prompt stringlengths 7 926 | completion stringlengths 15 3.16k |
|---|---|
∫3e43dx2x∫33e4dx2x интегралийг бод. | Заавар: ∫12xdx=12lnx∫12xdx=12lnx ба Ньютон-Лейбницийн томьёог ашигла.
Бодолт: ∫3e4312xdx=12lnx∣∣∣3e43=12(ln(3e4)−ln3)=12ln3e43=12lne4=2∫33e412xdx=12lnx|33e4=12(ln(3e4)−ln3)=12ln3e43=12lne4=2
байна. |
∫3x+1x(x+1)(x−2)dx∫3x+1x(x+1)(x−2)dx | Заавар: 3x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−23x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−2 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол.
Бодолт: 3x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−23x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−2 бол
3x+1=A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1)3x+1=A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1)
байна. x=0,−1,2x=0,−1,2 утгууд дээр бодвол 1=−2A1=−2A, −2=3B−2=3B, 7=6C7=6C тул
3x+1x(x+1)(... |
∫3x2+2x+7x2+1dx=?∫3x2+2x+7x2+1dx=? | Заавар: ∫dxx2+a2=1aarctgxa+C∫dxx2+a2=1aarctgxa+C
Бодолт: ∫3x2+2x+7x2+1dx=∫(3+2x+4x2+1)dx=∫3dx+∫2xx2+1dx+4∫dxx2+1=3x+∫d(x2+1)x2+1+4arctgx=3x+ln(x2+1)+4arctgx+C∫3x2+2x+7x2+1dx=∫(3+2x+4x2+1)dx=∫3dx+∫2xx2+1dx+4∫dxx2+1=3x+∫d(x2+1)x2+1+4arctgx=3x+ln(x2+1)+4arctgx+C |
∫3−1|7x+2|dx∫−13|7x+2|dx нь аль тоо вэ? | Заавар: Модультай интеграл бодохдоо тодорхой интегралын
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
чанарыг ашиглан модулиас салган боддог.
Энэ бодлогыг тодорхой интегралын геометр утгыг ашиглан бодож болно.
Бодолт:
Тодорхой интегралын геометр утга ёсоор бодох интеграл маань будагдсан хэсгийн талбайтай... |
∫3−2|x−1|dx=?∫−23|x−1|dx=? | Заавар: Тодорхой интегралын геометр утга ашиглан бод.
Бодолт:
∫3−2|x−1|dx∫−23|x−1|dx интегралын утга нь зурагт үзүүлсэн будагдсан дүрсийн талбай байна. Иймд
∫4−1|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132∫−14|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132 |
∫3√x2−23√xdx∫x23−2x3dx интеграл бод. | Заавар: α≠−1α≠−1 үед ∫xαdx=xα+1α+1+C∫xαdx=xα+1α+1+C болохыг ашигла. xmn=n√xmxmn=xmn байдаг.
Бодолт: ∫3√x2−23√xdx=∫x13dx−2∫x−13dx=∫x23−2x3dx=∫x13dx−2∫x−13dx=
=x13+113+1−2⋅x−13+1−13+1+C=343√x4−33√x2+C=x13+113+1−2⋅x−13+1−13+1+C=34x43−3x23+C |
∫3√x−8xdx=a3√x−8−bln|3√x−8+2|+ln((3√x−8)3−c3√x−8+d)−e√3arctg3√x−8+1√3+C∫x−83xdx=ax−83−bln|x−83+2|+ln((x−83)3−cx−83+d)−e3arctgx−83+13+C | Заавар: t=3√x−8t=x−83, x=t3+8x=t3+8 орлуулга ашигла.
Бодолт: ∫3√x−8xdx=⎡⎢⎣t=3√x−8x=t3+8dx=3t2dt⎤⎥⎦=∫(tt3+8)3t2dt=∫3t3dtt3+8=∫(3−24t3+8)dt=3t−∫2dtt+2+∫2t−8t2−2t+4dt=3t−2ln|t+2|+∫2(t−1)−6(t−1)2+3dt=3t−2ln|t+2|+∫d[(t−1)2+3](t−1)2+3−∫6dt(t−1)2+(√3)2=3t−2ln|t+2|+ln|(t−1)2+3|−6√3arctgt−1√3+C=3t−2ln|t+2|+ln(t2−2t+4)−6√3arctgt... |
∫40|x−2|dx∫04|x−2|dx | Заавар: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
ашиглан модулиас гаргаж бод.
Бодолт: ∫40|x−2|dx=∫20|x−2|dx+∫42|x−2|dx=∫20−(x−2)dx+∫42(x−2)dx=−∫20(x−2)dx+∫42(x−2)dx=−(x−2)22∣∣∣20+(x−2)22∣∣∣42=−(0−2)+(2−0)=4∫04|x−2|dx=∫02|x−2|dx+∫24|x−2|dx=∫02−(x−2)dx+∫24(x−2)dx=−∫02(x−2)dx+∫24(x−2)dx=−(x−2)22|02+(x−2)... |
∫40|−x2+5x−6|dx∫04|−x2+5x−6|dx нь аль тоо вэ? | Заавар: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
шугаман чанар ашиглан бод.
Бодолт: Инт.=∫40|−x2+5x−6|dx==∫20|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6<0=+∫32|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6>0=+∫43|−x2+5x−6|dx=←−x2+5x−6<0=−∫20(−x2+5x−6)dx+=+∫32(−x2+5x−6)dx−=−∫43(−x2+5x−6)dx==−(−x33+5x22−6x)∣∣∣20+=+(−x33+5x22−6x)∣∣∣32−=−(−x33+5x22−... |
∫40√16−x2dx интегралыг бод. | Заавар: Энэ интегралаар илэрхийлэгдэх дүрсийн талбай нь 4 радиустай дугуйн 14 хэсэг байна.
Бодолт: 4 радиустай дугуйн талбай нь 42π=16π, үүний 14 нь 4π байна. |
∫4−1|x−2|dx=?∫−14|x−2|dx=? | Заавар: Тодорхой интегралын геометр утга ашиглан бод.
Бодолт:
∫4−1|x−2|dx∫−14|x−2|dx интегралын утга нь зурагт үзүүлсэн будагдсан дүрсийн талбай байна. Иймд
∫4−1|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132∫−14|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132 |
∫5x(x−1)3dx=?∫5x(x−1)3dx=? | Заавар: 5x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−15x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−1
байх AA, BB, CC тоонуудыг ол.
Бодолт: 5x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−15x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−1 бол
A+B(x−1)+C(x−1)2=5xA+B(x−1)+C(x−1)2=5x
буюу
Cx3+(B−2C)x2+A−B+C=5xCx3+(B−2C)x2+A−B+C=5x
тул
⎧⎪⎨⎪⎩C=0B−2C=5A−B+C=0⇒⎧⎪⎨⎪⎩A=5B=5C=0{C=0B−2C=5A−B+C=0⇒{A=5B=... |
∫5−2|x2−4x+3|dx∫−25|x2−4x+3|dx | Заавар: a<b<ca<b<c бол
∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫caf(x)dx∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx
байдаг.
f(x)=x2−4x+3f(x)=x2−4x+3 функцийн эерэг ба сөрөг байх мужийг олоод муж тус бүр дээр |f(x)||f(x)|-ийн интегралыг бод.
Бодолт: x2−4x+3<0⇔1<x<3x2−4x+3<0⇔1<x<3 байна.
[−2,5][−2,5] мужийг [−2;1][−2;1], [1;3][1;3], [3;5][3;5] мужууда... |
∫63dx2x−3∫36dx2x−3 интералыг бод. | Заавар: a≠0,ba≠0,b тогтмол тоо, ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C байна.
Бодолт: ∫1xdx=lnx+C∫1xdx=lnx+C байдаг. Иймд ∫12x−3dx=12ln(2x−3)+C∫12x−3dx=12ln(2x−3)+C байна. ∫63dx2x−3=12(ln(2x−3)∣∣63)=12(ln9−ln3)=ln√3.∫36dx2x−3=12(ln(2x−3)|36)=12(ln9−ln3)=ln3. |
∫6−2|x−2|dx∫−26|x−2|dx интегралыг ол. | Заавар: Тодорхой интегралын геометр утгыг ашигла.
Бодолт:
∫6−2|x−2|dx∫−26|x−2|dx интеграл нь будагдсан хэсгийн (2 гурвалжны) талбайтай тэнцүү тул 4⋅42+4⋅42=164⋅42+4⋅42=16 байна. |
∫9xsin3xdx∫9xsin3xdx интегралыг бод. | Заавар: Энэ бодлогыг хариунаас нь бодож болно. Өөрөөр хэлбэл уламжлал нь 9xsin3x9xsin3x байх функцийг шууд шалгаж ол.
Бодолт: (sin3x−3xcos3x+C)′=3cos3x−(3cos3x+3x(−3sin3x))+0=9xsin3x(sin3x−3xcos3x+C)′=3cos3x−(3cos3x+3x(−3sin3x))+0=9xsin3x байна. |
∫ax2+bx+cdx=?∫ax2+bx+cdx=? | Заавар: Шууд шалгаж үз.
Бодолт: (ax33+bx22+cx+C)′=3⋅ax23+2⋅bx22+c=ax2+bx+c(ax33+bx22+cx+C)′=3⋅ax23+2⋅bx22+c=ax2+bx+c. |
∫bb21−2x3dx=−43∫b2b1−2x3dx=−43 тэнцэтгэл bb-ийн ямар утгад биелэх вэ? | Заавар: Интегралын шугаман чанараар
∫bb21−2x3dx=−43⇔∫bb2(1−2x)dx=−4∫b2b1−2x3dx=−43⇔∫b2b(1−2x)dx=−4
болно. Цааш нь тодорхой интегралыг бодоод bb-ийн утгыг ол.
Бодолт: Заавраас ∫bb2(1−2x)dx=−4∫b2b(1−2x)dx=−4 болох тул Ньютон-Лейбницийн томьёогоор
(x−x2)∣∣∣bb2=(b−b2)−(b2−(b2)2)=−4(x−x2)|b2b=(b−b2)−(b2−(b2)2)=−4
буюу
−34b2... |
∫cos3xdx=?∫cos3xdx=? | Заавар: (sinax)′=acosax⇔∫cosaxdx=sinaxa+C(sinax)′=acosax⇔∫cosaxdx=sinaxa+C
Бодолт: ∫cos3xdx=sin3x3+C∫cos3xdx=sin3x3+C байна. |
∫dx(x+1)(x2+1)=?∫dx(x+1)(x2+1)=? | Заавар: 1(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+11(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+1 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол.
Бодолт: 1(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+11(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+1 бол
A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)=1A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)=1
буюу
(A+B)x2+(B+C)x+A+C=1(A+B)x2+(B+C)x+A+C=1
тул
⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C=0A+C=1⇒⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩A=12B=−12C=12{A+B=0B... |
∫dx1+4x2∫dx1+4x2 интегралыг бод. | Заавар: ∫dx1+4x2=∫2dx1+(2x)2∫dx1+4x2=∫2dx1+(2x)2 байна. ∫u′dx1+u2=arctgu+C∫u′dx1+u2=arctgu+C байна.
Бодолт: ∫dx1+4x2=12∫2dx1+(2x)2=12arctg2x+C∫dx1+4x2=12∫2dx1+(2x)2=12arctg2x+C. |
∫dxcos2x⋅sin2x∫dxcos2x⋅sin2x интеграл бод. | Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглаж хувиргаад
∫1cos2xdx=tgx+C∫1cos2xdx=tgx+C, ∫1sin2xdx=−ctgx+C∫1sin2xdx=−ctgx+C болохыг ашиглан бод.
Бодолт: ∫dxcos2x⋅sin2x=∫sin2x+cos2xcos2x⋅sin2xdx=∫dxcos2x⋅sin2x=∫sin2x+cos2xcos2x⋅sin2xdx=
=∫1cos2xdx+∫1sin2xdx=tgx−ctgx+C=∫1cos2xdx+∫1sin2xdx=tgx−ctgx+C |
∫dxx2+4x+8=?∫dxx2+4x+8=? | Заавар: ∫dxx2+a2=1aarctgxa+C∫dxx2+a2=1aarctgxa+C
Бодолт: ∫dxx2+4x+8=∫dxx2+4x+4+4=∫dx(x+2)2+4=∫d(x+2)(x+2)2+22=12arctgx+22+C∫dxx2+4x+8=∫dxx2+4x+4+4=∫dx(x+2)2+4=∫d(x+2)(x+2)2+22=12arctgx+22+C |
∫dxx3+1=?∫dxx3+1=? | Заавар: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x3+1=(x+1)(x2−x+1) тул
1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+11(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол.
Бодолт: 1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+11(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1 бол
A(x2−x+1)+(Bx+C)(x+1)=1A(x2−x+1)+(Bx+C)(x+1)=1
буюу
(A+B)x2+(−A+B+C)x+A+C=1(A+B)x2+(−A+B+C)x+A+C=1
тул
⎧⎪⎨... |
∫dxx4−1=?∫dxx4−1=? | Заавар: x4−1=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1)x4−1=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1) тул
1x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+11x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+1
байх AA, BB, CC, DD тоонуудыг ол.
Бодолт: 1x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+11x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+1 бол
A(x2+1)(x+1)+B(x2+1)(x−1)+(Cx+D)(x2−1)=1A(x2+1)(x+1)+B(x2+1)(x−1)+(Cx+D)(x2−1)=1
буюу
(A+B+C)x3... |
∫e21lnxxdx∫1e2lnxxdx | Заавар: Орлуулах аргаар бод:
∫bag[f(x)]⋅f′(x)dx=∫bag[f(x)]df(x)=∫f(b)f(a)g(t)dt∫abg[f(x)]⋅f′(x)dx=∫abg[f(x)]df(x)=∫f(a)f(b)g(t)dt
Бодолт: ∫e21lnxxdx=∫e21lnx⋅(lnx)′dx=∫lne2ln1tdt=∫1e2lnxxdx=∫1e2lnx⋅(lnx)′dx=∫ln1lne2tdt=
=∫20tdt=t22∣∣∣20=222−022=2=∫02tdt=t22|02=222−022=2 |
∫e41dxx(lnx+1)∫1e4dxx(lnx+1) интеграл бод. | Заавар: ∫e41dxx(lnx+1)=∫e41d(lnx+1)lnx+1∫1e4dxx(lnx+1)=∫1e4d(lnx+1)lnx+1 байна.
Бодолт: ∫e41dxx(lnx+1)=∫e41d(lnx+1)lnx+1=∫lne4+1ln1+1dtt=∫51dtt=lnt∣∣∣51=ln5∫1e4dxx(lnx+1)=∫1e4d(lnx+1)lnx+1=∫ln1+1lne4+1dtt=∫15dtt=lnt|15=ln5 |
∫exln(1+ex)dx∫exln(1+ex)dx | Заавар: exdx=d(ex+1)exdx=d(ex+1) болохыг ашиглан u=ex+1u=ex+1 орлуулга ба ∫lnx=x(lnx−1)+C∫lnx=x(lnx−1)+C-ийг ашиглан бод.
Эсвэл шууд хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодож болно.
Бодолт: ∫exln(1+ex)dx=∫ln(1+ex)d(1+ex)=∫lnudu=u(lnu−1)+C←u=1+ex=(1+ex)(ln(1+ex)−1)+C∫exln(1+ex)dx=∫ln(1+ex)d(1+ex)=∫lnudu=u(lnu−1)+C←u=1... |
∫exsinxdx∫exsinxdx бод. | Заавар: ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx
Бодолт: Хэсэгчлэн интегралчлах томьёогоор
∫exsinxdx=⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣u=ex,v=−cosx,v′=ex,v′=sinx⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦=−excosx+∫excosxdx∫exsinxdx=[u=ex,v=−cosx,v′=ex,v′=sinx]=−excosx+∫excosxdx
ба
∫excosxdx=⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣u=ex,v=sinx,v′=ex,v′=cosx⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦=exsinx−∫exsinxdx∫excosxdx=[u=ex,v=sinx,v′=ex... |
∫e−xdx∫e−xdx | Заавар: (eax)′=aeax⇒∫eaxdx=eaxa+C(eax)′=aeax⇒∫eaxdx=eaxa+C
Бодолт: ∫e−xdx=e−x−1+C=−e−x+C∫e−xdx=e−x−1+C=−e−x+C |
∫ln2⋅2xdx∫ln2⋅2xdx | Заавар: ∫axdx=axlna+C∫axdx=axlna+C
Бодолт: ∫ln2⋅2xdx=ln2⋅∫2xdx=ln2⋅2xln2+C=2x+C∫ln2⋅2xdx=ln2⋅∫2xdx=ln2⋅2xln2+C=2x+C |
∫ln305ex3+5exdx∫0ln35ex3+5exdx интегралыг бод. | Заавар: Тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга ашигла.
Бодолт: f(x)=53+5xf(x)=53+5x, g(x)=exg(x)=ex гээд оруулгын аргаар бодвол ∫f(x)dx=∫53+5xdx=ln(3+5x)+C∫f(x)dx=∫53+5xdx=ln(3+5x)+C
ба g′(x)=exg′(x)=ex тул
∫ln30f[g(x)]g′(x)dx=∫ln3053+ex⋅exdx=∫ln3053+exdex=∫eln3e053+5tdt=∫3153+5tdt=ln(3+5⋅3)−ln(3+5⋅1)=ln94∫0ln3... |
∫ln30exex+1dx∫0ln3exex+1dx интегралыг бод. | Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C
бол
∫baf[g(x)]g′(x)dx=∫baf[g(x)]dg(x)=∫abf[g(x)]g′(x)dx=∫abf[g(x)]dg(x)=
=∫g(b)g(a)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)]=∫g(a)g(b)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)]
байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг.
Бодолт: ∫ln30exex+1dx=∫ln30d(ex+1)ex+1[t=ex+1]====∫eln3+1e0+1dtt∫0ln3exex+1d... |
∫sin2xdx=?∫sin2xdx=? | Заавар: Зэрэг бууруулах томьёо ашиглан хялбар интегралд шилжүүлж бод.
Бодолт: ∫sin2xdx=∫1−cos2x2dx←sin2x=1−cos2x2=12∫dx−12∫cos2xdx=x2−sin2x4+C=−12sinxcosx+x2+C←sin2x=2sinxcosx∫sin2xdx=∫1−cos2x2dx←sin2x=1−cos2x2=12∫dx−12∫cos2xdx=x2−sin2x4+C=−12sinxcosx+x2+C←sin2x=2sinxcosx |
∫sin2xdx=?∫sin2xdx=? | Заавар: Хэрэв F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) бол F(x)F(x) функцийг f(x)f(x) функцийн эх функц гэж нэрлэдэг. Хэрвээ F(x)F(x) нь f(x)f(x) функцийн эх функц бол дурын тогтмол CC тооны хувьд F(x)+CF(x)+C нь f(x)f(x)-ийн эх функц болдог тул F(x)+CF(x)+C
илэрхийллийг f(x)f(x) функцийн тодорхой биш интеграл гээд
∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F... |
∫sin2xdx∫sin2xdx | Заавар: sin2x=2sinxcosxsin2x=2sinxcosx, cosxdx=dsinxcosxdx=dsinx болохыг ашигла.
Бодолт: ∫sin2xdx=∫2sinxcosxdx=∫2sinxdsinx=sin2x+C=−cos2x2+C∫sin2xdx=∫2sinxcosxdx=∫2sinxdsinx=sin2x+C=−cos2x2+C |
∫sinxcos3xdx∫sinxcos3xdx бод. | Заавар:
Бодолт: sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α−β))sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α−β)) болон ∫sinαxdx=−cosαxα+C∫sinαxdx=−cosαxα+C томъёог ашиглан бодъё.
∫sinxcos3xdx=12∫sin(x+3x)+sin(x−3x)dx==12∫sin4xdx−12∫sin2xdx=−18cos4x+14cos2x+C.∫sinxcos3xdx=12∫sin(x+3x)+sin(x−3x)dx==12∫sin4xdx−12∫sin2xdx=−18cos4x+14cos2x+C. |
∫x+1√xdx∫x+1xdx интегралыг бод. | Заавар: Интеграл шугаман чанар ашиглан зэрэгт функцүүдийн нийлбэрт задалж бод.
Бодолт: ∫x+1√xdx=∫(x√x+1√x)dx=∫(√x+1√x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23x√x+2√x+C∫x+1xdx=∫(xx+1x)dx=∫(x+1x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23xx+2x+C |
∫x2dx(x−1)(x−2)(x−3)=?∫x2dx(x−1)(x−2)(x−3)=? | Заавар: x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол.
Бодолт: x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3x2(x−1)(x−2)(x−3)=Ax−1+Bx−2+Cx−3 бол
A(x−2)(x−3)+B(x−1)(x−3)+C(x−1)(x−2)=x2A(x−2)(x−3)+B(x−1)(x−3)+C(x−1)(x−2)=x2
буюу
(A+B+C)x2−(5A+4B+3C)x+6A+3B+2C=x2(A+B+C)x2−(5A+4B+3C)x+6A+... |
∫x2e2xdx∫x2e2xdx интегралыг бод. | Заавар: Энэ төрлийн интегралыг бодоход ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx
хэсэгчлэн интегралчлах томьёог нэг буюу түүнээс дээш удаа ашиглан боддог.
Мөн эх функц олох буюу тодорхой биш интеграл бодох нь уламжлалын эсрэг үйлдэл тул хариунаас бодох боломжтой.
Бодолт: u=x2u=x2, v′=e2xv′=e2x гэвэл u′=2xu′=2x, v=∫e2xdx=12e2x... |
∫x2−2x+1dx=?∫x2−2x+1dx=? | Заавар: x2−2x+1dx=x−1−1x+1x2−2x+1dx=x−1−1x+1 байна.
Бодолт: ∫x2−2x+1dx=∫(x−1−1x+1)dx=∫xdx−∫dx−∫dxx+1=x22−x−ln|x+1|+C∫x2−2x+1dx=∫(x−1−1x+1)dx=∫xdx−∫dx−∫dxx+1=x22−x−ln|x+1|+C |
∫xcos2xdx∫xcos2xdx бод. | Заавар: Энэ төрлийн интегралыг бодоход ∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx
хэсэгчлэн интегралчлах томьёог нэг буюу түүнээс дээш удаа ашиглан боддог.
Мөн эх функц олох буюу тодорхой биш интеграл бодох нь уламжлалын эсрэг үйлдэл тул хариунаас бодох боломжтой.
Бодолт: u=xu=x, v′=cos2xv′=cos2x гэвэл u′=1u′=1, v=∫cos2xdx=12... |
∫xe2xdx∫xe2xdx интегралыг бод. | Заавар: Хэсэгчилэн интегралчлах томьёо:
∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx
Бодолт: u=xu=x, v′=e2xv′=e2x гэвэл u′=1u′=1 болох ба v=12e2xv=12e2x гэж сонгоё.
∫xe2xdx=x⋅12e2x−∫1⋅12e2xdx=12e2x⋅x−14e2x+C∫xe2xdx=x⋅12e2x−∫1⋅12e2xdx=12e2x⋅x−14e2x+C болно. |
∫xe3xdx∫xe3xdx интегралыг бод. | Заавар: Хэсэгчилэн интегралчлах аргаар бод.
Бодолт: u=xu=x, v′=e3xv′=e3x гэвэл u′=1u′=1 болох ба v=13e3xv=13e3x гэж сонгоё.
∫xe3xdx=x⋅13e3x−∫1⋅13e3xdx=13e3x⋅x−19e3x+C∫xe3xdx=x⋅13e3x−∫1⋅13e3xdx=13e3x⋅x−19e3x+C болно. |
∫x−2√xdx∫x−2xdx интегралыг бод. | Заавар: Интеграл шугаман чанар ашиглан зэрэгт функцүүдийн нийлбэрт задалж бод.
Бодолт: ∫x+1√xdx=∫(x√x+1√x)dx=∫(√x+1√x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23x√x+2√x+C∫x+1xdx=∫(xx+1x)dx=∫(x+1x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23xx+2x+C
Бодолт: ∫x−2√xdx=∫(x√x−21√x)dx=∫(√x−21√x)dx=∫(x12−2x−12)dx=x3232−2x... |
∫x√1−x2dx∫x1−x2dx | Заавар:
Бодолт: ∫x√1−x2dx=−12∫√1−x2d(1−x2)=−12∫√udu=−12u√u32+C=−u√u3+C=−(1−x2)√1−x23+C∫x1−x2dx=−12∫1−x2d(1−x2)=−12∫udu=−12uu32+C=−uu3+C=−(1−x2)1−x23+C |
∫x√x+1dx=?∫xx+1dx=? | Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C
бол
∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f[g(x)]dg(x)=F(g(x))+C∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f[g(x)]dg(x)=F(g(x))+C
байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг.
t=√x+1t=x+1 гэвэл x=t2−1x=t2−1, dx=2tdtdx=2tdt байна.
Бодолт: ∫x√x+1dx=⎡⎢⎣t=√x+1x=t2−1dx=2tdt⎤⎥⎦=∫t2−1t⋅2tdt=2∫(t2−1)dt∫xx+1dx=[t=x... |
∫x√x+1dx∫xx+1dx | Заавар: t=√x+1t=x+1 орлуулга хий.
Бодолт: t=√x+1t=x+1 гэвэл x=t2−1x=t2−1 ба dx=2tdtdx=2tdt байна. Иймд
∫x√x+1dx=∫(t2−1)t⋅2tdt=∫(2t4−2t2)dt=2⋅t55−2⋅t33+C=2(x+1)525−2(x+1)323+C∫xx+1dx=∫(t2−1)t⋅2tdt=∫(2t4−2t2)dt=2⋅t55−2⋅t33+C=2(x+1)525−2(x+1)323+C |
∫x√x+2dx∫xx+2dx | Заавар: t=√x+2t=x+2 гэвэл x=t2−2x=t2−2, dx=2tdtdx=2tdt байна.
Бодолт: ∫x√x+2dx=⎡⎢⎣t=√x+2x=t2−2dx=2tdt⎤⎥⎦=∫t2−2t⋅2tdt=∫2t2−4dt=2t33−4t+C=23(x+2)32−4(x+2)12+C∫xx+2dx=[t=x+2x=t2−2dx=2tdt]=∫t2−2t⋅2tdt=∫2t2−4dt=2t33−4t+C=23(x+2)32−4(x+2)12+C |
∫yy−1(x2+1)dx<103∫y−1y(x2+1)dx<103 тэнцэтгэл бишийн бүх шийд аль олонлог вэ? | Заавар: Ньютон-Лейбницийн томьёо ашигла.
Бодолт: ∫yy−1(x2+1)dx=(x33+x)∣∣∣yy−1=∫y−1y(x2+1)dx=(x33+x)|y−1y=
=y33+y−(y−1)33−(y−1)=y2−y+43<103=y33+y−(y−1)33−(y−1)=y2−y+43<103
буюу y2−y+2<0⇔y∈]−1;2[y2−y+2<0⇔y∈]−1;2[ |
∫π0cos2xdx∫0πcos2xdx бод. | Заавар: Ньютон Лейбнецийн томьёо:
f(x)f(x) функцийн эх функц нь F(x)F(x) бол
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a) байна.
Бодолт: F(x)=∫cos2xdx=∫1+cos2x2dxF(x)=∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx
=x2+12∫cos2xdx=x2+sin2x4+C=x2+12∫cos2xdx=x2+sin2x4+C
байна.
∫π0cos2xdx=F(π)−F(0)=π2∫0πcos2xdx=F(π)−F(0)=π2 |
∫π0sin2xdx=?∫0πsin2xdx=? | Заавар: sin2x=1−cos2x2sin2x=1−cos2x2 ашиглан зэргийг бууруулж бод.
Бодолт: ∫cos2xdx=∫1−cos2x2dx=x2−14∫cos2xd2x=x2−14sin2x+C.∫cos2xdx=∫1−cos2x2dx=x2−14∫cos2xd2x=x2−14sin2x+C.
Иймд
∫π0sin2xdx=(x2−14sin2x)∣∣∣π0=∫0πsin2xdx=(x2−14sin2x)|0π=
=π2−14sin(2⋅π)−02+14sin(2⋅0)=π.=π2−14sin(2⋅π)−02+14sin(2⋅0)=π. |
∫π0sinxcos3xdx∫0πsinxcos3xdx интегралыг бод. | Заавар: sinxcos3x=12[sin(x+3x)+sin(x−3x)]sinxcos3x=12[sin(x+3x)+sin(x−3x)] болохыг ашигла.
Бодолт: |
∫π0xsinxdx∫0πxsinxdx интегралыг бод. | Заавар: ∫xsinxdx∫xsinxdx интегралыг хэсэгчлэх аргаар бод.
∫uv′dx=uv−∫u′vdx∫uv′dx=uv−∫u′vdx
Бодолт: ∫xsinxdx=⎡⎢⎣u=xv′=sinxv=−cosx⎤⎥⎦=−xcosx−∫1⋅(−cosx)dx=∫xsinxdx=[u=xv′=sinxv=−cosx]=−xcosx−∫1⋅(−cosx)dx=
=−xcosx+sinx+C=−xcosx+sinx+C
тул Ньютон-Лейбницийн томьёогоор
∫π0xsinxdx=(−xcosx+sinx)∣∣π0=(−π⋅cosπ+sinπ)−(−0⋅... |
∫π20(x+1)cosxdx∫0π2(x+1)cosxdx интеграл бод. | Заавар: ∫bauv′dx=uv∣∣∣ba−∫bau′vdx∫abuv′dx=uv|ab−∫abu′vdx
тодорхой интегралын хэсэгчлэн интегралчлах дүрмийг ашигла.
Бодолт: ∫π20(x+1)cosxdx=∫π20(x+1)(sinx)′dx=(x+1)sinx∣∣∣π20−∫π20sinxdx=(x+1)sinx∣∣∣π20+cosx∣∣∣π20=(π2+1)⋅sinπ2−(0+1)⋅sin0+cosπ2−cos0=π2+1−0+0−1=π2∫0π2(x+1)cosxdx=∫0π2(x+1)(sinx)′dx=(x+1)sinx|0π2−∫0π2sin... |
∫π20sinxdx=?∫0π2sinxdx=? | Заавар: f(x)f(x) функцийн эх функц нь F(x)F(x) бол
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a) байна. Үүнийг Ньютон Лейбнецийн томьёо гэнэ.
Бодолт: ∫sinxdx=−cosx+C∫sinxdx=−cosx+C тул ∫π20sinxdx=−cosπ2−(−cos0)=1∫0π2sinxdx=−cosπ2−(−cos0)=1
байна.
Заавар: ∫sinxdx∫sinxdx бодож эх функцийг нь олоод Ньютон Лейбницийн томьёо... |
∫ππ2cos2xsinxdx∫π2πcos2xsinxdx | Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C
бол
∫baf[g(x)]g′(x)dx=∫baf[g(x)]dg(x)=∫abf[g(x)]g′(x)dx=∫abf[g(x)]dg(x)=
=∫g(b)g(a)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)]=∫g(a)g(b)f(t)dt=F[g(b)]−F[g(a)]
байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг.
Бодолт: f(x)=−x2f(x)=−x2, g(x)=cosxg(x)=cosx ба F(x)=−x33F(x)=−x33 гэвэл
(co... |
∫−1−2dx(11+5x)3=abc∫−2−1dx(11+5x)3=abc болно. | Заавар: f(x)f(x) функцийн эх функц нь F(x)F(x) бол
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a) байна.
Бодолт: ∫dx(11+5x)3=15∫(11+5x)−3d(11+5x)=−110(11+5x)−2+C∫dx(11+5x)3=15∫(11+5x)−3d(11+5x)=−110(11+5x)−2+C
тул
∫−1−2dx(11+5x)3=−110(11+5x)2∣∣∣−1−2=∫−2−1dx(11+5x)3=−110(11+5x)2|−2−1=
=−110(11+5⋅(−1))2+110(11+5⋅(−2))2==−110(11+... |
⎛⎜⎝123456789⎞⎟⎠(123456789) матрицын тодорхойлогчийг ол. | Заавар: 2×22×2 хэмжээтэй (abcd)(abcd) матрицын тодорхойлогч нь
det(abcd)=∣∣∣abcd∣∣∣=ad−bcdet(abcd)=|abcd|=ad−bc
гэж тодорхойлогддог.
Бодолт: 22-р мөрөөр задалж бодъё.
(2,1)(2,1) элемент буюу 44-ийн хувьд M2,1=(2389)M2,1=(2389).
(2,2)(2,2) элемент буюу 55-ийн хувьд M2,2=(1379)M2,2=(1379).
(2,3)(2,3) элемент буюу 66-... |
⎛⎜⎝1−212−301−13⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝3310⎞⎟⎠(1−212−301−13)(xyz)=(3310) бол x+y+zx+y+z-ийг ол. | Заавар: Шугаман тэгшитгэлийн системд шилжүүлээд тэгшитгэлүүдийг нэм.
Бодолт: ⎛⎜⎝1−212−301−13⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝3310⎞⎟⎠⇔⎧⎪⎨⎪⎩2x+2y+3z=32x+3y+3z=32x−2y+3z=10(1−212−301−13)(xyz)=(3310)⇔{2x+2y+3z=32x+3y+3z=32x−2y+3z=10
байна. Тэгшитгэлүүдийг нэмбэл 4x+4y+4z=164x+4y+4z=16 тул x+y+z=4x+y+z=4 болно. |
⎛⎜⎝−1−00−2−10−0−11⎞⎟⎠⎛⎜⎝123456789⎞⎟⎠(−1−00−2−10−0−11)(123456789) | Заавар: ⎛⎜⎝−1−00−2−10−0−11⎞⎟⎠(−1−00−2−10−0−11) матрицаар аливаа AA матрицыг урд талаас нь үржих нь AA матрицын 2-р мөрөөс 1-р мөрийг 2 дахин, 3-р мөрөөс 2-р мөрийг 1 дахин хассантай тэнцүү болохыг ашигла.
Бодолт: ⎛⎜⎝−1−00−2−10−0−11⎞⎟⎠⎛⎜⎝123456789⎞⎟⎠=⎛⎜⎝1234−2⋅15−2⋅26−2⋅37−1⋅48−1⋅59−1⋅6⎞⎟⎠=⎛⎜⎝123210333⎞⎟⎠(−1−00−2−10−0−1... |
⎧⎪⎨⎪⎩2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0{2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ? | Заавар: Бүхэл коэффициенттэй 2-оос дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг шууд шалгах нь бодохоос илүү хялбар байдаг.
⎧⎪⎨⎪⎩2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0⇔{−x+2y+z=−13x+4y+z=1\3x+y+2z=0{2y−x+z=−13x+z+4y=12z−3x+y=0⇔{−x+2y+z=−13x+4y+z=1\3x+y+2z=0
гэвэл шийдийг шалгахад илүү хялбар болно.
Бодолт: x+2y+z=−1x+... |
⎧⎪⎨⎪⎩x+3y+2z=5x+2y−2z=12x−2y+2z=2{x+3y+2z=5x+2y−2z=12x−2y+2z=2 систем тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичвэл аль тэгшитгэл гарах вэ? | Заавар: Үржих үйлдлийн тодорхойлолт болон хоёр матриц тэнцэх нөхцөлөөс
⎧⎪⎨⎪⎩a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3⇔⎛⎜⎝a11a12a13a21a22a23a31a32a33⎞⎟⎠⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=⎛⎜⎝b1b2b3⎞⎟⎠{a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3⇔(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(xyz)=(b1b2b3)
байна.
Бодолт: Заавар ёсоор
⎧⎪⎨⎪⎩x+3y+2z... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.