频到高于中心频率2个10倍频来估算此方程式(採用α=1.414)。此处的中心频率(=1)会显示出-90°的相位偏移。双极点高通滤波器的相位响应可以利用下列公式约略算出：
  在图5中，此方程式是以从低于中心频率2个10倍频到高于中心频率(=1)2个10倍频来估算(再次採用α=1.414)，而中心频率也会呈现出-90°的相位偏移。
  此处又再次看到，很明显的高通与低通相位响应是很相似的，只偏移了180°(π弧度)。
  在较高阶的滤波器中，每个额外区间的相位响应都是渐增的，并且会加入到总值当中。这个部分将会在稍后做更为详细的探讨。在一般的现实状况下，所显示的相位偏移会被限制在±180°的范围内。举例来说，-181°其实跟+179°是一样的，360°与0°是相同的，以此类推。
  第一阶区间可以採用许多种的方法来建立。最为直接的方法就是如图6中所示，只利用一组被动式R-C的设定。这种滤波器的中心频率是1/(2πRC)。通常必须要再接上一组非反相缓冲放大器以防止接续于滤波器之后电路上的负载，其可能会改变滤波器的响应。此外，缓冲器也具有一定的驱动能力。如图2中所示，相位将会从中心频率以45°的相位偏移随频率而改变，就正如同在转换方程式中所预期的，这是因为沒有额外的元件来修改相位偏移。其响应将会被视为是同相第一阶低通响应。缓冲器不会增加相位偏移，只要其频宽很明显大于滤波器频宽。
  请记得在这些图表当中的频率都是经过标准化的，也就是说对于中心频率的比例。举例来说，假如中心频率是5kHz，那么图表就会对介于50Hz到500kHz的频率呈现出相位响应。
  图7为另一种替代架构。此电路中增加了并联电阻，以便对整合于内的电容持续的放电，基本上是属于有损耗性的积算器。其中心频率也是1/(2πRC)。由于放大器是以反相模式使用，因此反相会造成额外的180°相位偏移。输入对输出相位随频率的变化，其中也包括了放大器的相位反转，如图2中所示(右轴)。此响应将会被视为反相第一阶低通响应。
  上图中的电路是一颗低通滤波器，会将高频率予以衰减并且使低频率通过。也有类似的电路可以用来使高频率通过。图8中所示为针对第一阶高通滤波器的被动式设定，而其随着标准化频率的相位变化可以在图3中看到(同相响应)。
  图3中的图表(左轴)将会被视为同相第一阶高通响应。图9中所示为高通滤波器的主动式设定。其随频率的相位变化如图3中所示(右轴)。此将会被视为反相第一阶高通响应。
  建立第二阶区间需要使用不同的电路拓朴。此处将会探讨Sallen-Key、多重回授(multiple-feedback)、状态变数(state-variable)、以及与其很相近的双二次(biquad)等几种类型。这些都是最为常见而且彼此有所关连的类型。更多关于不同拓朴的完整讯息在参考资料中有提供。
  受到广泛使用的Sallen-Key设定，也是众所周知的电压控制电压源(VCVS)，是由MIT的LincolnLabs中R.P.Sallen以及E.L.Key在1955首次提出。图10所示为Sallen-Key第二阶低通滤波器的概要图。这种设定受到欢迎的理由之一就是其性能基本上跟运算放大器的性能无关，因为放大器主要是当作缓冲器之用。由于接续在基本Sallen-Key电路之后的运算放大器不会作为电压增益之用，因此其增益频宽的需求也就沒有那么重要。这也意味着对于特定运算放大器的频宽，可以採用此固定(单一)增益来设计较高频率的滤波器，这点与其它牵涉到不同回授迴路中之放大器动态的拓朴有所差异。滤波器中的讯号相位会维持固定(非反相设定)。针对具有Q=0.707(或是衰减系数α=1/Qof1.414－巴特威士响应)之Sallen-Key低通滤波器，其相位偏移vs.频率的图表如图4中所示(左轴)。为了简化其对照，此将会是目前所讨论之第二阶区间的标准性能。
  为了要将Sallen-Key的低通转换成高通设定，位于频率决定(frequency-determining)网路中的电容与电阻器需要相互交换，就如图11中所示，再次的採用了单一增益(unity-gain)缓冲。其相位偏移vs.频率之图表如图5中所示(左轴)。此为同相第二阶高通响应。
  想要将Sallen-Key滤波器中的放大器增益提升，可以在回授路径中连结一组电阻衰减器，用以反转运算放大器的输入。然而，频率的改变将会对频率决定网路的方程式产生影响，同时元件值也必须要重新计算。此外，因为放大器的动态会将增益导入迴路当中，所以更加需要予以详细检视。
  多重回授滤波器採用单一放大器设定，其基础乃是在回授迴路中使用一颗运算放大器作为积算器(反相设定)(参照图12)。因此，转换函数对于运算放大器参数的依存性会比使用Sallen-Key方案来得高。难以产生出高Q高频率区间的原因，是受到运算放大器在高频率下开放式迴路增益之限制。原则上，运算放大器的开放式迴路增益至少要比在共振(或是截止)频率下的振幅响应高20dB(也就是×10)，其中也包括了肇因于滤波器Q的峰值。肇因于Q所产生的峰值会具有振幅大小为A0的振幅：
  其中H为电路的增益。
  多重回授滤波器会将讯号的相位予以反转。此相当于在滤波器本身加入180°的相位偏移。相位vs.频率的变化如图4中所示(右轴)。其将会被视为反相第二阶低通响应。还有值得注意的是，要达到特定响应之最高与最低值元件之间的差异，在多重回授方案中会比Sallen-Key方案来得高。
  关于多重回授低通方案的建议也可以应用在高通方案的状况中。图13中所示为多重回授高通滤波器的架构，而其理想的相位偏移vs.频率则可以参见图5(右轴)。其也被视为反相第二阶高通响应。
  此类型的滤波器要在高频率下以稳定的状态实现会更加的困难，因为它是以微分器(differentiator)作为基础，而就如同所有的微分器电路一样，在较高频率下会维持较高的封闭式迴路增益，而且会有将杂讯放大的倾向。
  状态变数的方案如图14中所示。这种设定能够实现最大的弹性与精密度，但是其代价则是需要使用更多的电路加以组成，其中包括了3组运算放大器。3项主要参数(增益、Q、以及ω0)都可以个別做调整；而且低通、高通与带通输出都能够同步取得。滤波器的增益也是独立可变的。
  由于状态变数滤波器所有的参数都能够个別进行调整，因此元件的分佈就能够最小化。此外，由于温度与元件容错度所导致的无法匹配状况也能够最小化。在运算放大器之增益频宽上，使用于积算器区间内的运算放大器将会具有如同在多重回授区间中所述及的相同限制。
  与状态变数滤波器十分相近的就是双二次滤波器(参见图15)。这种电路的名称是在1968年由J.Tow率先使用，稍后在1971年又被L.C.Thomas加以採用，其命名是基于转换函数乃是两组二次项之比例的事实而定。这种电路与状态变数电路有着些许的差异。在这种设定当中，无法做到个別的高通输出。然而，此设定具有两组低通输出，一组同相(LOWPASS1)与一组反相(LOWPASS2)。
  随着第四放大器区间的加入，高通、陷波(低通、标准、以及高通)、以及全通(all-pass)滤波器都能够加以实现。图16中所示为针对具有高通区间之双二次的架构。
  我们已经看过，用来建立滤波器的拓朴都会对其自身的实际相位响应具有一定的影响。在决定要使用何种拓朴时，这可以是其中一项做为参考的因素。表1中对于本文所探讨过之不同低通滤波器拓朴的相位偏移范围做了比较。
  同样的，表2中对于不同的高通拓朴做了比较。
  前文所提及的第二阶响应都是採用0.707的Q值。图17所示为当Q改变时对于低通滤波器之相位响应的影响(对于高通滤波器的结果也是类似的)。图表中所描绘的是当Q值=0.1、0.5、0.707、1、2、5、10、以及20之下的相位响应。值得注意的是在低Q值状况时，相位会开始改变至远低于中心频率以下。
  虽然振幅响应对应Q所产生的变化并非本文的主题，但是其可能也很值得注意。图18中所示为当Q值在上述的范围中改变时，第二阶区间的振幅响应。
  当高Q区间被使用于多阶段滤波器时，发生在高Q区间内的峰值可能也很值得注意。虽然理论上不管是哪一阶的区间被加以串接都不会造成任何的差异，但在实际上把低Q区间放置于高Q区间之前，使得峰值不会造成滤波器的动态范围被超越，这通常是比较好的作法。虽然此图表是针对低通区间而言，但是高通响应也会显示出类似的峰值。
  转换函数能够加以串接而形成较高阶响应。当滤波器响应被加以串接时，不论在任何的频率下，dB增益(以及衰减)会增加，相位角度也会增加。如同前文曾经提到过的，多极点滤波器通常会以串接式第二阶区间来建立，对于奇数阶滤波器则会额外再加入第一阶区间。两组串接式第一阶区间无法提供以如同单一个第二阶区间所具有的广范围Q值。
  图19中所示为以转换函数所串接而成的第四阶滤波器。在此我们可以看到滤波器是以两组第二阶区间所建立而成的。
  图20中所示为採用三种不同的方法来建立第四阶滤波器时，在相位响应上的影响。第一种就是以两组Sallen-Key(SK)巴特威士区间来建立。第二种则是由两组多重回授(MFB)巴特威士区间所组成。第三种是利用一组SK区间以及一组MFB区间所建立而成。但是就如同将两组第一阶区间串接并不能使其成为第二阶区间一样，两组串接的第二阶巴特威士区间并不等于一组第四阶巴特威士区间。巴特威士滤波器之第一区间的f0为1，而Q为0.5412(α=1.8477)。第二区间的f0为1，而Q为1.3065(α=0.7654)。
  如同前文中所提到的，SK区间为非反相，而MFB区间则为反相。图20中对此三组第四阶区间之相位偏移做了比较。SK与MFB滤波器具有相同的响应，这是因为两组反相区间会产生出一组同相响应(-1×-1=+1)。採用混合式拓朴(SK与MFB)所建立的滤波器会产生出偏移180°的响应(+1×-1=-1)。
  注意到总相位偏移是第二阶区间(360°vs.180°)之相位偏移的两倍，就如所预期的一样。而高通滤波器也会有相似的相位响应，但是会偏移180°。
  这种串接式的想法可以使用于较高阶滤波器的实现，但是对于超过第八阶以上的任何情况，在现实上就很难加以组合。