text: 基于微观力学的颗粒材料宏观微观力学性质研究
  摘要:颗粒材料是指一种由颗粒系统组成的材料，它的独特力学性质都是由它的微观离散性的特点决定的。
  微观力学方法认为准确地描述颗粒之间的接触的性质 和整体的排布就可以准确地描述材料的力学行为，于是这种从颗粒材料的微观离散性的本质特点出发的描述方法被认为更可靠。
  本文以微观力学为基础，从已经 建立的颗粒材料宏观量和微观量的离散关系出发，提出了一些表征微观量分布函数的状态张量，建立了宏观量与状态张量之间的关系以及微观状态张量之间的关系，并以这些状态张量和宏观、微观关系为基础，研究颗粒材料的力学性质。
  主要研究成果为: (1)颗粒材料的宏观量与微观量的统计分布函数有关，即颗粒材料的宏观性质不是由某一微观点处特定的微观量决定，而是由颗粒材料内所有微观点的微观 量表现出来的统计分布决定的，并在一些研究者给出和推导的宏观量和微观量的离散关系的基础上，建立了应力、应变与微观量的积分关系。
  (2)使用拉普拉斯协调函数级数的概念得到了一种计算微观量分布函数的方法，并使用DEM(离散元)模拟的方法证实了只用级数展开的低阶项就能很好地 估计微观量的分布函数。
  于是只要状态张量一个参数就能确定微观量统计分布函数，而且这一状态张量具有明确的物理意义。
  结果表明，由相对位移张量确定接触力张 量还需要知道材料的滑动概率，而由接触力张量确定相对位移张量还需要确定平均滑动位移差。
  (5)给出一种微观的以状态张量表示颗粒材料的微观量的描述颗粒材料力学 行为的方法。
  这一方法将微观状态量分为三类，第一类是单位体积的接触数，表征了颗粒材料的密实程度;第二类为接触力张量和相对位移张量，这两个张量分别是宏观应力和应变的微观对应量;第三类为接触张量，指向张量和孔隙张量; 这三个张量都是表征颗粒系统组构的张量。
  应力、应变的参数方程和状态张量表示的接触本构建立了宏观量与微观量以及这些微观量之间的关系。
  (6)使用DEM方法研究在常规三轴应力路径下材料各个状态张量的变化规律并研究其在临界状态的值。
  并从微观状态张量的角度揭示了颗粒材料通过调整 北京交通大学硕士学位论文 微观量来抵抗外部的剪切。
  同时使用微观状态张量考察临界状态的应力比，证实 了，颗粒材料在临界状态有唯一的应力比。
  关键词:颗粒材料;微观力学;组构;离散元法;临界状态;抗剪强度 分类号:TU43 ABSTRACT ABSTRACT ABSTRACT:mm_ularm删alsarede‰edaus materials coIlSisting ofdiscrete particlesandmostofits u11iquemech锄icalbe_h撕orisliIll【ed toitsdiscretenajtllre.Of a11 approaches matdescribeitS bchavior，1nicromecha血cal approach e她Iblishedont11e thought t11at pfeciSemech枷calbehaviorcallbeobtainedmrouglltheaccurate d印ict魄of contactbehaVior锄d con丘gu枷onof particles.111us t11is discrete.baSed approach tlloughttobemore d印endable.Basedon舢ly Veri6eddiscrete equ撕oIls rel缅gmacrosc叩icqu觚tities、析mIIlicroscopicqualltities，this mesis proposes some s协tetellsorS嘶hjChareusedtochamct耐zetllosedistribution劬ctiollsofmicroscopic quaIHities趾di11spects mech砸calbehavior.T11e foIlo谢ngconclllsioIlscaIlbedrawn: (1)Macroscopicquantities of铲趾ular materiaJs statisticdistribution fI眦ctionS of嘶croscopicq啪t"ies，i.e. macroscopic behaVioris specified111icroscopicq岫nti饥butby statistic feature.BaSedon discrete equatioIls macroScopicquantitiesaIld microscopicq啪tities derived mnerousresearches，t11is thesis develops merelation ofs由陀ss aIld s缸aill埘m distribution如nctioIlSoflIlicroscopicquantities. (2)Tllis tllesis originates amethodof calculatiIlg廿ledis仃ibutionf.吼ctionsbaSed Laplaceh锄oIlicseriesanddemoIlshatestllat印proximation埘m firsttennssuits distributionf.吼ctioIlS well.ThllS，lefeatureof eVe巧micmscopicquanti够can charaCterizedaStatetensor.What'smore，thesestatetensorshave profouIldphysical meallings. (3)Tllis tllesisdeducestherelationof macrosc叩icqu趾tities埘tll statetensorsaIld V缸6es也e eq眦tion ofs仃essw池con_tact dells咄co n_taCt tenSor，contactforcetensor 柚dorientation tellsorby DEMsiInulation. (4)BaSed oncontactmodelof single.contact，a contactmodel expressedby state tensors waS deriVed，Whjch merelationofcontact force tensor锄drela:tive diSplacementtensor.nis alsoconcludedthatit impossibletoo蹦ncontactf.0rce tellsor仔omrelatiVe displacementtensor讥廿10ut slipprobabil畸劬ction.Ont11eother hand，it irIlpossibletoachjeverelative displacementtensor丘-omcontactforCetensor 诹tlloutdi航renceof Slipdisplac锄ent. schemeofi11VeStigatillg mechallicmbehaviorof granular materialswithstate tellsorsis given aJld nlicrosc叩icp越ametersareclass访ed into吐.ee锣pes.111e first 北京交通大学硕士学位论文type iscontact deIlSi锣chaIacterizingdegree compaCtion;mesecond咖ei11cludes contaCtforCe tensorw11ichis microscopiccon'espondiIlgofs仃ess andrelatiVe displacemem teIlsor wllichis me IIlicroscopic con.espondiIlg stra血;tllelaSt咖e coInprises contact tensor， orientationtellSor andvoid tensor， all ofWhichare charact耐sticoff.abric of殍aIIular materials.Alllesep踟eters areco衄e酏ed relatiollsoriginated舶m廿1is mesis. (6)111e evolutionofInicr0 p眦IIIleters underconVentio砌仃ia)【ials1ss 恤irvaluesatc埘cal涮eare mestigatedby DEMsiInulation.Fu曲emore，廿1e mecllallism ofshearresistance of铲aImlar materials reVealedaSch龇坞i119 IIlicmscopicq啪_tities.AtlaSt，tlleu11iqueofs慨ssmtioatcriticalstateis Verified 商croscopicstatetensors. KEYWoRDS:Gr锄lllarm鼬耐als，Inicromecl戚cal印proaCh，f各bric，DEM，critical state，shear resigtanCe C1.ASSNo:1_I743 致谢 光阴荏苒、白驹过隙，两年的硕士生活，依稀如昨。
  曾经面对浩如烟海、汗 牛充栋般的文献，茫然不知所措;曾经在科学的殿堂中步履蹒跚、战战兢兢、如 履薄冰;曾经潜心无涯学海，坚忍不拔，终管窥科学之奥义，大浪淘沙始到金。
  期间的迷茫、执着、挫败与收获都是我人生中最宝贵财富。
  值此成文之际，我想 对给我鼓励、帮助的老师、同学、亲人们真诚的说一声:谢谢!
  本论文的工作是在我的导师赵成刚教授的悉心指导下完成的。
  老师学识渊博， 对专业孜孜以求，精益求精;读书不辍，不断探求;为人师表，率先典范;传道 授业，呕心沥血。
  老师的点拨每每是我醍醐灌顶、高屋建瓴。
  老师严谨的治学态度、无私的敬业精神、宽以待人的处世风范，学生必将谨记。
  在此谨向导师表示 诚挚的谢意和崇高的敬意。
  感谢我的父母，父母含辛茹苦，长我育我，顾我复我，欲报之德，昊天罔极。
  惟有谨记父母教诲，继续努力。
  感谢所有同门的兄弟姐妹们在这两年的时间里对我在学习生活各个方面提供 的热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。
  感谢各位专家、学者在百忙之中评阅本文，希望得到各位专家的指导。
  最后，感谢北京交通大学每一位老师对我的培养。
  岩土工程师对于颗粒材料的力学行为进行了大量的研究，一些独特的性质使土力学成为一门独立的学科，例如土的剪胀性，应力历史相关性，临界状态等。
  颗粒材料是指一种在微观看来由颗粒组成系统的材料，颗粒之间通过相互接触传递力，单个颗粒的变形在常见的应力范围都是可以忽略不计的，而且只集中 于接触点附近，于是每个颗粒都可以看成是一个刚性的颗粒。
  整个材料的变形是由全部颗粒构型变化来决定。
  同时颗粒的尺寸与要研究问题的尺寸相比是非常小的，于是称包含几个颗粒或者几个接触的尺度为微观尺度，而整个系统或要研究 问题的尺度为宏观尺度。
  颗粒材料很多独特力学性质都是由它微观离散性的特点决定的。
  例如，相同 的砂土，当给予更大的等向压力时会得到更小的孔隙比，这是由于颗粒系统通过 颗粒之间的接触传递力，颗粒系统的构型更紧密则颗粒之间的接触力就能更有效 的抵抗外部施加的等向压力。
  又如，土具有明显的压硬性，即压力越大，则土变形的能力越差，即刚度越大，这是由于颗粒材料的变形是由全部颗粒构型的变化 决定的。
  而颗粒运动需要颗粒之间接触处的滑动来驱动，当土的压力越大时，颗粒之间的接触力越大，就越不容易产生滑动，因此变形就越加困难。
  最后，土的各向异性也是由微观离散的性质决定的。
  CaSagrallde和Carrillo【lJ最早注意到了土 的强度是各向异性的。
  并且定义了两种各向异性，初始各向异性和诱导各向异性。
  初始各向异性是指土在地质沉积过程中产生的各向异性，诱导各向异性是指土在 剪切过程中产生的各向异性。
  部分研究工作者开始从微观的层面探讨土的各向异性，发现这些各向异性是由于土颗粒微观构型的各向异性引起的，随着研究的深入，研究工作者发现很多土的独特性质都是由土的微观离散性决定的。
  岩土工程师研究土的力学行为是从连续介质力学方法开始的，这种方法把颗粒材料平均化，认为颗粒材料是均匀的，材料的每一点都存在着颗粒和孔隙。
  在不违反基本物理定律的前提下，从反映颗粒材料宏观力学性质的实验现象中，得出连续介质力学中描述材料本构的屈服准则，流动法则和硬化方程和相应的参数。
  基于连续介质力学方法得到的本构关系通常比较简单又非常容易应用到工程设计 当中，所以得到了巨大的发展。
  然而当人们对颗粒材料力学行为的研究越来越深 北京交通大学硕士学位论文 入时，为了描述更加复杂的力学行为，本构方程也就变的越来越复杂。
  例如为了 描述土的各向异性强度，O甜2J使用一个二阶张量表示各向异性，屈服准则由应力 不变量和各向异性张量混合不变量来确定，这样屈服准则的数学表达式即使只考虑一个各向异性张量不变量的情况下也是非常复杂的。
  而且当用实验得到的模型 参数用于一个与实验不同的情况时，得到的预测结果往往是非常不可靠的。
  连续 介质力学方法面临这些问题的本质原因是由于颗粒材料微观离散性在这种方法中被忽略掉了，微观力学方法就是在人们认识到连续介质力学方法的不足而产生的， 这种方法认为准确地描述颗粒之间的接触性质和整体的排布可以准确地描述材料 的力学行为。
  微观力学方法从颗粒材料的本质特点出发，所以认为微观力学方法 也更加可靠。
  1.2论文的创新点 本文以微观力学为基础，从已经建立的颗粒材料宏观应力与接触力和接触向 量的离散关系以及宏观应变与接触点相对位移和孔隙向量的离散关系出发，提出了~些表征微观量分布函数的状态张量，建立宏观量与状态张量之间的关系以及 状态张量之间的关系:并以这些状态张量和宏观微观关系为基础，研究颗粒材料 的力学性质。
  主要创新点如下: (1)使用拉普拉斯协调函数级数的概念得到了一种计算微观量分布函数的方法，并使用DEM模拟的方法证实了只用级数展开的低阶项就能很好的估计微观量的分布函数。
  所以只要一个状态张量为参数就能确定微观量统计分布函数，即状态张量和微观量统计分布函数具有一一对应关系。
  (2)由应力与微观量分布函数的积分关系和微观分布函数的状态张量方程得到了应力与状态张量之间的关系。
  与Ouadfel和Rotllenburg得到的关系相比，本文 给出的公式更简单，而且表征微观量的张量参数具有明确的物理意义。
  同时本文 还给出了应变与微观状态张量之间的关系。
  并使用DEM模拟的方法证实了宏观应力与单位体积接触数、接触张量、接触力张量和指向张量等参数的关系。
  (3)以单个接触的接触本构为基础，推导由状态张量表示的接触本构，也就是接触力张量和相对位移张量的关系。
  结果表明由相对位移张量确定接触力张量 还需要知道材料的滑动概率，而由接触力张量确定相对位移张量还需要确定平均 滑动位移差。
  (4)给出一种微观的以状态张量表示颗粒材料的微观量并用于描述颗粒材料 力学行为的方法。
  微观参数可以分为三类，第一类是单位体积的接触数，单位体积的接触数就是孑L隙率的微观对应量，表征了颗粒材料的密实程度;第二类为接引言 触力张量和相对位移张量，这两个张量分别是宏观应力和应变的微观对应量，同时他们之间通过微观的接触本构而联系的;第三类为接触张量、指向张量和孔隙 张量，这三个张量都是表征颗粒系统组构的张量:接触张量主要表示接触法线方向的分布，而指向张量表示颗粒整体的指向，孔隙张量表示颗粒系统孔隙的几何 量;同时这三个量的各向异性构成了组构各向异性的三种不同来源。
  应力的参数 方程建立了应力与应力的微观对应量.接触力张量以及两个表示的组构张量接触张 量和指向张量之间的关系。
  应变的参数方程建立了应变与应变的微观对应量.相对 位移张量以及两个表示的组构的张量接触张量和孔隙张量之间的关系。
  状态张量 表示的接触本构给出了接触力张量和相对位移张量之间的关系。
  (5)使用DEM方法研究在常规三轴应力路径下材料各个状态张量的变化规律，发现在相同的围压下，不论材料的初始状态如何，试样在达到临界状态后都具有相同的状态，即相同的接触张量、接触力张量、指向张量、相对位移张量和 孔隙张量;而不同围压下将会得到不同的张量参数。
  并从微观张量参数的角度揭示了颗粒材料的剪切强度的产生，即材料通过调整微观量来抵抗外部的剪切作用; 其中包括增大最大主应力方向的接触力，调整材料的组构，即接触法线方向趋向 于最大主应力方向，颗粒的指向趋向于使最大主应力方向有较小的接触向量。
  然而，张量参数不可能无限制的变化以抵抗剪切作用，当达到最大可能值后，材料 达到剪切强度。
  而这时材料处于不稳定状态，材料开始向稳定的临界状态发展。
  另外使用微观状态张量考察临界状态的应力比，证实了颗粒材料在临界状态有唯一的应力比。
  第六章将对本文 所做的工作进行了总结和展望。
  这是由于把颗粒材料平均化后应该是各向同性的，然而实际土， 尤其是自然沉积的土明显的表现出各向异性，究其原因是由于颗粒材料微观构型的各向异性在平均化方法中被忽略，这促使一些学者开始从微观层面研究颗粒材 Amlur和MerlZies【3】最早研究了沉积土的初始各向异性对力学行为的影响。
  他们使用散砂法来产生各向异性的土，然后再以与沉积方向不同的方向加载土样， 得到了各向异性的应力应变关系和各向异性的强度，结果显示，达到相同的应力 比，不同的轴向应变差别最大可达到200%，最大应力比可以达到10%的差别。
  nada和Ishmara【5J将土在水中沉积产生各向异性的土，然后用真三轴仪来研究应力应变的各向异性和强度的各向异性，他们首先注意到土在达到较大的应力 时，初始的各向异性对力学行为的影响被消除了。
  Snes等【6】在不排水条件下研究了主应力方向旋转对力学行为的影响发现，主 应力旋转对破坏的应力比没有影响，但是破坏之前的应力应变关系差别很大。
  Miura和T0l(i【7】，memer等嘲和v萄d等【9】分别通过实验证实了，在不排水实验条件 下，各向异性土在三轴压缩和三轴拉伸试验中破坏应力比和剪胀性的不同，三轴 压缩实验的破坏应力比较大，而且是剪胀的，而三轴拉伸是剪缩的。
  Yoshimine【10】使用圆柱扭转剪切仪做了一系列不排水实验，比较全面的研究了 在不同中间主应力系数6作用下土的各向异性力学行为。
  上述实验都说明了，初始各向异性和诱导各向异性对土的力学行为的影响， 其实初始各向异性是在重力场作用下产生的各向异性，可以说土产生各向异性的本质是由于在应力场作用下，颗粒材料内部结构产生各向异性，内部结构的各向北京交通大学硕士学位论文 异性又影响了材料的力学行为，Oda等人率先开始考察初始状态和应力过程中颗粒 材料内部构型的变化，并定义土的内部构型，包括颗粒和孔隙的排布为"组构 (fabric)"。
  Oda【121使用树胶固定土样并把土样切成薄片，使用光学显微镜来观察土样组 构的各向异性，发现不同制样方法得到的初始组构不同，初始组构不同对土的力学 行为，例如强度，切线模量有很大的影响，其中接触法线方向分布对土的力学行为有很大的影响，然而颗粒指向主要通过影响接触法线方向来影响土的力学行为。
  接触法线分布越集中于主应力方向时，土样就会越稳定。
  Oda【13】【14】使用同样的方法研究了在剪切过程中组构的变化发现，随着剪切的发生，接触法线方向和颗粒指向逐渐趋向于更稳定的方向，即接触法线分布趋向 于集中于最大主应力方向，颗粒指向趋于垂直于最大主应力方向，而且当剪切带 产生时，剪切带附近的颗粒趋向去平行于剪切带的方向。
  Oda等'151使用椭球形的光弹性材料做简单剪切试验得到相似的结论，在简单 剪切试验过程中，接触法线的方向同样趋向于最大主应力的方向，而且这种趋势 与位移无关，而是由应力比决定的，接触法线向最大主应力方向集中是应变强化的原因，接触之间滑动不是在大部分的接触之间发生的，而是在一些条件满足的接触处发生。
  而且这三种组构是相互联系的，例如当颗粒指向不变，而接触法线分布发生 变化时，颗粒系统的孔隙就会发生变化，又当接触法线分布不变，而颗粒指向发生变化时，颗粒系统的孔隙就会发生变化。
  即有如图1所示的关系 2.2连续介质力学方法接触法线图1组构的三种来源 Figure 1nesourcesof胁ric 为了利用连续介质力学方法描述颗粒材料组构的各向异性，Oda和Nakay锄a【21， Tobita和‰a西sa_wa[161，Li和Da蜘i2Ls【171，w抽和G.u0181，Zhu等'191都采用了一个二 阶的组构张量来从数量上表示组构的各向异性，而这个组构张量只是表示了材料 初始的颗粒指向。
  Kanatani【20l比较系统的研究了组构张量与方向分布密度函数的关系，给出了三种形式的组构张量及其之间的关系，并在数学上证明了方向分布密度函数的分解 本质上是拉普拉斯协调函数级数的张量表达形式。
  sin伊却。
  飞>并称f1。
  't为刀阶矩张量，其中%表示方向向量"的第'个分量，<>表示试样的平均值。
  表示矩张量，，，得到的偏张量。
  11'2…
  啊， K锄疵IIli还证明了上式的分解本质上是函数厂(刀)拉普拉斯协调函数级数分解的张量形式，而拉普拉斯协调函数级数分解上就是Fo嘶er级数的三维形式。
  为了能够在弹塑性理论中考虑组构的影响，Oda【2】使用二阶组构张量表示材料 各向异性，屈服准则由应力张量和各向组构张量混合不变量来确定，Oda在文中给出了描述各向异性屈服准则的一般方法，但是oda给出的例子在只考虑了组构张 量的一阶不变量的情况下也显得非常的复杂。
  Tobita【21】使用了一种由应力张量和组构张量表示的修正应力， 料为各向同性时可以退化为应力张量，即当E=4，/3时，乃=盯而且这种修正的应力张量可以表示应力方向和组构张量方向不同时的影响，但是修正的应力张 量与应力的大小有关，不适合用来表示应力方向和组构方向的相对关系。
  新定义了修正应力亏=昙(菇巧1+《1石)，其中五为消除应力大小影 砂土组构对应力应变关系和强度等力学行为的影响。
  由于连续介质力学方法忽略了颗粒材料本质的微观离散特性，而且这种方法 是一种从实验现象中总结规律然后创建模型的方法，所以有效性不能够很好的保证，实验的参数测定对于模型的结果有很大的影响，例如，当测定参数的应力路径和模型将要应用的应力路径不符合时，结果往往是不可靠的，而且为了在弹塑性理论中考虑组构各向异性的影响，必须在本构中加入组构张量的应力不变量， 而这又会使本构模型变得非常复杂，于是一些学者开始从微观力学方法研究土的本构模型。
  Deresie埘cz【24】分析了相同半径圆形颗粒组成的均匀矩形排列，给出了非线性的应力应变关系，而且给出了最终的破坏状态。
  Em面ault和Cambou【26】假定颗粒之问满足HertzMiIIdliIl弹性接触模型并使用平均化方法得到了初始各向同性材料在不同应力加载条件下的弹性模 后来学者开始研究随机堆叠而成的颗粒材料，也总结出了微观力学研究宏观应力应变所要实现的三个部分关系，分别建立宏观的应力/应变与微观构型和微观 接触力之间的关系以及微观构型与接触力之问的微观本构关系。
  由于这种方法的复杂性，为了能够描述问题的关键，做了一些合理的假定如下: (1)由于最后要得到的是宏观的应力应变关系，而通常本构模型是不考虑时间效应的，于是假定颗粒材料在整个过程中都处于准静态过程，即任意一时刻， 颗粒系统都处于静力平衡状态。
  (2)颗粒之间接触的面积很小，单个颗粒的变形相对于整个颗粒很小，而且 北京交通大学硕士学位论文集中于接触面附近，所以假定颗粒在整个过程中像刚体一样运动，而且形状不变， 而颗粒之间通过一个接触点来传递力，接触力的大小是接触点附近应力在接触面积上的积分，并认为接触点附近应力对抽象出的接触点的力矩较小，可以忽略不计。
  当然，OshiIlla【271认为接触点的力矩对于宏观的应力也有贡献，并称这部分应力为耦合应力。
  关于宏观应力与微观接触力和微观构型的关系得到了很好的建立，Love【2引， Webap，G0dd矾【3们，删le】妇甥和SeIvadurai【3，cMsto任瓿en等'321，Bagi【331， Kmyt和R0menburg【34】都给出了相似的结论 (2.9)其中，q，为宏观的应力，K。
  为颗粒重心到接触点之间的向量，为接触力。
  Romenbu理和Balst【351认为在材料内部颗粒数量足够大，接触法线方向和接触力都满足统计特征，于是在特定接触法线方向上接触力的平均值是接触法线方向的函数，在二维圆形颗粒组成的材料中，接触力的法向和切向平均值满足如下 关系 五(秒)=石(1+%cos2(乡一够)) (2.10) Z(口)=一五qsill2(9一包)(2.11) 其中万(臼)表示在日方向法向接触力的平均值，万(口)表示在口方向切向接触力的平均值，%表示法向接触力的各向异性，q表示切向接触力的各向异性，然后把 宏观应力和微观接触力和接触向量关系由离散形式写成了积分的形式，并积分得到了如下的二维情况下应力比与各向异性参数之间的关系 从上式可以看出，如果材料都是由圆形颗粒材料组成的，那么材料的剪切强度是由接触法线方向的各向异性和接触力的各向异性提供的，即 siIl矽=去(口+%+口f)。
  而且这三个表示各向异性的参数中， %对剪切强度的贡献 最大，口，对剪切强度的贡献最小。
  Ouadfel和Ib位nburg【361将上述的"应力.接触力.组构"方程推广到椭球形颗粒，并认为连接两个接触颗粒重心的向量也满足统计规律，即 10(2.14) (2.15) 研究现状 d"(玎)=do(1+《%吩) (2.16) (2.17)将上述公式带入积分形式的应力微观接触力、接触向量公式中得到了椭球颗粒材料的"应力.接触力.组构"方程，即应力由上述五个各向异性参数完全确定， 接触方向接触力 接触向量 (2.18) 0uad诧l和Romenburg还考察了剪切强度和各向异性参数之间的关系，得到如下关系 (2.19)其中接触力各向异性对剪切强度的贡献最大，有60%，而由颗粒形状对剪切强度的贡献最小，只有10%。
  上述研究很好的解释了应力与微观内部结构和接触力的关系。
  (2)第二种方法是直接定义一个连续的位移旋度场，使这个旋度场表征真实 的系统位移时均方差最小。
  当然数值试验方法也存在它的缺陷。
  首先，颗粒之间的接触本构是简化的模型，无法直接证明这些接触本构的正确性，而且这种方法本质上不是一种"模拟"的方法，因为根本找不到要模拟的实体，现实世界中也不会有满足这些接触本构 的真实的颗粒材料，但是如果使用一定简化的接触本构模拟的结果和真实的颗粒 材料的力学行为是相同，那么由于数值方法能够细致的考虑微观各种量的变化的优点，数值试验的方法仍然是认识颗粒材料的一种可行的方法。
  CuIldall【38】为了研究岩石力学问题，第一次提出DEM法，cllndall和S仃ack【39】 将DEM法应用于模拟土的力学行为。
  CuIldall和s仃ack【40】对比了DEM法的模拟结果和真实土的实验结果，证实了DEM法的可行性。
  1waSllital和Oda【42】采用限制颗粒之间旋转的DEM法成功模拟了剪切带的产生 和发展，而且观察到在剪切带产生之前颗粒的旋转是较小的，而剪切带产生以后， 剪切带附近的颗粒发生较大的旋转并趋向于使颗粒指向平行与剪切带方向，而剪切带以外的颗粒的旋转仍然较小。
  Fu和Da脚iaS【43J使用DEM法，模拟了椭圆形颗粒在三轴和直剪应力状态下组 构的变化，发现在直剪过程中，颗粒指向趋向于最大应力相垂直的方向，而接触 法线方向则趋向于与最大应力方向平行，在三轴实验中，由于剪切带的产生和变形的不均匀，只有在剪切带观察到了相似的现象。
  如图2所示，其中第三点就是本章要讨论的微观接触本构。
  图2从微观力学得到本构方程的方法Figllre DeriviIlgconstitutivelaws丘ommicr0 mech锄ical叩proach 前面已经提到过关于颗粒材料的假设(1)由于最后要得到的是宏观的应力应变关系，而通常本构模型是不考虑时间效应的，于是假定颗粒材料在整个过程中都处于准静态过程，即任意时刻，颗粒系统都处于静力平衡状态。
  (2)颗粒之间接触的面积很小，单个颗粒的变形相对于整个颗粒很小，而且集中于接触面附近， 所以假定颗粒在整个过程中像刚体一样运动，而且形状不变，而颗粒之间通过一个接触点来传递力，接触力的大小是接触点附近应力在接触面积上的积分，并认为接触点附近应力对抽象出的接触点的力矩较小，可以忽略不计。
  由于接触点非常小通常可以抽象为一个点，那么切向力与法向力之间的相互影响就非常小，而且可以忽略不计，于是可以分别考虑法向接触力与法向位移之间的法向接触本构 以及切向接触力与切向位移之间的切向接触本构。
  JollIlson】率先研究了两个接触圆柱体之间法向的接触本构。
  和"::，显然S和是的绝对位移为已。
  +":。
  一一---一 RlFigure 3Contalctmodeloft、Vocontactlunms 并把两个圆柱都看成半无限空间弹性体，可得 万E'Jz-s其中古=孚+半。